第四章平面任意力系 作用在物体或刚体上的力系(这里的力系包含力偶)中,若所有作用力的作用 线都在同一平面内,则该力系称为平面任意力系。 §4-1力矩 在力偶的度量中定义了力偶(F、F)的力偶矩矢 MErxF+r'xF 显然在定义式中出现了两个矢量的叉积。力偶矩中的叉积 度量了力偶的大小和方向。其实质是对刚体转动效应的度 量。对于刚体的转动效应的观察发现,不仅是只有力偶产 图4-1 生刚体的转动效应。如图4-1所示杆,在A点施加(主动)力F撬起B点的重物。 当AB杆上的F、R、P构成一个力 F 封闭三角形时,由三力平衡汇立定 理可知AB杆处于平衡状态但若F、 R、P不构成力封闭三角形时,AB 杆将会绕过O点垂直于纸平面的轴 产生转动。即作用在刚体上的三个 力(这三个力不能与力偶等效)使 AB杆处于转动状态。因此刚体的转 动效应不仅是只由力偶产生,作用在 图42 刚体上的力同样可以使得刚体转动。为了度量力对刚体的转动效应。这一节引入力
1 第四章 平面任意力系 作用在物体或刚体上的力系（这里的力系包含力偶）中，若所有作用力的作用 线都在同一平面内，则该力系称为平面任意力系。 §4-1 力矩 在力偶的度量中定义了力偶（ F 、 F′）的力偶矩矢 量 M = r × F + r′× F′ 显然在定义式中出现了两个矢量的叉积。力偶矩中的叉积 度量了力偶的大小和方向。其实质是对刚体转动效应的度 量。对于刚体的转动效应的观察发现，不仅是只有力偶产 图 4-1 生刚体的转动效应。如图 4-1 所示杆，在 A 点施加（主动）力 F 撬起 B 点的重物。 当 AB 杆上的 F、R、P 构成一个力 封闭三角形时，由三力平衡汇立定 理可知 AB 杆处于平衡状态。但若 F、 R、P 不构成力封闭三角形时，AB 杆将会绕过 O 点垂直于纸平面的轴 产生转动。即作用在刚体上的三个 力（这三个力不能与力偶等效）使 AB 杆处于转动状态。因此刚体的转 动效应不仅是只由力偶产生，作用在 图 4-2 刚体上的力同样可以使得刚体转动。为了度量力对刚体的转动效应。这一节引入力 ° F R P C A B Fy Fz Fx r F y z x M0 0 z y x
对点的矩的概念 如图42在坐标系{0,ik中的位置矢量 r=xi+yj+=k 所确定的刚体上一点处作用一集中力 F=Fi+Fi+Fk 定义r处的力F对O点的力矩矢量 M。=r×F (4-1) 式中r称为矢径;o点称为矩心 力对点的矩的性质: 1)力矩是矢量 2)力矩M的方向与r矢量线及F作用线所构成的平面正交。且由r、F的右 手规则确定其指向 3)当作用在刚体上的力沿其作用线滑 移时,力对同一点的力矩不变。如图4-3所 示,作用在刚体上A点的力F对O点的力矩 为 M。=r×F 当将F在刚体上沿作用线滑移至B点时, 图43 F对o点的力矩为 M。=F×F ro=r+ AB
2 对点的矩的概念。 如图 4-2 在坐标系{0; i, j, k}中的位置矢量 r = xi + yj + zk 所确定的刚体上一点处作用一集中力 F = Fx i + Fy j + Fzk 定义r 处的力 F 对 o 点的力矩矢量 M0 = r × F （4-1） 式中 r 称为矢径；o 点称为矩心。 力对点的矩的性质： 1）力矩是矢量 2）力矩 M0的方向与 r 矢量线及 F 作用线所构成的平面正交。且由 r、F 的右 手规则确定其指向。 3）当作用在刚体上的力沿其作用线滑 移时，力对同一点的力矩不变。如图 4-3 所 示，作用在刚体上 A 点的力 F 对 o 点的力矩 为 M0 = r × F 当将 F 在刚体上沿作用线滑移至 B 点时， 图 4-3 F 对 o 点的力矩为 M0 = r × F ∵ r0 = r + AB B F F r A x y z 0 r
M。=(r+AB)×F F+ ABx r×F+(F/F)×F rxF=M 4)非零F对F作用线上任意一点的力矩为0矢量。 M0=r×F=F×FF/r=0 对给定的坐标系{o,ik},(41)式还可表示为 j k Fr Fy F =(F: -,)i+(=F -xF2)+(xFy -)k (4-1) 力对轴的矩: y 如图4-4所示,L为一直线,l为直线L的 单位长度沿L直线的矢量。则定义F对L直线 的力矩为 l=M或M1=(r×F)l( 当给定{0,i,k}坐标系时 M1=(r×F)l (=l i+lj+lk;1Fl=1 图
