C 0 P327题4(2)求解 =0,yx=0 提示令y=p(x)则方程变为=ap2 积分得-=ax+C1,利用px=0=y1x0=-1得C dy 再解 dx1+ar并利用yx0=0,定常数C2 3 0 思考若问题改为求解 x=0 0 0 则求解过程中得p-x同开方时正负号如何确定? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P327 题4(2) 求解 0 2 y − ay = 0 , y x=0 = y x=0 = −1 提示: 令 则方程变为 积分得 , 1 C1 ax p − = + 利用 1 p x=0=y x=0 = − 得 C1 =1 再解 , 1 1 d d x ax y + − = 并利用 0 , y x=0 = 定常数 . C2 思考 若问题改为求解 0 , y x=0 = 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327题8设函数n=f(r),r=x2+y2+z2在r>0 内满足拉普拉斯方程 少×0 2 0,其中f(r) Ox 二阶可导,且f(1)=f(1)=1,试将方程化为以r为自变 量的常微分方程,并求f(r) au 提示:=f"(r) OX Q+2=f"()2+f(1r2 利用对称性,原方程可化为f"(r)+=f(r)=0 即 r2f"(r)+2rf(r)=0(欧拉方程) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P327 题8 设函数 在 r > 0 内满足拉普拉斯方程 0, 2 2 2 2 2 2 = + + z u y u x u 二阶可导, 且 试将方程化为以 r 为自变 量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: r x f r x u = ( ) = + 2 2 2 2 ( ) r x f r x u f (r) ( ) r 1 3 2 r x − 利用对称性, 即 ( 欧拉方程 ) 原方程可化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2f"(r)+2rf()=0 解初值问题: f(1)=f(1)=1 令t=1nr,记D d 则原方程化为 dt [D(D-1)+2Df=0即[D2+D]f=0 通解f(r)=C1+C2e=C1+C 利用初始条件得特解: f(r)=2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求微分方程/1”+1y=x x< 2满足条件 少+4 0 yx=0=0,ykx=0=0,在x=处连续且可微的解 提示:当x≤时,解满足 '+y=x yx=0=0,yx=0=0 特征根:n2=± 设特解:y*=Ax+B,代入方程定A,B,得y=x 故通解为y=C1cosx+C2sinx+x 利用yx=0=0.,y1x=0=0,得 y=-sinx+x(x≤f) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y = C cos x +C sin x + x 1 2 特征根 : , 1,2 r = i 例1. 求微分方程 2 , y + y = x x 提示: 故通解为 2 4 0 , y + y = x 满足条件 解满足 y + y = x 0 , y x=0 = y x=0 = 0 处连续且可微的解. 设特解 : y = Ax + B, 代入方程定 A, B, 得 0, 0, 利用y x=0 = y x=0 = 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
由x=处的衔接条件可知当x>时,解满足 +4y=0 1+ 其通解:y=C1sin2x+C 定解问题的解:y 2Sn2x+(1 (1-2)cos2x,x≥ 故所求解为 sinx+x, sin2x+(1-2)cos2x,x≥ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
处的衔接条件可知, y + 4y = 0 解满足 故所求解为 y = 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , − x + − x x y C sin 2x C cos 2x 其通解 = 1 + 2 : 定解问题的解: 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , y = − x + − x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束