第十一章动量定理 对于质点系,可以逐个质点列出其动力学基本方程,但是很难联立求解。 动量、动量矩和动能定理从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变化与其受力 之间的关系,可用以求解质点系动力学问题。动量、动量矩和动能定理统称为动力学普遍 定理。本章将阐明及应用动量定理。 11-1动量与冲量 1.动量( Momentum) 物体运动的强弱,不仅与它的速度有关,而且还与它的质量有关,例如一颗高速飞行 的子弹,虽然它的质量很小,但是却具有很大的冲击力,当遇到障碍时,足以穿入甚至穿 透该障碍,轮船靠岸时速度虽小,但质量很大,如稍有疏忽,就会撞坏般坞。因此,我们 用质点的质量与速度的乘积来表征质点的机械运动量,称为质点的动量( Momentum of a particle)。质点的动量是一个矢量,它的方向与质点速度的方向一致,记为m 动量的单位:在法定计算单位中是千克·米秒(kg·ms) 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量( Momentum of system of particles), 记为p,即 ∑ (11-1) 将式(11-1)投影到固定直角坐标轴上,可得 ∑ PpP 式中p,P2,p2分别表示质点系的动量在坐标轴x,y和z轴上的投影。 例11-1质量均为m的物块A和B,由不可伸长的软绳通过轮C连接,轮C的质量 不计,物块A速度为ν,如图11-1所示。求此系统的动量。 解把物块A、B分别视为质点,其速度vA=vB=v,系统的动量在x、y轴上的投影 分别为 mBB 图
1 第十一章 动量定理 对于质点系，可以逐个质点列出其动力学基本方程，但是很难联立求解。 动量、动量矩和动能定理从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变化与其受力 之间的关系，可用以求解质点系动力学问题。动量、动量矩和动能定理统称为动力学普遍 定理。本章将阐明及应用动量定理。 11-1 动量与冲量 1．动量（Momentum） 物体运动的强弱，不仅与它的速度有关，而且还与它的质量有关，例如一颗高速飞行 的子弹，虽然它的质量很小，但是却具有很大的冲击力，当遇到障碍时，足以穿入甚至穿 透该障碍，轮船靠岸时速度虽小，但质量很大，如稍有疏忽，就会撞坏般坞。因此，我们 用质点的质量与速度的乘积来表征质点的机械运动量，称为质点的动量（Momentum of a particle）。质点的动量是一个矢量，它的方向与质点速度的方向一致，记为 mv。 动量的单位：在法定计算单位中是千克·米/秒（kg·m/s）。 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量（Momentum of system of particles）， 记为 p，即 p = ∑ mv （11-1） 将式（11-1）投影到固定直角坐标轴上，可得 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = ∑ ∑ ∑ z z y y x x p mv p mv p mv （11-2） 式中 px，py，pz 分别表示质点系的动量在坐标轴 x，y 和 z 轴上的投影。 例 11-1 质量均为 m 的物块 A 和 B，由不可伸长的软绳通过轮 C 连接，轮 C 的质量 不计，物块 A 速度为v ，如图 11-1 所示。求此系统的动量。 解 把物块 A、B 分别视为质点，其速度v v v A = B = ，系统的动量在 x、y 轴上的投影 分别为 θ O p mAvA C v vB A B mBvB x y 图 11-1
Pr=-mAvA cos8-mBV=-mmv(1+ cos 8) P=-m va sin 8+0=-mmvsin 8 系统的动量大小为P=√n2+p2=m√2(+c0s0) 其方向可由方向余弦来确定 Px 1+cos e 0) sin B= Py sin e COSa= 2(1+ 2(1+cos 0) 应注意,质点的动量是其质量和它运动的绝对速度的乘积,质点系的动量为系内各质 点动量的矢量和,因此,可能存在质点的动量大于质点系的动量,甚至系内的质点具有动 量,而质点系的动量等于零。 质点系的运动不仅与作用在质点系上的力与有关,而且与质量的大小及其分布情况有 关。质心( Center of mass)就是对质点系质量分布特征的一种描述。