3 ∴ M0 = (r + AB)× F = r × F + AB × F = r × F + (F / F)× F F M0 = r × = 4）非零 F 对 F 作用线上任意一点的力矩为 0 矢量。 ∵ r = (F / F)r ∴ M0 = r × F = F × F F /r = 0 对给定的坐标系{o; i, j, k}，（4-1）式还可表示为 Fx Fy Fz x y z 0 i j k M = r × F = = ( yFz − zFy )i + (zFx − xF2 ) j + (xFy − yFx )k （4 −1′ ） 力对轴的矩： 如图 4-4 所示，L 为一直线，l 为直线 L 的 单位长度沿 L 直线的矢量。则定义 F 对 L 直线 的力矩为 = Ml M ⋅ l 0 或 M = (r × F)⋅ l l （4-2） 当给定{0; i, j, k}坐标系时 = (r × F)⋅ l Ml (l = l x i + l y j + lzk ; | l |= l = 1 图 4-4 L 0 z y x
1, I 当l=i时 M=M=yF-=F, 当l=j时 (4-3) F M、M,、M分别称为力F对过o点的x轴、y轴、z轴的力矩。 例4-1:如图45所示。试求F1、F2对O点的矩及F1、F2对三个坐标轴的矩。 F=F F2 aFi+-aFk 2 a+ Mo(F=xF=a(i+k)xFj 图4-5 M。(F2)=2XF2=a(i+j×F2(i+k) (i-j-k)
4 x y z x x z F F F x y z i l l = r × F = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = = = − = = = − = l z y x l y x z l x z y M M xF yF M M zF xF M M yF zF ： ： ： 当 时 当 时 当 时 l k l j l i （4-3） M x 、 M y 、 M z 分别称为力 F 对过 o 点的 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。 例 4-1：如图 4-5 所示。试求 F1、F2 对 o 点的矩及 F1、F2 对三个坐标轴的矩。 解： F j 1 = F1 r = ai + ak 1 F2 a 2 i a 2 k 2 2 2 2 = − F + F r = ai + aj 2 M F r F i k j 0 1 1 1 1 ( ) = × = a( + )× F 图 4-5 ( ) 1 = aF × −i + k ( ) 2 2 ( ) ( ) M0 F2 = r2 × F2 = a i + j × F2 i + k ( ) 2 2 = aF2 i − j − k r2 F2 a a a F1 r1 x y z 0
M0(F)=aF1;M0(F2) F2 Mo(f=-aF: Mo(F=0: M(FD=aF M(F)=aF2: Mo(F2 2a:M0(F)=- §4-2力线平移定理 平面任意力系上作用的力系即不是汇交力系,也不是平面力偶系。因此对平面 任意力系的合成与平衡分析必须建立一个新的等效模型。平面任意力系所对应的等 效模型基于一个基本定理—力线平移定理 力线平移定理 作用在刚体上任意确定的A点处的力F对钢体的力学效应与作用在刚体上异于 A点的B点处的力F和作用在A点处的F对B的力矩r8×F的共同作用的力学效 应等效。 证明 如图4-6所示,在刚体上的任意选定的B点 处,由加减平衡力系公理加上一对平衡力F、F。 由于F、F是一对平衡的力,因此 当所加的一对平衡力F1、F满足条件 图46 F1=F;-F1
5 0 1 1 M (F ) = aF ； 0 2 2 2 2 M (F ) = aF 1 1 M ox (F ) = −aF ； M oy (F1 ) = 0； 1 1 M oz (F ) = aF 2 2 2 2 M ox (F ) = aF ； 2 2 2 2 M oy (F ) = − aF ； 0 2 2 2 2 M z (F ) = − aF §4-2 力线平移定理 平面任意力系上作用的力系即不是汇交力系，也不是平面力偶系。因此对平面 任意力系的合成与平衡分析必须建立一个新的等效模型。平面任意力系所对应的等 效模型基于一个基本定理——力线平移定理。 力线平移定理: 作用在刚体上任意确定的 A 点处的力 F 对钢体的力学效应与作用在刚体上异于 A 点的 B 点处的力 F 和作用在 A 点处的 F 对 B 的力矩rB × F 的共同作用的力学效 应等效。 证明： 如图 4-6 所示，在刚体上的任意选定的 B 点 处，由加减平衡力系公理加上一对平衡力 F1、F1 ′。 由于 F1、 F1 ′是一对平衡的力，因此 F1 F1 = − ′ 当所加的一对平衡力 F1、 F1 ′满足条件 图 4-6 F1 = F ；− F1 ′ = F F F'1 F1 A B rB