例1.将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,fm(0)=1(n=0,1,故得级数 1+x 其收敛半径为 R=lim =+00 n→0 nl (n+1） 对任何有限数x,其余项满足 n+l <elx n->oo (n+1) (5在0与x之间) 2 故ex=1+x+x +·，,X∈(-00，十00） 21 31 n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解： .f()(x)=sin(x+n.) 所以fn(0)顺序循环地取0,1,0，-1，.(n=0,1,2,3,) 得级数x-引x2x3-+(-1 2n+1 十·· (2n+1)l 其收敛半径为R=+∞， 对任何有限数x,其余项满足 1n+1 R () sin(+(n+1)) x n-→ (n+1)川 (n+1) snx=x-x23+x3-+(-2万x2n 1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 + n + (n +1)! n+1 x 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x sin x n → = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以f (n) (0)顺序循环地取0, 1, 0, −1, (n=0, 1, 2, 3, ) + + + − + (2 1)! ( 1) 2 1 n x n n