设一质点系由n个质 点组成,其中任一质点的质量为m,相对直角坐标系Oxz坐标原由点的矢径为r,则质心 C的位置矢r由下式确定 式中M=∑m为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为 ∑mx ∑ ∑ m (11-4) 质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用,则质 点m的重量为mg,质点系总重量为Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以g,即得 到静力学中的重心坐标公式。可见,在重力场中,质心与重心相重合,但应注意,重心只 在地球表面附近才有意义,而质心在宇宙间依然存在 当质点系运动时,它的质心也随着运动。质心运动的速度 dt dtm 于是,得 所以 P=Mv (11-5 即质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。 对于质量均匀分布的规划刚体,质心也就是几何中心,用式(11-5)计算刚体的动量
2 p = −m v cosθ − m v = −mv (1+ cosθ ) x A A B p y = −mAv A sinθ + 0 = −mv sinθ 系统的动量大小为 2 (1 cos ) 2 2 p = px + p y = mv + θ 其方向可由方向余弦来确定 2 (1 cos ) sin , sin 2 (1 cos ) 1 cos cos θ θ β θ θ α + = = − + + = = − p p p px y 应注意，质点的动量是其质量和它运动的绝对速度的乘积，质点系的动量为系内各质 点动量的矢量和，因此，可能存在质点的动量大于质点系的动量，甚至系内的质点具有动 量，而质点系的动量等于零。 质点系的运动不仅与作用在质点系上的力与有关，而且与质量的大小及其分布情况有 关。质心（Center of mass）就是对质点系质量分布特征的一种描述。设一质点系由 n 个质 点组成，其中任一质点的质量为 mi，相对直角坐标系 Oxyz 坐标原由点的矢径为 ir ，则质心 C 的位置矢 Cr 由下式确定 i i C i m m m M r r r = = ∑ ∑ ∑ （11-3） 式中 M = ∑ mi 为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为 mx my m z xyz MMM C CC = == ∑∑∑ （11-4） 质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用，则质 点 mi 的重量为 mi g，质点系总重量为 Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以 g，即得 到静力学中的重心坐标公式。可见，在重力场中，质心与重心相重合，但应注意，重心只 在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 当质点系运动时，它的质心也随着运动。质心运动的速度 d d d d C C m m t tM M r r v v ⎡ ⎤ == = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ 于是，得 m M C ∑ v v = 所以 M C p v = （11-5） 即质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。 对于质量均匀分布的规划刚体，质心也就是几何中心，用式（11-5）计算刚体的动量
是非常方便的。例如,长为l,质量为m的均质细杆,在平面内绕O轴转动,角速度为O, 如图112a所示。细杆质心的速度为vc=l,则细杆的动量为mlo,方向与v方向 相同。又如图112b所示的均质滚轮,质量为m,质心速度为v,则其动量为mvo。而如 图112c所示的绕中心转动的匀质轮,无论有多大的角速度和质量,由于其质心的速度为零, 其动量总是零。 (a) (b) 图11-2 2.冲量( Impulse) 冲量是表示作用于物体的力在一段时间内对物体作用效果的累积。推动小车时,用较 大的力可在较短时间内达到一定的速度;要是用较小的力,但作用时间长一些,也可达到 同样的速度。因此,物体运动状态的改变,不仅与作用于物体上的力的大小和方向有关, 而且与力作用的时间的长短有关。为了度量力在一段时间内的作用效果,我们把力与其作 用时间的乘积称为该力的冲量,用Ⅰ表示。冲量是一个矢量,它的方向与力的方向一致。 在法定计量单位中,冲量的单位是牛顿·秒(N·s)。 当力F是常矢量时,冲量 Ⅰ=Ft 当力F是变矢量时,在d时间内,力F可以似近地认为不变,因而力F在d时间内 的冲量(称为元冲量)为 dⅠ=Fdt 设力的作用时间是由到12,则力F在时间(12-n1)内的冲量I,应等于在这段时间 内元冲量的矢量和。即 Fdt (11-6) 将式(11-6)投影到固定直角坐标轴上,得到冲量Ⅰ在三个直角坐标轴上的投影为 Fdr, I,E dr, I=F dr (11-7 设作用在一质点的n个力F,F2…,Fn,它们的合力为FR,合力F2在时间(21)
