第九章刚体的平面运动 §91刚体平面运动的运动方程 在第七章中讨论了刚体的两种基本运动,刚体的平动运动和刚体绕固定轴的定轴转动 运动。同时通过对刚体的两种基本运动分析给出了刚体作平动运动和绕固定轴的定转动运 动时,刚体内任意点的速度矢量和加速度矢量的计算表达式。除上述两种刚体的基本运动 形式外,另一种常见的刚体运动形式是刚体的平面运动。刚 体平面运动的研究具有两个方面的意义。其一是其实际应用 意。在实际工程中许多机构的运动是平面运动或可简化为平 面运动;其二是理论基础作用。平面运动分析理论和研究方 法为处理和分析研究刚体更复杂的运动形式提供了必要的 础 平面运动:在刚体的运动中,若惯性参考系中存在一个 确定的平面I,使得刚体在运动过程中,刚体内任意一点M 到平面I的距高保持不变。则刚体的运动称为平面平行运 动。或简称为平面运动。 如图9-1所示,位与刚体上的M点在运动过程中保持 到I面的距离不变。且刚体上任意点都具有与M点相似的这 运动特征,刚体的这种运动为平面运动。与I平面垂直的 图9-1 直线上刚体的所有点具有相同的运动特征(位移,速度矢量,加速度矢量)。 证明;设t时刻作刚体平面运动刚体上M点 的位置矢量为r/(D);t+M时刻(M'点) 的位置矢量为rM(t+△1)。在t时刻取与I面 M 垂直的直线上刚体(异于M点)N点。其位 置矢量为r(D);t+Mt时刻(N’点)的位 置矢量为r+△t)。对刚体作刚体平面运动 时(见图92)》 MP=Mp: M=MN: NP= N ll=rx(t+△)-r() =r(t+△)+MN-[r(m)+MN 图92 =rM(t+△)-rM()=
1 第九章 刚体的平面运动 §9-1 刚体平面运动的运动方程 在第七章中讨论了刚体的两种基本运动，刚体的平动运动和刚体绕固定轴的定轴转动 运动。同时通过对刚体的两种基本运动分析给出了刚体作平动运动和绕固定轴的定转动运 动时，刚体内任意点的速度矢量和加速度矢量的计算表达式。除上述两种刚体的基本运动 形式外，另一种常见的刚体运动形式是刚体的平面运动。刚 体平面运动的研究具有两个方面的意义。其一是其实际应用 意。在实际工程中许多机构的运动是平面运动或可简化为平 面运动；其二是理论基础作用。平面运动分析理论和研究方 法为处理和分析研究刚体更复杂的运动形式提供了必要的 基础。 平面运动：在刚体的运动中，若惯性参考系中存在一个 确定的平面Ⅰ，使得刚体在运动过程中，刚体内任意一点 M 到平面Ⅰ的距离保持不变。则刚体的运动称为平面平行运 动。或简称为平面运动。 如图 9-1 所示，位与刚体上的 M 点在运动过程中保持 到 I 面的距离不变。且刚体上任意点都具有与 M 点相似的这 一运动特征，刚体的这种运动为平面运动。与Ⅰ平面垂直的 图 9-1 直线上刚体的所有点具有相同的运动特征（位移，速度矢量，加速度矢量）。 《证明；设 t 时刻作刚体平面运动刚体上 M 点 的位置矢量为 (t) Mr ；t + Δt 时刻（ M ′ 点） 的位置矢量为 (t t) rM + Δ 。在 t 时刻取与Ⅰ面 垂直的直线上刚体（异于 M 点）N 点。其位 置矢量为 (t) Mr ； t + Δt 时刻（ N′ 点）的位 置矢量为 (t + Δt) Nr 。对刚体作刚体平面运动 时（见图 9-2）》 MP = M ′P′； MN = M ′N′ ； NP = N′P′ (t t) (t) N N N u = r + Δ − r (t t) M N [ (t) MN] = rM + Δ + ′ ′ − rM + 图 9-2 M M M = r (t + Δt) − r (t) = u S M Ⅱ Ⅰ P' Ⅰ P N' M' N uN rN(t+△t) rN(t) rM(t+△t) rM(t) M uM
、=1im(+A)=K( lim r(t+△)+MN-Ir()+MN +△n)-P lim dv dy 因此作刚体平面运动的刚体上任意平行固定面I的平面(Ⅱ、Ⅲ…)所截刚体的交面的 运动完全相似。各不同截面(Ⅱ、Ⅲ、…)上对应点的位移矢量、速度矢量、加速度矢量 相同。即刚体的平面运动分析简化为与I面平行的任一平面与刚体的交面(或者称为平截 面)在其自身平面内的运动分析。如图9-1中Ⅱ平面上的S平截面。S的运动代表了刚 图93 体的平面运动,且S平面被视为刚体。本章所涉及的机构中各刚体的运动均为刚体的平面 运动(且刚体的平动运动和刚体的定轴转动运动视为刚体y 平面运动的两种运动特殊运动。即所涉及的刚体平动运动 和刚体的定轴转动运动同时具有刚体平面运动的属性)。 所分析机构的示意图均为上述S平截面内的几何示意图 如图9-3(a)所示的车轮沿直线轨道的滚动运动;图9-3 M (b)所示的曲柄连杆机构的运动;图9-3(c)所示行星 齿轮O1的运动等。 取平载面S,并在S所在平面内建立与固定面I固建 在一起的坐标系on。如图9-4所示。由于刚体上任意两 图94 点之间的距离保持不变。因此在任意时刻,S平截面在oxy面内的位置完全由其内两点O
