中国矿大业CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY设(x),p(x),,,(x)为上述n+1维线性空间的一个基底显然P(x),P1(x),.,P,(x)线性无关且任意n次多项式P,(x)可由(x),P1(x),.,,(x)线性表示P,(x)= aopo(x)+aipi(x) +...+a,p,(x)如果P(x)为某个函数f(x)的插值函数则称po(x),P(x),.,P,(x)为插值基函数
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 且任意 n次多项式 Pn ( x )可由 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )线性表示 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 P x a x a x a x n = ϕ + ϕ + " + nϕ n 如果 Pn ( x )为某个函数f ( x )的插值函数 则称 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )为插值基函数 设 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )为上述 n + 1维线性空间的一个基底 显然 ϕ0 ( x), ϕ1 ( x), " , ϕn ( x )线性无关
中国矿亚大业CHINAUNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY$1拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/求n次多项式P,(x)=a.+ax+..+anx"使得Pn(x)=yi,i=0,..,n条件：无重合节点，即ix≠x使得n=称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/，满足条件(x)=0/*KroneckerDelta*/V两点的直线。可见网定P(x)= yo + r yo(x- xo)Xi-Xox-xoX?2i(x)yiyo+Ji=Xi-XoXo-xi=01(x)1;(x)
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY §1 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ Pn ( xi ) = yi , i = 0, . , n 求 n 次多项式 使得 n Pn ( x ) = a 0 + a 1 x + " + a n x 条件：无重合节点，即 i j i ≠ j x ≠ x n = 1 已知 x 0 , x 1 ; y0 , y1 ，求 P x a a x 1 0 1 ( ) = + 使得 1 0 0 1 1 1 P ( x ) = y , P ( x ) = y 可见 P 1 (x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x 1, y1 ) 两点的直线。 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 x x x x y y P x y - - - = + 0 1 1 x x x x - - 1 0 0 x x x x - - = y 0 + y 1 l0 (x ) l 1 (x ) 称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */ ， 满足条件 li (xj)= δij /* Kronecker Delta */ 1 0 ( ) i i i l x y = = ∑
中国矿亚大警CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY希望找到(x)，i=0,…,n使得1(x)=j；然后令n≥1P,(x)=E 1(x) yi ，则显然有P,(x)=y; 。i=0每1(x)与节点有关，而与无关LagrangePolynomialIl;(x;)=1+++(xi - x)(x-x,)1,(x)-1Z1(x)y,P,(x) = 1(x, -x,)20i=0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 11 ( ) ( )( ) ( ) ii i i n l Cx x x x x x x x =− − − − " " − + n ≥ 1 希望找到 li (x ) ，i = 0, ., n 使得 li (xj)= δij ；然后令 Σ= = n i n i i P x l x y 0 ( ) ( ) ，则显然有 Pn (xi) = yi 。 li (x ) 每个 li 有 n 个根 Π - = = j ≠ i i j i i i x x l x C ( ) 1 ( ) 1 ∏ = ≠ − − = n j j i i j j i x x x x l x 0 ( ) ( ) ( ) 0 () () n n ii i P x l xy = = ∑ 0 11 , , , ii n x xx x " " − + 0 ( ) n i j j i j C xx ≠ = = − ∏ Lagrange Polynomial 与 有关，而与 无关 节点 f
中国矿天华CHINA UNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY定理(唯一性)满足P(x,)=yi，i=0,…,n的 n阶插值多项式是唯一存在的。证明：书72页用Vandermonde行列式证明反证：若不唯一，则除了P,(x)外还有另一n阶多项式L,(x)满足Ln(x)=;。考察 Q,(x)= P,(x)-L,(x),则 ,的阶数≤n而Q.有n+1)个不同的根xo….x注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。例如 L(x)=P,(x)+p(x)I(x-x）也是一个插值多项式，其中p(x)可以是任意多项式
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 定 理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值多 项式是唯一存在的。 P ( xi ) = yi , i = 0, . , n 证明： 书72页 用Vandermonde行列式证明 反证：若不唯一，则除了 Pn (x) 外还有另一 n 阶多项 式 L n (x) 满足 L n (xi) = yi 。 考察 则 Qn ( x ) = Pn ( x ) − Ln ( x ) , Q n 的阶数 ≤ n 而 Qn 有 个不同的根 n + 1 x 0 . xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 也是一个插值 多项式，其中 可以是任意多项式。 0 () () () ( ) n n i i Lx P x px x x = =+ − ∏ p ( x )
中国矿亚大医CHINA UNIVERSITY OFMININGAND TECHNOLOGY常用的低阶公式(1）当n=1时，即已知两点xoXixylyoyi则Lagrange线性插值多项式为P(x) = yol.(x)+ yl(x)x-xx-Xo即P(x)= yo+yXoX,-xo-X
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 则Lagrange线性插值多项式 为 即 (1) 当 n=1时，即已知两点 1 00 11 P x() () () = y l x + y l x 常用的低阶公式