3 是非常方便的。例如，长为 l，质量为 m 的均质细杆，在平面内绕 O 轴转动，角速度为ω ， 如图 11-2a 所示。细杆质心的速度为 1 2 Cv = lω ，则细杆的动量为 1 2 mlω ，方向与 Cv 方向 相同。又如图 11-2b 所示的均质滚轮，质量为 m，质心速度为 Ov ，则其动量为 m Ov 。而如 图 11-2c 所示的绕中心转动的匀质轮，无论有多大的角速度和质量，由于其质心的速度为零， 其动量总是零。 2．冲量（Impulse） 冲量是表示作用于物体的力在一段时间内对物体作用效果的累积。推动小车时，用较 大的力可在较短时间内达到一定的速度；要是用较小的力，但作用时间长一些，也可达到 同样的速度。因此，物体运动状态的改变，不仅与作用于物体上的力的大小和方向有关， 而且与力作用的时间的长短有关。为了度量力在一段时间内的作用效果，我们把力与其作 用时间的乘积称为该力的冲量，用 I 表示。冲量是一个矢量，它的方向与力的方向一致。 在法定计量单位中，冲量的单位是牛顿·秒（N·s）。 当力 F 是常矢量时，冲量 I = F t 当力 F 是变矢量时，在 dt 时间内，力 F 可以似近地认为不变，因而力 F 在 dt 时间内 的冲量（称为元冲量）为 d d I F= t 设力的作用时间是由 t1到 t2，则力 F 在时间（t2- t1）内的冲量 I ，应等于在这段时间 内元冲量的矢量和。即 2 1 d t t I = F t ∫ （11-6） 将式（11-6）投影到固定直角坐标轴上，得到冲量 I 在三个直角坐标轴上的投影为 222 111 ddd ttt xx yy zz ttt I F t, I F t, I F t === ∫∫∫ （11-7） 设作用在一质点的 n 个力 1 2 , ,, F F F " n ，它们的合力为 FR ，合力 FR 在时间（t2- t1） C O A C C vC vO vC = 0 ω ω 图 11-2 （a） （b） （c）
内的冲量I,则 I= FR dt='(F+F2 Fn)de Fdr+F2d+…+|Fndt=l1+2+…+Ln (11-8) 式(11-8)说明,合力的冲量等于各分力冲量的矢量和。 同样,可将式(11-8)向直角坐标轴投影而得投影式 11-2动量定理 1.质点的动量定理( Theorems of momentum of a particle) 设有一质点M,质量为m,速度为ν,加速度为a,作用 在质点M上的合力为F,如图113所示。由动力学基本方程 或 F (11-9) 图11-3 即质点动量对时间的导数等于作用在该质点上的合力。这就是微分形式的质点动量定理 将式(119)改写为 (mv)=Fd 然后将上式两边积分,时间从t到12,速度ν从v到v,得 mv2-mv=l Fdt=I (11-10) 即质点的动量在任一时间内的改变,等于作用在该质点上的合力在同一时间内的冲量,这 就是积分形式的质点动量定理,也称质点冲量定理( Theorems of impulse of a particle) 将式(11-10)投影到直角坐标轴上,可得到质点动量定理的投影式 m2r-m f dt=l ∫F,d=l (11-11) f dt=l 即在任一时间内,质点的动量在任一轴上投影的改变,等于作用在该质点上的合力的冲量
4 内的冲量 I ，则 2 2 1 1 22 2 11 1 1 2 1 2 d ( )d dd d t t R n t t tt t n tt t t t tt t I F FF F FF F = = + ++ = + ++ = ∫ ∫ ∫∫ ∫ " " " 12 n II I +++ 即 I = ∑I （11-8） 式（11-8）说明，合力的冲量等于各分力冲量的矢量和。 同样，可将式（11-8）向直角坐标轴投影而得投影式。 11-2 动量定理 1．质点的动量定理（Theorems of momentum of a particle） 设有一质点 M，质量为 m，速度为 v，加速度为 a，作用 在质点 M 上的合力为 F，如图 11-3 所示。由动力学基本方程 有 m a = F 或 d d m t v = F （11-9） 即质点动量对时间的导数等于作用在该质点上的合力。这就是微分形式的质点动量定理。 