2 t t t t N N t N Δ + Δ − = Δ → ( ) ( ) lim 0 r r v t M t t M N M t MN t Δ + Δ + ′ ′ − + = Δ → ( ) [ ( ) ] lim 0 r r M M M t t t t t v r r = Δ + Δ − = Δ → ( ) ( ) lim 0 = = = M >> N M N dt d dt d a v v a 因此作刚体平面运动的刚体上任意平行固定面Ⅰ的平面（Ⅱ、Ⅲ、…）所截刚体的交面的 运动完全相似。各不同截面（Ⅱ、Ⅲ、…）上对应点的位移矢量、速度矢量、加速度矢量 相同。即刚体的平面运动分析简化为与Ⅰ面平行的任一平面与刚体的交面（或者称为平截 面）在其自身平面内的运动分析。如图 9-1 中Ⅱ平面上的 S 平截面。S 的运动代表了刚 O ω (c) ωO1 (b) O B A (a) v ω O1 ωO 图 9-3 体的平面运动，且 S 平面被视为刚体。本章所涉及的机构中各刚体的运动均为刚体的平面 运动（且刚体的平动运动和刚体的定轴转动运动视为刚体 平面运动的两种运动特殊运动。即所涉及的刚体平动运动 和刚体的定轴转动运动同时具有刚体平面运动的属性）。 所分析机构的示意图均为上述 S 平截面内的几何示意图。 如图 9-3（a）所示的车轮沿直线轨道的滚动运动；图 9-3 （b）所示的曲柄连杆机构的运动；图 9-3（c）所示行星 齿轮 O1 的运动等。 取平载面 S，并在 S 所在平面内建立与固定面Ⅰ固建 在一起的坐标系 oxy。如图 9-4 所示。由于刚体上任意两 图 9-4 点之间的距离保持不变。因此在任意时刻 t，S 平截面在 oxy 面内的位置完全由其内两点O′， S L M' M O' y O x
M两点的位置(或者说由直线段O'M)所确定。平面上两点具有四个自由度,而引入两点 之间距离保持不变(刚体特征所要求的)约束条件。由此可知,S平截面在Oxy平面内的 运动具有三个自由度。即S图形的oxy平面内的运动可由三个参数完全描述。这三个参数 的选取具有任意性(因为O、M点的选取具有任意性)。如可选取O、M点在ay坐标系 的坐标x,y、xn、y及两点之间距离d为常数的约束条件,即 Vo=Vo =x() (a) (xn-x)2+(y-y)2 但由于上述参数选择中带有约束条件,这给刚体平面运动的分析带来了不便。为避免附加 约束条件带来的不便,在选取描述直线段OM运动的三个参数时,过O’点作Ox轴的平行 线l。并设OM直线段与l直线的夹角为q。角的起始度量为O射线,其转向为由x 轴正向转向y轴正向(图94中为逆时针转动)为正。反之为负。由于参数的引入,有 下述关系 xy=xo+d cos(o) (b) d sino() 将(b)式代入(a)式得 y0() xm= xo +d cos(n) yx=yo+dsin o(t 该式表示在任意时刻t,只要x、y、φ给定。则S平截面的位置被唯一确定。因此对S 平截面在ox面内的平面运动的三个参数可取为 Ro=ro o() q=(1) x、y、φ作为时间参数r的单值连续函数,完全描述了y面内S平截面的平面运动。 因此(9-1)式称为刚体平面运动的运动方程。在应用(9-1)式的刚体平面运动方程时, 当特别注意参数q(t)的起度量和其正负
3 M 两点的位置（或者说由直线段O′M）所确定。平面上两点具有四个自由度，而引入两点 之间距离保持不变（刚体特征所要求的）约束条件。由此可知，S 平截面在 oxy 平面内的 运动具有三个自由度。即 S 图形的 oxy 平面内的运动可由三个参数完全描述。这三个参数 的选取具有任意性（因为O′、M 点的选取具有任意性）。如可选取O′、M 点在 oxy 坐标系 的坐标 x0′ ， y0′ 、 Mx 、 My 及两点之间距离 d 为常数的约束条件，即： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − = = = = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2 2 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y d y y t x x t y y t x x t M M M M M M （a） 但由于上述参数选择中带有约束条件，这给刚体平面运动的分析带来了不便。