第十三章动能定理 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律,在机械运动中则表现为动能 定理。不同于动量和动量矩定理,动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题 有时更为方便和有效。同时,还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念,推导动能定理和机械能守恒定律,并将综合运 用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。 §13-1力的功,功率 1.功(Work)的表达式 力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效果,其结果将导致物体能量的变化。设质量为 m的质点M,受力F作用,质点在惯性系中运动的元位移为dr,如图13-1所示。力F在元位移 上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积,以d"W表示,则 d'W=F·dr (13-1) 这里dW表示无限小的功,以与全微分dW相区别。一般情 况下,力的元功不能表示为某一函数W的全微分。观察图 131可知,同dr=ds,力的元功还可写成 F r+d d'w=fds cos o=f ds (13-2) 其中,F2为力F在点M轨迹切线方向上的投影。 图13-1 在图13-1所示的直角坐标系中,力F与dr可分别用解 析式表示为 F=Fi+Fj+Fk dr=dxi+dyj+d: k 将上式代入式(13-1),可得元功的解析式 dw=f dx+e dy+Fd= (13-3) 当质点从位置M运动到M,力在这段路程MM,上所作的功,等于力在这段路程上元功之 和,可用线积分表示为 F·dr f ds 或 W2(Fdx+F, dy+F d=) (13-5) 若FR为作用于该点的汇交力系F1,F2,…,Fn的合力,合力的功W12由式(13-4)得
1 第十三章 动能定理 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能 定理。不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题， 有时更为方便和有效。同时，还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念，推导动能定理和机械能守恒定律，并将综合运 用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。 §13-1 力的功，功率 1．功（Work）的表达式 力的功是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果将导致物体能量的变化。设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯性系中运动的元位移为 dr，如图 13-1 所示。力 F 在元位移 上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积，以d'W 表示，则 d d ′W = ⋅ F r （13-1） 这里d′W 表示无限小的功，以与全微分 dW 相区别。一般情 况下，力的元功不能表示为某一函数 W 的全微分。观察图 13-1 可知， d d r = s ，力的元功还可写成 dd d W F cos F s s θ τ ′ = = （13-2） 其中， Fτ 为力 F 在点 M 轨迹切线方向上的投影。 在图 13-1 所示的直角坐标系中，力 F 与 dr 可分别用解 析式表示为 F = FF F xy z i + +j k dd d d r i = x + + y z j k 将上式代入式（13-1），可得元功的解析式 d ddd W F xF yF z xyz ′ = + + （13-3） 当质点从位置 M1 运动到 M2，力在这段路程 M q1 2 M 上所作的功，等于力在这段路程上元功之 和，可用线积分表示为 2 2 1 1 12 d d M M M M W Fs = ⋅= ∫ ∫ F r τ （13-4） 或 ( ) 2 1 12 ddd M xyz M W F x+ F y+ F z = ∫ （13-5） 若 FR为作用于该点的汇交力系 F1，F2，…，Fn 的合力，合力的功 W12 由式（13-4）得 M M M2 1 O z y x θ F v dr r+dr r 图 13-1
