如果曲线的方程为 y=f(x),:=g(x), 把它看成以x为参数的参数方程 g(x) 即得到它在P(x0,f(x0),g{(x)点的切线方程为 y-f(xo 2-g(xo) f(xo g(xo) 法平面方程为 (x-x0)+f(x0(y-f(x)+g'(x0)(z-g(x0)=0
如果曲线的方程为 y = f (x), z = g(x)， 把它看成以x为参数的参数方程 = = = ( ), ( ), , z g x y f x x x 即得到它在 ( , ( ), ( )) 0 0 0 0 P x f x g x 点的切线方程为( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 g x z g x f x x x y f x − = − = − ； 法平面方程为 (x − x0 ) + f (x0 )( y − f (x0 )) + g (x0 )(z − g(x0 )) = 0
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线r的方程为 F(x,y,=)=0 G(x,y,z)=0 P(x0,yn2=0)为厂上一点,且 Jacobi矩阵 FF F 在P点是满秩的,即 rank J=2。求曲线厂在P点的切线与法平面方程
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线 的方程为 = = ( , , ) 0. ( , , ) 0, G x y z F x y z ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 为 上一点，且 Jacobi 矩阵 = x y z x y z G G G F F F J 在 P0 点是满秩的，即 rank 2 J = 。求曲线 在 P0 点的切线与法平面方程
由于矩阵J在P点满秩,不失一般性,假设在P点成立 O(F,G ≠0。 a(y’,z) 由隐函数存在定理,在P点附近唯一确定了满足yo=f(x),=0=g(x)的 隐函数 y=f(x),z=g(x),x∈O(x0,E)。 且有 f(x)=0(FC()/c(FG(P),8(x0) OF,G) (P) a(F,G (P)。 a(二,x) a(,z a(x, y) a(, 3) 于是,曲线厂在P点的切线方程为 X-x y-y O(F,G) O(F,G) (,x)( a(F,G) (P0) a(, 3) a( a(,y) 法平面方程为 OFG) Po)(x-xo) a(F,G) ((y-y)+ O(F,G) (0(=-20) V2 a(z a(,y)
由于矩阵 J 在P0 点满秩，不失一般性，假设在P0 点成立 0 ( , ) ( , ) = y z y z G G F F y z F G 。 由隐函数存在定理，在P0点附近唯一确定了满足 ( ), ( ) 0 0 0 0 y = f x z = g x 的 隐函数 y = f (x), z = g(x)， ( , ) 0 xO x 。 且有 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 P0 y z F G P x y F G P g x y z F G P z x F G f x = = 。 于是，曲线 在P0 点的切线方程为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 P x y F G z z P z x F G y y P y z F G x x − = − = − ； 法平面方程为 ( )( ) 0 ( , ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 − 0 = − + − + P z z x y F G P y y z x F G P x x y z F G
由空间解析几何知道,由一点及两个线性无关(即非平行)的 向量确定一张过该点的平面(称为这两个向量张成的平面),平面上 的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。 定理121曲线{(xB)=0在点的法平面就是由梯度向量 G(,y,2) gradA()和 gradE(P)张成的过P的平面 证记该曲线为厂。由于矩阵/=/FFF 满秩,因此 G. G gradF(P)=(F(PO),F(Po),F(Po)) gradG(P)=(G(Po),G,(Po),G (Po)) 线性无关,因此它们可以张成一个过P点的平面
由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的 向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量张成的平面），平面上 的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。 定理 12.5.1 曲线 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0, G x y z F x y z 在P0 点的法平面就是由梯度向量 0 gradF P( )和 0 gradG P( )张成的过P0 的平面。 证 记该曲线为 。由于矩阵 = x y z x y z G G G F F F J 满秩，因此 0 gradF P( ) ( ( ), ( ), ( )) = Fx P0 Fy P0 Fz P0 与 0 gradG P( ) ( ( ), ( ), ( )) = Gx P0 Gy P0 Gz P0 线性无关，因此它们可以张成一个过P0 点的平面π
要证明平面π就是曲线厂在P点的法平面,只要证明r在P点的 切向量与兀垂直,即与 gradF(P)和 gradE(P)均垂直即可 因为曲线厂在P点的切向量为 O(F,G)/n、O(F,G) () ) a( 0((FG x, y) 于是 I gradF) -.(P) O(F G(P)+E(P)(F, G() +E(PO(F, G(P) a(,s a(z,x) a(x, y) F(O)Fy() F(P F(P)F(P)F (PO)E0 G(P)G(P)G(P) 同理τ grad(P)=0。因此平面π就是曲线r在P点的法平面
要证明平面π就是曲线 在P0 点的法平面，只要证明 在P0 点的 切向量与π垂直，即与 0 gradF P( )和 0 gradG P( )均垂直即可。 因为曲线 在P0 点的切向量为 000 ( , ) ( , ) ( , ) ( ), ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) F G F G F G PPP y z z x x y = ， 于是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z x y z F G F G F G F(P ) F P P F P P F P P y z z x x y F P F P F P F P F P F P G P G P G P = + + = = grad 同理 0 = gradG(P ) 0。因此平面π就是曲线 在P0 点的法平面