为避免附加 约束条件带来的不便，在选取描述直线段O′M 运动的三个参数时，过O′点作 ox 轴的平行 线 l。并设O′M 直线段与 l 直线的夹角为ϕ 。ϕ 角的起始度量为O′l 射线，其转向为由 x 轴正向转向 y 轴正向（图 9-4 中为逆时针转动）为正。反之为负。由于ϕ 参数的引入，有 下述关系： ⎩ ⎨ ⎧ = + = + ′ ′ sin ( ) cos ( ) 0 0 y y d t x x d t M M ϕ ϕ （b） 将（b）式代入（a）式得 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ 1 1 sin ( ) cos ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 y y d t x x d t y y t x x t M M ϕ ϕ （c） 该式表示在任意时刻 t，只要 x0′ 、 y0′ 、ϕ 给定。则 S 平截面的位置被唯一确定。因此对 S 平截面在 oxy 面内的平面运动的三个参数可取为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 t y y t x x t ϕ ϕ （9-1） x0′ 、 y0′ 、ϕ 作为时间参数 t 的单值连续函数，完全描述了 oxy 面内 S 平截面的平面运动。 因此（9-1）式称为刚体平面运动的运动方程。在应用（9-1）式的刚体平面运动方程时， 应当特别注意参数ϕ （t）的起度量和其正负
§92平面运动的分解 刚体平面运动的运动方程(9-1)中的x0、y是o点在固定面内oy坐标系中的坐标。 坐标系{0;i称为固定坐标架。刚体的平面运动分析被简化为S平截面相对{0:i,j固定 坐标架的运动。在S平截面上任选一点A(基点),并且在S平截面上建立坐标系{A;e,e2}。 坐标系{:;e,e2}称为固连坐标架。这样刚体的平面运动就被看作为固连坐标架{A;e,e} 相对于固定坐标架{o;i,j的运动。此时刚体平面运动的运动方程 y=y(t 实质上是基点A相对固定坐标架的运动方程和e相对i转过的转角方程。 为了研究刚体的平面运动,除固定坐标架{0;ij和固连坐标架{A;e,e2}外。在引入 个中间坐标架{;i,}。中间坐标架{A;i,j的坐标原点就是固连坐标架的原点,即基点 A。该坐标架的单位基矢量就取为固定坐标架的单位基矢量。且称这一中间坐标架为平动 坐标架。 在刚体平面运动分析时,引入了固定坐标架{0;i,;固连坐标架{A;e,e2};平动坐 标架{;i,j。在这三个坐标架下,刚体的平面运动(确切地说是作平面运动刚体上S平 截面的运动)可以看作为:S平截面随基点A处平动坐标架{;i,相对固定坐标架{0;i, 的平动运动和固连坐标架{4;e1,e2}相对平动坐标架绕基点A的定轴转动《过基点A且垂 直于S平截面的轴相对固定坐标架{0;L不是固定轴,但相对平动坐标架{;i}是固定 轴》。或者说在固定坐标架{0;j;固连坐标架{A;e1,e2};平动坐标架的框架中,刚体 平面运动时S平截面的运动被分解为:随基点A的平动运动和绕基点A的转动运动。刚体 平面运动的运动方程中 x=x, LVA=y( 出了S平截面随基点A的平动运动方程;刚体平面运动的运动方程中 q=(1) 给出了S平截面绕基点A转动运动方程(转角方程)。 如图9-5所示。圆轮作纯滚动(平面)运动时,固定坐标架{0;i,};固连坐标架{A e,e2}:平动坐标架{A:i,j在转动、3 19 和-丌时,两种不同基点A的选取情况的几 何示意图。见图(a)、图(b)。图(c)给出了(a)图中基点A的选取及04交时的S 平截面平面运动分解为随基点平动坐标架{A;i,j的平动运动和固连坐标架{A:;e,e2}绕基