H2=」F=J∑Fd=∑∫Fd=∑H (13-6) 可见,合力在某一段路程上的功,等于各分力在该段路程上所作功的和,称为合力功定理 力的功是一代数量,其值可为正,可为负,也可为零。在法定计量单位中,功的基本单位用 焦耳(J)表示,即 IJ=IN 2.几种常见力的功 (1)常力在直线路程上的功。质点M在常力F的 作用下,沿x轴方向由M点运动到M2点,路程为S, 如图13-2所示,力F的功,由式(13-5)得 (2)重力的功。设重为P的质点M,由M沿曲线 图13-2 M1M2运动到M2,如图13-3所示。对图示坐标 系,重力P在各轴上的投影分别为 F=0 F 代入式(13-5),得重力在曲线路程M1M2上的功 为 W2=-Pd=P(=1-) 图13-3 或 Wu= Ph (13-8) 式中,h=1-二2为质点起始与末了位置的高度差。由此可见,重力的功只与质点的重量及起始 和终了位置的高度差h有关,而与质点所经历的路径无关 同理,可以求得质点系重力的功,设n个质点的质点系,其重为P,当质点系从位置1运动 到位置2时,第i个质点的重力P的功为P(=1-z2),各质点重力的总功即质点系重力的功为 W2=∑P(=n-=12)=P(cn-=c2) 其中h=zc-=c2,为质点系质心C始末位置的坐标高度差 (3)弹性力的功。设弹簧未变形的长度为l,刚度系数为k,弹簧的一端O固定,而另一端 与质点M相连,如图134所示,当质点作任意曲线运动时,由于弹簧变形而对质点施加弹性力F 在弹性极限内,弹性力的大小与弹簧的变形δ=(-10)成正比,其方向沿弹簧轴线而指向变形为 零的点。以厂表示质点M矢径方向的单位矢量,弹性力F可表示为 F==k
2 22 2 11 1 12 ddd MM M W W MM M R i = F r= F r= F r= ∫∫ ∫ ⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑ （13-6） 可见，合力在某一段路程上的功，等于各分力在该段路程上所作功的和，称为合力功定理。 力的功是一代数量，其值可为正，可为负，也可为零。在法定计量单位中，功的基本单位用 焦耳（J）表示，即 1J 1 N m = ⋅ 2．几种常见力的功 （1）常力在直线路程上的功。质点 M 在常力 F 的 作用下，沿 x 轴方向由 M1 点运动到 M2 点，路程为 S， 如图 13-2 所示，力 F 的功，由式（13-5）得 2 1 12 0 d d M x M W F x F cos S FS cos == = θ θ ∫ ∫ S （13-7） （2）重力的功。设重为 P 的质点 M，由 M1沿曲线 M q1 2 M 运动到 M2，如图 13-3 所示。对图示坐标 系，重力 P 在各轴上的投影分别为 0 0 F,F,F P xyz = = =− 代入式（13-5），得重力在曲线路程 M q1 2 M 上的功 为 ( ) 2 1 12 1 2 d z z W P z P z-z =− = ∫ 或 W12 = Ph （13-8） 式中， 1 2 h = z − z 为质点起始与末了位置的高度差。由此可见，重力的功只与质点的重量及起始 和终了位置的高度差 h 有关，而与质点所经历的路径无关。 同理，可以求得质点系重力的功，设 n 个质点的质点系，其重为 P，当质点系从位置 1 运动 到位置 2 时，第 i 个质点的重力 Pi 的功为 ( ) i i1 i2 P z − z ，各质点重力的总功即质点系重力的功为 W P ( ) z z P(z z ) Ph 12 = ∑ i i1 − i2 = C1 − C2 = 其中 C1 C2 h = z − z ，为质点系质心 C 始末位置的坐标高度差。 （3）弹性力的功。设弹簧未变形的长度为 l0，刚度系数为 k，弹簧的一端 O 固定，而另一端 与质点 M 相连，如图 13-4 所示，当质点作任意曲线运动时，由于弹簧变形而对质点施加弹性力 F。 在弹性极限内，弹性力的大小与弹簧的变形 ( ) 0 δ = r − l 成正比，其方向沿弹簧轴线而指向变形为 零的点。以 r r 表示质点 M 矢径方向的单位矢量，弹性力 F 可表示为 ( ) r k r l r F = − − 0 O y x M M2 M1 z 图 13-3 z z1 z2 x y θ M1 M M2 F x S 图 13-2
