《数值计算方法》第六章 数值微分与数值积分

(二)抛物型求积公式 atb [a,b]区间二等分:a 2b作抛物线 a+b x )(x-b) P(x) atb f(a) )(a-b) atb (x-a)(x-b) a+b r-ax a+b、a+b f(--)+ f(b) a)(-b) 2 a (b-a)(b-=) a+b a+b (b-a) 2(x-b)f(a)-2(x-a(x-b)f( atb +(x-a)(x 2)(b)

(二) 抛物型求积公式 2 b [ , ] , , b, 2 b ( )( b) 2 ( ) ( ) b ( )( b) 2 b ( )( ) ( )( ) b 2 ( ) ( ) b b b 2 ( )( b) ( )( ) 2 2 2 2 b b ( )( ) ( ) 2( )( ) ( ) 2 2 ( ) a a b a a x x P x f a a a a a x a x x a x b a f f b a a a a b a b a a x x b f a x a x b f b a + + − − = + − − + − − − − + + + + + + − − − −  + + = − − − − −  −  区间二等分： 作抛物线 b ( )( ) ( ) 2 a x a x f b +  + − −  

() 6-a f(a)+4//a+b +f(b) 6 称 Simpson公式 y=f( a (a+b)/2 b

2 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 6 2 b a b a a b I f x dx f a f f b P −  +     = + +          y=P2() y=f() 称 Simpson 公式 a (a+b)/2 b

1) Newton- Cotes求积公式 ab7n等分:x=a+ih,=0,1,…,D,bb-a 则n+1个节点的插值多项式: W Pn(x)=∑ fx;),w(y=ax-x0小…(x-xn) 0x-x1h(x;) 10=JPk=∑ w(x) h(ax-x川Yx)/x) ∑4,f(x) 称 Newton- Cotes求积公式

(三.1) Newton-Cotes求积公式 n b , i 0, 1, , n , h a [ a,b] n : xi a i h − 等分 = + =  = f ( x ), w(x) (x x ) (x x ) (x x )w'( x ) w(x) P (x) n i n n i i i n  = − − − = + = 0  0 则 1 个节点的插值多项式： 0 0 ( ) Newton-Cotes b b n n i a a i i i n i i i w(x) I(f) (x)dx dx f( ) (x )w'( ) A f x P x = x x =    =     −        称 求积公式

(三2)计算系数A1:变换X=a+th w(X (a+th-alla+th-a-h(a+th-a-2h)(a+th-a-nh th(t-1)h…(t-m)h=ht(t-1)…(t-1 x;)=I(x-x) j=0,1≠ =i…1h:(-1h…(-m-mh(x1-x)=-bh h"t!(-!(-1) wX h"lt-1)…t-m) hdt x)(-1)hm-的 1)hct(t-1)…(-m0 i!(n-1!

th(t ) h (t n)h t(t ) (t n) (a t h a)(a t h a h)(a t h a h) (a t h a nh) w(x) h n = − − = − − = + − + − − + − − + − −  +   1 1 2 1 (三.2)计算系数 Ai : 变换 x=a+th 0 , ( ) 1 1 1 n i j i j i j i k n n i w'( ) x x ih h ( )h ( (n i))h (( ) (i k)h) i ! (n - i) ! ( x x x h ) =  − = − =   − − − − = − =  − dt (t i) t(t ) (t n) i!(n i)! h hdt (i!)(n i)!h(t i) t(t ) (t n) dx (x )w'( ) w(x) n n-i n n n-i n b a i i i ( ) ( ) h h x x A ∫ 1 ∫ 1 0 0 1 1 1 − − − − = − − − − = − = − −  +  

(三3) Newton- Cotes系数C 1-l (-1) n1)mn-)!。 A=(b-aC C是不依赖于fx)与{b7的常数,只与分点 数n有关。 可以证明(m=Cm,且∑Cm=1,由此可以 推出当Cm>0时插值型求积公式有数值稳定性 当n=8时出现负数,∴n≥8时不常用 n=4时成 Newton cotes求积公式

n 0 ( ) i 1 ( ) n 1 A n-i (n) i n i (n) i t(t ) (t n) dt n(i!) (n i)! (t i) b a f(x) [a,b] ( ) C C C − − =  − − = − − 记  是不依赖于 与 的常数，只与分点 数 有关。 (三.3) Newton-Cotes系数Ci (n) n 4 -Cotes . n 8 , 8 . 0 . , ∑ 1, 0 时成 求积公式 当 时出现负数 时不常用 推出当 时插值型求积公式有数 值稳定性 可以证明 且 由此可以 Newton ∴ n≥ C C C C (n) i n i (n) i (n) n-i (n) i = =  = = =