Newton- Cotes公式的稳定性 系数C及节点值x可相当精确给出,误差来 自函数值f(xk)的计算。设f(x)为准确值, f(x)为计算值,c=f(x)-f(x)则 (b-a)∑[f(xk)-f(x)Cx=(b-a∑=C k=0 k=0 记E=maxk,若Ckm均为正数,则得 k (b-a>,ck s(b-aZlegllcko [<E(b-a) k=0 k=0 若C()有正负(n≥8),稳定性没有保证
Newton－Cotes公式的稳定性 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) [ ( ) ( )] ( ) max , ( ) ( ) ( ) k k k k k k n n n n k k k k k k k n k k k n n n n k k k k k k f x f x f x f x f x b a f x f x C b a C C b a C b a C b a C = = = = = − − − = − = − − − (n) 系数C 及节点值x 可相当精确给出，误差来 k k 自函数值 的计算。 设 为准确值， 为计算值， 则 （ 记 若 均为正数，则得 若 ( ) 8), n k 有正负（ 稳定性没有保证。 n
§2.梯形抛物线公式的误差估计 衡量插值型求积公式的精度可以用多项式的 次数作为标准 定义(代数精确度)。对 般的求积公式: f(x)x≈2 Akf(xk) k=0 其中Ak是不依赖于f(x)的常数。若f(x)为任意一个 次数不高于n的代数多项式时,式中等号成立;而对 ∫(x)是n+1次多项式时不全精确成立,则称该求积 公式有n次代数精确度
§2. 梯形,抛物线公式的误差估计 公式有 次代数精确度。 是 次多项式时不全精确成立，则称该求积 次数不高于 的代数多项式时，式中等号成立；而对 其中 是不依赖于 的常数。若 为任意一个 定义（代数精确度）。对一个一般的求积公式： 1 ∫ ≈ ∑ k 0 k n f ( x ) n n A f ( x ) f ( x ) f ( x ) dx A f ( x ) k n k b a + = 衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式的 次数作为标准
梯形求积公式的代数精确度 由梯形公式的误差: f"( f(x)=P(x)+3( x-a)(x-b)a≤≤b 当f(x)是次多项式时, f∫"(x)三0→f(x)=P1(x)>()=∫P1(x)k1x 但当f(x)=x2时, ∫(x-x=ba 3≠「Prh、b-a (a2+b2) 因此代数精确度是1
( )( b) b 2! ''( ) ( ) ( ) = 1 + − − x a x a f f x P x 由梯形公式的误差： 梯形求积公式的代数精确度 f x f x P x I f P x d x f x b a ''( ) 0 → ( ) ( ) → ( ) = ( ) ( ) 1 1 当 是一次多项式时， 1 3 2 2 2 1 3 3 2 2 ∫ ∫ ∫ 因此代数精确度是 但当 时， ( ) b a f ( x )dx dx ( x )dx f ( x ) P a b b a x x b a b a b a + − = − = = =
Newton-otes求枳公式的代数精确 度 Newton- Cotes求积公式有误差 (n+1) f(x)=P(x)+ 1(x),a≤5≤b (n+1)! 当f(x)为n次多项式时 f"()=0→)⑩0=∫Pnhx,从而至少 有n次代数精确度
( ), b ( 1)! ( ) ( ) ( ) Cotes ( 1) + = + − + w x a n f x x Newton f P n n 求积公式有误差 有 次代数精确度。 从而至少 当 为 次多项式时 0 1 n (x) I(f) (x)dx , f ( x ) n b a n ( n ) f → = P + Newton-Cotes求积公式的代数精确 度
n=偶数时 Newton- Cotes求积公式的代数精确度 对n+1次多项式9=28bx则q"6)=m+1b 积分误差: ∫q(x)-Px=95 w(x)dx=b, w(x)dx (n+1)! (令x=a+mh)=bn1h∫t(1-1)…(t-n)dt 当n为偶数时,上式积分为0,即: g(x)dx=j P(x)dx 即 Newton- Cotes求积公式当n为偶数时至少 有n+1次代薮精确度
n=偶数时Newton-Cotes 求积公式的代数精确度 b x q bn (n ) k n k k n q(x) (x) (n )! 1 1 1 0 1 ∑ 1 + + + = 对 + 次多项式 = 则 = + ( x a t h ) t(t ) (t )dt ( x )dx ( x )dx w( x )dx w( x )dx n n n b a n b a b a n b a b h b ( n )! q ( ) q P ( n ) ∫ 1 n ∫ ∫ 1 ∫ ∫ 0 2 1 1 1 = + = − − − = = + + + + + 令 积分误差： 有 次代数精确度。 即 求积公式当 为偶数时至少 当 为偶数时，上式积分为 ，即： n 1 Newton Cotes n ( ) ( ) n 0 ∫ ∫ + − x dx = x dx b a n b a q P