弹性力的元功,由(13-1)得 dw=F dr=-k(r-lo) 考虑到 d(r-r)=da 所以有dW=-k(r-b)dr,当质点从M运动到M时 弹性力的功为 图13-4 dW=-(r-b)dr=5(-b)-(2-l 61=r-l0,2=2-b 分别表示弹簧在初始和末了位置时的变形量,弹性力的功可简写为 02) (13-9) 即,弹性力的功,等于弹簧的初变形的平方差与刚度系数的乘积之半,而与质点运动的路径无关。 3.定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点M受力F作用,如图13-5所示。当刚体转过微小转角dq时,点M的 微小路程为dS=rdq,此时,力F的元功由式(13-2)得 dw=fds=f rdo 应注意到,Fr表示力F对转轴之矩,即M=M(F)=Fr。因而作用 在定轴转动刚体上的力的元功写成 dw=M do (13-10) 即作用在转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。图13-5 刚体由位置角q转到Q2的过程中,力F的功为 (13-11) 若M=常量,则有 H12=M(a2-9)=M:o 13-12) 如果在转动刚体上作用有力偶,式(13-11)与式(13-12)仍然成立。但该式中的M.,应 是该力偶矩矢在转轴z上的投影,特别是当力偶的作用面垂直于转轴时,M.就等于该力偶矩M。 质量为m的质点受力F=3J+x作用,沿曲线r= acosta+asin运动。试求 =0运动到t=2m时力F在此曲线上所作的功。 解由于已知力F的解析式和曲线方程,可应用功的解析式(13-5)计算。 因为x= acost,y= asin
3 弹性力的元功，由（13-1）得 ( ) 0 d d d W kr l r ′ ⋅ = ⋅ =− − r r F r 考虑到 ( ) 1 1 2 dd d d 2 2 r r rr ⋅= ⋅= = r rr 所以有 ( ) 0 d d ′W kr l r =− − ，当质点从 M1 运动到 M2 时， 弹性力的功为 ( ) ( )( ) 2 2 1 1 2 2 12 0 1 0 2 0 d d 2 M r M r k W W kr l r r l r l = =− − = − −− ′ ⎡ ⎤ ∫ ∫ ⎣ ⎦ 以 1 1 0 2 2 0 δ = r − l , δ = r − l 分别表示弹簧在初始和末了位置时的变形量，弹性力的功可简写为 ( ) 2 2 2 12 1 2 = δ − δ k W （13-9） 即，弹性力的功，等于弹簧的初变形的平方差与刚度系数的乘积之半，而与质点运动的路径无关。 3．定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点 M 受力 F 作用，如图 13-5 所示。当刚体转过微小转角dϕ 时，点 M 的 微小路程为d d S r = ϕ ，此时，力 F 的元功由式（13-2）得 ddd W F S Fr ′ = = τ τ ϕ 应注意到， F r τ 表示力 F 对转轴 z 之矩，即 Mz z = = M Fr (F ) τ 。因而作用 在定轴转动刚体上的力的元功写成 d d ′W M= z ϕ （13-10） 即作用在转动刚体上的力的元功，等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。 刚体由位置角ϕ1转到ϕ 2 的过程中，力 F 的功为 2 1 12 d W Mz ϕ ϕ = ϕ ∫ （13-11） 若 M z =常量，则有 W12 = M z (ϕ 2 −ϕ1 )= M zϕ （13-12） 如果在转动刚体上作用有力偶，式（13-11）与式（13-12）仍然成立。但该式中的 M z ，应 是该力偶矩矢在转轴 z 上的投影，特别是当力偶的作用面垂直于转轴时，M z 就等于该力偶矩 M。 例 13-1 一质量为 m 的质点受力 F = 3y x i j + 作用，沿曲线 r ij = a tat cos sin + 运动。试求 t = 0运动到t = 2π 时力 F 在此曲线上所作的功。 解 由于已知力 F 的解析式和曲线方程，可应用功的解析式（13-5）计算。 因为 x = = a t, y a t cos sin r2 r1 F r O M M2 M1 图 13-4 z M φ F dφ 图 13-5