将式（11-9）改写为 d d (m t v F ) = ⋅ 然后将上式两边积分，时间从 t1 到 t2，速度 v 从 v1 到 v2，得 2 1 2 1 d t t mm t vv F I − = ⋅= ∫ （11-10） 即质点的动量在任一时间内的改变，等于作用在该质点上的合力在同一时间内的冲量，这 就是积分形式的质点动量定理，也称质点冲量定理（Theorems of impulse of a particle）。 将式（11-10）投影到直角坐标轴上，可得到质点动量定理的投影式 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d d t xx x x t t yy y y t t zz z z t mv mv F t I mv mv F t I mv mv F t I ⎫ −= = ⎪ ⎪⎪ −= = ⎬ ⎪ ⎪ −= = ⎪⎭ ∫ ∫ ∫ （11-11） 即在任一时间内，质点的动量在任一轴上投影的改变，等于作用在该质点上的合力的冲量 v F M a 图 11-3 mv
的同一轴上的投影。 2.质点系的动量定理( Theorems of momentum of system of particles) 对于n个质点组成的质点系,系内每一个质点都可以写出类似于式(11-9)的方程 dt 式中,F,F分别表示作用于质点上的外力和内力,将这n个方程相加得 ∑d(m)F+2 交换求和、求导次序得 dm)=>F+∑F 式中∑m为质点系的动量,注意∑F=0,所以上式成为 ∑F=F (11-12) 即质点系的动量对时间的变化率,等于作用在质点系上所有外力的矢量和(外力系的主矢), 这就是质点系动量定理的微分形式。将式(11-12)投影到直角坐标轴上,可得 Px F=F dt P,=∑F=F (11-13 d 式(11-13)表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数,等于作用于质点系的外力 在同一轴上投影的代数和。 式(11-12)也可写成 φ=∑F 将上式两边对应积分,时间从t1到2,动量从P1到P2,得 P2-P=∑∫F山=∑r (11-14) 式中I表示力F在时间(-1)内的冲量。式(11-14)表示质点系动量在任一时间内的 改变,等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和,这就是积分形式的质点 系动量定理,也称为质点系的冲量定理。 将式(11-14)投影到直角坐标轴上,得
5 的同一轴上的投影。 2．质点系的动量定理（Theorems of momentum of system of particles） 对于 n 个质点组成的质点系，系内每一个质点都可以写出类似于式（11-9）的方程 d ( ) d e i m t vFF = + 式中， e F ， i F 分别表示作用于质点上的外力和内力，将这 n 个方程相加得 d ( ) d e i m t ∑ ∑∑ vFF = + 交换求和、求导次序得 d ( ) d e i m t ∑ vFF = + ∑ ∑ 式中∑mv 为质点系的动量，注意 0 i ∑F = ，所以上式成为 d d e e R t p FF = = ∑ （11-12） 即质点系的动量对时间的变化率，等于作用在质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）， 这就是质点系动量定理的微分形式。将式（11-12）投影到直角坐标轴上，可得 d d d d d d e e x x Rx e e y y Ry e e z z Rz p FF t p F F t p FF t ⎫ = = ⎪ ⎪ ⎪ = = ⎬ ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎭ ∑ ∑ ∑ （11-13） 式（11-13）表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数，等于作用于质点系的外力 在同一轴上投影的代数和。 式（11-12）也可写成 dp F dt e = ∑ 将上式两边对应积分，时间从 t1 到 t2，动量从 p1到 p2，得 2 1 2 1 d t e e t pp F I −= = ∑∫ t ∑ （11-14） 式中 e I 表示力 e F 在时间（t2-t1）内的冲量。式（11-14）表示质点系动量在任一时间内的 改变，等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和，这就是积分形式的质点 系动量定理，也称为质点系的冲量定理。 将式（11-14）投影到直角坐标轴上，得