4 §9-2 平面运动的分解 刚体平面运动的运动方程（9-1）中的 x0′ 、y0′ 是o′ 点在固定面内 oxy 坐标系中的坐标。 坐标系{0；i, j}称为固定坐标架。刚体的平面运动分析被简化为 S 平截面相对{0；i, j}固定 坐标架的运动。在 S 平截面上任选一点 A（基点），并且在 S 平截面上建立坐标系{A；e1, e2}。 坐标系{A；e1, e2}称为固连坐标架。这样刚体的平面运动就被看作为固连坐标架{A；e1, e2} 相对于固定坐标架{o；i, j}的运动。此时刚体平面运动的运动方程： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ( ) ( ) ( ) t y y t x x t A A A A ϕ ϕ 实质上是基点 A 相对固定坐标架的运动方程和 e1 相对 i 转过的转角方程。 为了研究刚体的平面运动，除固定坐标架{0；i, j}和固连坐标架{A；e1, e2}外。在引入 一个中间坐标架{A；i, j}。中间坐标架{A；i, j}的坐标原点就是固连坐标架的原点，即基点 A。该坐标架的单位基矢量就取为固定坐标架的单位基矢量。且称这一中间坐标架为平动 坐标架。 在刚体平面运动分析时，引入了固定坐标架{0；i, j}；固连坐标架{A；e1, e2}；平动坐 标架{A；i, j}。在这三个坐标架下，刚体的平面运动（确切地说是作平面运动刚体上 S 平 截面的运动）可以看作为：S 平截面随基点 A 处平动坐标架{A；i, j}相对固定坐标架{0；i, j} 的平动运动和固连坐标架{A；e1, e2}相对平动坐标架绕基点 A 的定轴转动《过基点 A 且垂 直于 S 平截面的轴相对固定坐标架{0；i, j}不是固定轴，但相对平动坐标架{A；i, j}是固定 轴》。或者说在固定坐标架{0；i, j}；固连坐标架{A；e1, e2}；平动坐标架的框架中，刚体 平面运动时 S 平截面的运动被分解为：随基点 A 的平动运动和绕基点 A 的转动运动。刚体 平面运动的运动方程中 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y y t x x t A A A A 给出了 S 平截面随基点 A 的平动运动方程；刚体平面运动的运动方程中 ϕ = ϕ(t) 给出了 S 平截面绕基点 A 转动运动方程（转角方程）。 如图 9-5 所示。圆轮作纯滚动（平面）运动时，固定坐标架{0；i, j}；固连坐标架{A； e1, e2}；平动坐标架{A；i, j}在ϕ 转动 π 4 3 − 和 π 12 19 − 时，两种不同基点 A 的选取情况的几 何示意图。见图（a）、图（b）。图（c）给出了（a）图中基点 A 的选取及ϕ π 4 3 = − 时的 S 平截面平面运动分解为随基点平动坐标架{A；i, j}的平动运动和固连坐标架{A；e1, e2}绕基
7 el I e2 A(Y=Q 分解 AC=-130) 点A的转动运动示意图。 图95 由上述作纯滚动圆轮的平面运动分析可以看到,基点选取的不同,平动坐标架{A;i,j 相对固定坐标架{0;i}的平动运动的平动速度矢量和平动加速度矢量也就不同。或者说不 同的基点选取,其基点的速度矢量和加速度矢量不同。因此在对刚体平面运动分析时,基 点的选取将直接影响刚体平面运动分析的繁简。 §93求S平截面内各点速度的基点法 对于作刚体平面运动的刚体,一旦选定了S平截面,并给定固定坐标{0;i,j;固连坐 标架{;e,e2};平动坐标架{A;i}。则S平截面内点的速度矢量加速度矢量均可通过点 的合成运动分析确定。本节通过点的合成运动分析,给出S平截内点的速度矢量。并给出 刚体平面运动分析中速度矢量分析的基本方法之一—基点法
5 (a) j O i j e1 i e2 A j A i A j i e1 e2 e1 e2 75° 135° j O i i j j i i j (b) e2 e1 e1 e2 e1 e2 A A A A (c) A A(ψ=0) A(ψ=-130) 合 成 分 解 135° 点 A 的转动运动示意图。 图 9-5 由上述作纯滚动圆轮的平面运动分析可以看到，基点选取的不同，平动坐标架{A；i, j} 相对固定坐标架{0；i, j}的平动运动的平动速度矢量和平动加速度矢量也就不同。或者说不 同的基点选取，其基点的速度矢量和加速度矢量不同。因此在对刚体平面运动分析时，基 点的选取将直接影响刚体平面运动分析的繁简。 §9-3 求 S 平截面内各点速度的基点法 对于作刚体平面运动的刚体，一旦选定了 S 平截面，并给定固定坐标{0；i, j}；固连坐 标架{A；e1, e2}；平动坐标架{A；i, j}。则 S 平截面内点的速度矢量加速度矢量均可通过点 的合成运动分析确定。本节通过点的合成运动分析，给出 S 平截内点的速度矢量。并给出 刚体平面运动分析中速度矢量分析的基本方法之一——基点法