所以dx=- asin d,dy= acost dt Fr=3y=3asint, F=x=acost 于是,可得力的功 Wa=JM, (E dr+ E dy)=(-sa'sin'i+ a cos t d/ =-2ai' 例13-2弹簧的刚度系数k=40N/cm,自然长度l=40cm,此时弹簧两端分别固定在水平 线上的点A和点B,如图13-6(a)所示,现给弹簧中点附一重为98N的小球C,当C下降5cm 时,试求作用在小球C上的所有力的功。 解以小球为研究对象,作用于其上的 力有重力弹性力。重力的功,由式(13-8)得 W=Ph=98×5=49N·cm 弹性力的功,因不考虑弹簧的质量,弹性力 (a) (b) 处处相等。它的功与整个弹簧的初末变形有 图13-6 关,应按式(13-9)计算。弹簧的初始与末了位置时的变形量分别为 61=0,d2=AC+BC-AB=2v202+52-40=123cm 于是,弹性力的功为 x2-62)=40x0-123)=-303Ncm 所以,作用于小球C上所有力的功 W=形1+W2=49-303=18.7N·cm=0.187J 4.功率( Pore)与机械效率 (1)功率在实际工程中,常用功率表示力作功的快慢程度,力在单位时间内所作的功,称 为功率,以P表示,则有 d n (13-13) 由元功的定义式(13-1),可以得作用力表示的功率为 P dw (13-14) dt 即力的功率,等于力与其作用点速度矢的标积。 由于力矩M(或力偶矩)在d时间内所作元功为Mdq,所以用力矩(或力偶矩)表示的 功率为 P=M dt M (13-15) 即力矩的功率,等于力矩与刚体转动角速度的乘积
4 所以 d sin d d cos d x =− = a t t, y a t t 3 3 sin cos F y a t, F x a t x y = = == 于是，可得力的功 ( ) ( ) 2 1 2 22 2 2 2 12 0 d d 3 sin cos d 2 M x y M W Fx Fy a t a t t a π = + = − + =− π ∫ ∫ 例 13-2 弹簧的刚度系数 k = 40N/cm ，自然长度l0 = 40 cm，此时弹簧两端分别固定在水平 线上的点 A 和点 B，如图 13-6（a）所示，现给弹簧中点附一重为 9.8N 的小球 C，当 C 下降 5cm 时，试求作用在小球 C 上的所有力的功。 解 以小球为研究对象，作用于其上的 力有重力弹性力。重力的功，由式（13-8）得 1 W Ph . = = ×= ⋅ 9 8 5 49N cm 弹性力的功，因不考虑弹簧的质量，弹性力 处处相等。它的功与整个弹簧的初末变形有 关，应按式（13-9）计算。弹簧的初始与末了位置时的变形量分别为 0, 2 20 5 40 1.23cm 2 2 δ 1 = δ 2 = AC + BC − AB = + − = 于是，弹性力的功为 ( ) ( ) 0 1.23 30.3N cm 2 40 2 2 2 2 2 2 1 = δ − δ = × − = − ⋅ k W 所以，作用于小球 C 上所有力的功 49 30.3 18.7N cm 0.187J W =W1 + W2 = − = ⋅ = 4．功率（Porer）与机械效率 （1）功率 在实际工程中，常用功率表示力作功的快慢程度，力在单位时间内所作的功，称 为功率，以 P 表示，则有 d d W P t ′ = （13-13） 由元功的定义式（13-1），可以得作用力表示的功率为 d d d d W P t t r F F v ′ = =⋅ =⋅ （13-14） 即力的功率，等于力与其作用点速度矢的标积。 由于力矩 Mz（或力偶矩）在dt 时间内所作元功为 d Mz ϕ ，所以用力矩（或力偶矩）表示的 功率为 d d PM M z z t ϕ = = ω （13-15） 即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。 20cm （a） 20cm k C A B F C F P （b） 图 13-6
