逐项求导任意次,得 ∫(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ fm(x)=n!an+(n+1)n…3:2an+1(x-x0)+… 令x=x0,即得 n=n1f"(x)(=0,2)即为泰勒系数 且泰勒系数是唯一的,所以f(x)的展开式是唯一的 上一页下一页返回
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 ,即得 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 ( ) ( 0,1,2, ) 即为泰勒系数 ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且泰勒系数是唯一的,所以 f (x) 的展开式是唯一的
定义如果x在点x处任意阶可导,则幂级数 ∑ =0 称为∫(x)在点x的泰勒级数∑ f(0) 0m!称为 在f(x)点x0的麦克劳林级数 问题(x)=∑ fnoolr-xo)" 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定 上一页下一页返回
问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ? ( ) − = = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数. x0 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = n n n x n f =0 ( ) ! (0) f (x) x0 f (x) x0
例如(x) x≠0 0,x=0 在x=0点任意可导,且f”()=0n=0,1,2,…) oo ∫(x)麦克劳林级数炒0x 0 该级数在(,+0)内和函数(x)≡0.可见 除S=0外,f(x)麦氏级数处处不收敛于∫(x) 上一页下一页返回
(0) 0( 0,1,2, ) 在x=0点任意可导,且 f (n) = n = = = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 0 . 0 = n n f (x) 麦克劳林级数为 x 该级数在 (−,+) 内和函数 s(x) 0. 可见 除 s = 0 外, f (x) 的麦氏级数处处不收敛于 f (x)