§2初等函数的连续性 幂的定义 ·指数函数的性质 指数函数的连续性 指数函数的极限和值域性质 自然对数函数 对数函数和幂函数 三角函数
11 §2 初等函数的连续性 • 幂的定义 • 指数函数的性质 • 指数函数的连续性 • 指数函数的极限和值域性质 • 自然对数函数 • 对数函数和幂函数 • 三角函数
幂的定义(I) 正整数次幂:设aeRn∈N+a的n次幂定义如下 a =a. a a".aVn>l 正整数次幂基本性质加mn21a"n=a"a,(ay=a 幂推广到整数并且保留幂的性质: a=1Ⅶn>1an=1/a 要把幂推广到有理数,首先需要保证n次算术根 的存在性,为此要求a>0.定义如下 VmeZ,n2l amn=(a"A" 12
12 幂的定义 (I) • 正整数次幂: 设aR. nN+. a的n次幂定义如下 • 正整数次幂基本性质: • 幂推广到整数并且保留幂的性质: • 要把幂推广到有理数, 首先需要保证n次算术根 的存在性, 为此要求a>0. 定义如下 , , 1. 1 1 = = + a a a a a n n n , 1, , ( ) . m n m n m n m n m n a a a a a + = = 1, 1, 1/ . 0 n n a = n a = a − , 1, ( ) . / 1/ m m n n mZ n a = a
幂的定义(I) 有理指数幂仍然保留了幂的基本性质(验证的关 键是用到n次算术根的惟一性 无理次幂:先考虑a>1,对于r∈R,定义a的r次幂 为 a=supn4|q∈Q,q<r 这里利用了有理次幂的递增性 由对于有理次幂的性质a=1/a可以自然定 义当0<<1时, (1/a)
13 幂的定义 (II) • 有理指数幂仍然保留了幂的基本性质(验证的关 键是用到n次算术根的惟一性). • 无理次幂: 先考虑a>1, 对于rR, 定义a的r次幂 为 这里利用了有理次幂的递增性. • 由对于有理次幂的性质 , 可以自然定 义当0<a<1时, a a q Q q r r q = sup | , q q a =1/ a − ( ) r r a a 1/ 1 =
指数函数的性质 设a>0,a≠0.定义以a为底的指数函数为 f()=a 讨论a>1的情形就够了此时f(x)由如下性质 (1)正性:Vx∈R,f(x)>0; -(2)严格单调递增性:∨x③y,∫(x)<f(y); -(3)∨x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y) 证明:(1)和(2)直接由定义(3)由 sup{g<x+yg∈}=sp{|p<xp∈Q}supg|q<yg∈Q}
14 指数函数的性质 • 设a > 0, a 0. 定义以a为底的指数函数为 • 讨论a >1的情形就够了.此时(x)由如下性质: – (1) 正性: xR, (x)>0; – (2) 严格单调递增性: x<y, (x)<(y); – (3) x, yR, (x+y)=(x) (y). • 证明: (1)和(2)直接由定义.(3)由 x f (x) = a a q x y q Q a p x p Q a q y q Q q p q sup | + , = sup | , sup | ,
指数函数的连续性 指数函数在R的每一点都连续 ·证明:取定x∈R.则对于x∈R, f(x)-f(o)=a(a-xo-1 因此只要证明在x=Q点连续就行了.任取e>0,由 a n→>00 则存在N有aN-l< 因此由指数函数的单调性,当x<1N时, x <8 15
15 指数函数的连续性 • 指数函数在R的每一点都连续. • 证明: 取定x0R. 则对于xR, 因此只要证明在x0=0点连续就行了. 任取e>0, 由 则存在N, 有 • 因此由指数函数的单调性, 当|x|<1/N时, ( ) ( ) ( 1) 0 0 − 0 = − x x−x f x f x a a lim =1 → n n a − e 1 1/ N a −1 e x a