功率的法定计量单位为焦耳/秒(J/s),称为瓦(W),因而 IW=I/s=IN. m/s (2)机械效率任何机器在工作时,都必须输入一定的功,用以克服无用阻力(如摩擦、碰 撞等阻力)的功外,并提供为完成预期目标而克服有用阻力(如机床的切削力)的功,若以B、 P、B分别表示输入功率,有用阻力的输出功率和无用阻力的损耗功率,则机器的输入功率等 于有用功率与损耗功率之和。当机器稳定运转时,机器的输出功率与输入功率的比值,称为机械 效率,用n表示,即 P出 (13-16) 机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度,是评定机器质量好坏的重要指标之一。 §13-2动能 1.质点的动能 动能( Kinetic energy)是物体机械运动的又一种度量,是物体作功能力的标志。质点的功能 定义为质点的质量m和质点速度v平方的乘积之半,即为mv2。动能是与速度方向无关的恒正 标量。在法定计算单位中,动能的单位为kg·m2/s2与功的单位J相同。 应注意到,动能和动量都是表示机械运动的量,是机械运动的两种不同度量。它们虽然与质 点的质量和速度有关,但定义不同,各有其适用范围。动量是矢量,而动能是标量;动量是以机 械运动形式传递运动时的度量,而动能是机械运动形式转化为其他运动形式(如热、电等)的度 质点系的动能 质点系内各质点动能的总和,称为质点系的动能。以T表示,则有 T=∑ (13-17) 式中v为质点系内任一质量为m的质点所具有的速度 3.刚体运动时的动能 对于刚体,按照刚体的不同运动形式,式(13-17)可以写成具体表示式。 (1)平动刚体的动能当刚体平动时,其上各点的速度都相等。即v=v,由式(13-17) 有 T=∑1m,n2=1m)2=1M (13-18)
5 功率的法定计量单位为焦耳/秒（J/s），称为瓦（W），因而 1W =1J/s =1N ⋅ m/s （2）机械效率 任何机器在工作时，都必须输入一定的功，用以克服无用阻力（如摩擦、碰 撞等阻力）的功外，并提供为完成预期目标而克服有用阻力（如机床的切削力）的功，若以 P入 、 P出 、 P无 分别表示输入功率，有用阻力的输出功率和无用阻力的损耗功率，则机器的输入功率等 于有用功率与损耗功率之和。当机器稳定运转时，机器的输出功率与输入功率的比值，称为机械 效率，用η 表示，即 入 出 P P η = （13-16） 机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量好坏的重要指标之一。 §13-2 动能 1．质点的动能 动能（Kinetic energy）是物体机械运动的又一种度量，是物体作功能力的标志。质点的功能 定义为质点的质量 m 和质点速度 v 平方的乘积之半，即为 2 2 1 mv 。动能是与速度方向无关的恒正 标量。在法定计算单位中，动能的单位为 2 2 kg ⋅ m /s 与功的单位 J 相同。 应注意到，动能和动量都是表示机械运动的量，是机械运动的两种不同度量。它们虽然与质 点的质量和速度有关，但定义不同，各有其适用范围。动量是矢量，而动能是标量；动量是以机 械运动形式传递运动时的度量，而动能是机械运动形式转化为其他运动形式（如热、电等）的度 量。 2．质点系的动能 质点系内各质点动能的总和，称为质点系的动能。以 T 表示，则有 1 2 2 T mv = ∑ （13-17） 式中 v 为质点系内任一质量为 m 的质点所具有的速度。 3．刚体运动时的动能 对于刚体，按照刚体的不同运动形式，式（13-17）可以写成具体表示式。 （1）平动刚体的动能 当刚体平动时，其上各点的速度都相等。即 i C v v = ，由式（13-17） 有 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 i C i C MvC T = ∑ m v = ∑ m v = （13-18）