第十七章振动基本理论 振动是自然界最普遍的现象之一。在许多情况下,振动被认为是消极因素。例如,振 动会加剧机械设备的磨损,缩短设备和结构的使用寿命,引起结构的破坏。然而振动也有 它积极的一面 例如,振动沉桩、振动筛选,振动传输等,都是利用振动的生产装备和工艺。我们研 究振动的目的,就是要避免或消除它的消极方面,而利用它的积极方面,使振动在工程技 术中更好地发挥它的作用 本章仅限于讨论单自由度系统的振动 §17-1单自由度系统的自由振动 在研究振动问题时,往往可把具体的振动系统抽象为一个质量和一个弹簧的弹簧质量 系统,如图17-1所示。弹簧的质量略去不计,该系统具有一个自由度,在重力影响下沿 铅垂方向振动。为分析其运动规律,先列出其运动微分方程。 1.自由振动( Free vibration)微分方程 设物块的质量为m,弹簧原长为b,刚度系数为k。物块在平衡位置时,弹簧的变形 为δ,称为静变形。平衡时,重力P与弹性力相等,即P=mg=δ 由此可得弹簧的静变形为 (17-1) 取物块的静平衡位置(振动中心)为坐标原点,x轴沿垂向下,当物块在任意位置x 处时,弹簧对物块的作用力大小为F=k(6+x) 阻力(振动问题中称阻尼)略去不计,根据牛顿第二定律,物块的运动微分方程为 将式(17-1)代入上式,可得 d2x dt2 令 k 可得 (17-3)
1 第十七章 振动基本理论 振动是自然界最普遍的现象之一。在许多情况下，振动被认为是消极因素。例如，振 动会加剧机械设备的磨损，缩短设备和结构的使用寿命，引起结构的破坏。然而振动也有 它积极的一面。 例如，振动沉桩、振动筛选，振动传输等，都是利用振动的生产装备和工艺。我们研 究振动的目的，就是要避免或消除它的消极方面，而利用它的积极方面，使振动在工程技 术中更好地发挥它的作用。 本章仅限于讨论单自由度系统的振动。 §17-1 单自由度系统的自由振动 在研究振动问题时，往往可把具体的振动系统抽象为一个质量和一个弹簧的弹簧质量 系统，如图 17-1 所示。弹簧的质量略去不计，该系统具有一个自由度，在重力影响下沿 铅垂方向振动。为分析其运动规律，先列出其运动微分方程。 1．自由振动（Free vibration）微分方程 设物块的质量为 m，弹簧原长为 l0，刚度系数为 k。物块在平衡位置时，弹簧的变形 为δ st ，称为静变形。平衡时，重力 P 与弹性力相等，即 P = mg = δ st 由此可得弹簧的静变形为 k mg δ st = （17-1） 取物块的静平衡位置（振动中心）为坐标原点，x 轴沿垂向下，当物块在任意位置 x 处时，弹簧对物块的作用力大小为 F k( x) = δ st + 阻力（振动问题中称阻尼）略去不计，根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为 mg k( ) x t x m = − δ st + 2 2 d d 将式（17-1）代入上式，可得 k x t x m = − 2 2 d d 令 m k n =2 ω （17-2） 可得 0 d d 2 2 2 + x = t x ωn （17-3） x δst l0 F k x P 图 17-1
式(17-3)为单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的标准形式。它是一个二阶常系数齐 次微分方程。其解为 x= C1 cos@n, t+C2 sin @n t (17-4) 式中C1、C2为积分常量,可由运动初始条件确定。 式(17-4)对时间t求导数,可得物块在任意瞬时的速度为 dx=-C,@, sin@, t+C2@n, cos o,t 当t=0时,x=x,ν=1,可求出积分常量 =x0,C2 为了便于研究自由振动的规律及特性,令 CI=Asin 0, C2=Acos 8 则式(174)可写成 x= Asin(@ t+0 (17-5) 式中 (17-6) 由式(17-5)可知无阻尼自由振动是 简谐振动,其运动图线如图17-2所 2.自由振动的特点 (1)周期与频率。由式(17-5) 可知,物体的无阻尼自由振动是周期 运动,设周期为T,有x()=x(+7) 如图172所示。式(17-5)中正弦 函数的角度周期为2x,即 丌 17-2 可得无阻尼自由振动的周期为 无阻尼自由振动的频率为
2 式（17-3）为单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的标准形式。它是一个二阶常系数齐 次微分方程。其解为 cos t sin t C1 n C2 n x = ω + ω （17-4） 式中 C1、C2为积分常量，可由运动初始条件确定。 式（17-4）对时间 t 求导数，可得物块在任意瞬时的速度为 C t C t t x v ωn ωn ωn ωn sin cos d d = = − 1 + 2 当 t = 0 时，x = x0，v = v0，可求出积分常量 1 0 C = x ， n v C ω 0 2 = 为了便于研究自由振动的规律及特性，令 C1 = Asinθ ，C2 = Acosθ 则式（17-4）可写成 x = A (ω t + θ ) n sin （17-5） 式中 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + = + 0 0 2 2 0 0 2 2 2 1 tan v x v A C C x n n ω θ ω （17-6） 由式（17-5）可知无阻尼自由振动是 简谐振动，其运动图线如图 17-2 所 示。 2．自由振动的特点 （1）周期与频率。由式（17-5） 可知，物体的无阻尼自由振动是周期 运动，设周期为 T，有 x() ( ) t = x t + T ， 如图 17-2 所示。式（17-5）中正弦 函数的角度周期为 2π ，即 ωn ( ) T + t + θ − (ωn t + θ ) = 2π 可得无阻尼自由振动的周期为 n T ω 2π = （17-7） 无阻尼自由振动的频率为 0 t x A0 A0 t T 图 17-2 x0
(17-8) 由上式可求 Cn=2丌f 表示物体在2丌秒内振动的次数,称为圆频率( Circular frequency)。由式(17-2)可知on 只与系统本身的质量m及刚度k有关,而与运动的初始条件无关,是振动系统的固有特 性,所以称On为固有圆频率(一般也称固有频率( Natural frequency))。其单位与频率∫ 相同,为赫兹(Hz)。 m=P和k=P代入式(172),得 (17-10 式(17-10)表明,对上述振动系统,只要知道重力作用下的静变形,就可求得系统 的固有频率。 (2)振幅( Amplitude)和初位相。在式(17-5)中,A表示物块偏离振动中心的最 大距离,称为振幅,它反映自由振动的范围和强弱;(on+)称为振动的相位( Phase) (或相位角),单位是弧度(rad),相位决定了物块在某瞬时t的位置,而θ称为初相位 它决定了物块运动的起始位置 例17-1求图17-3所示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为m,摆绳长为l。 解单摆的静平衡位置为铅垂位置,用摆绳偏离垂线的夹角φ作为角坐标。摆球受到 重力mg和绳拉力F的作用。取φ的增大方向为正向,依据动量矩定理,得 d2φ -m lsin p d o 对于微幅振动的单摆,sin≈φ,上式可简化为 d2g 0 与式(17-3)比较,可得单摆微幅振动的固有圆频率为 周期为
3 π ω 2 1 n T f = = （17-8） 由上式可求 f ωn = 2π （17-9） 表示物体在 2π 秒内振动的次数，称为圆频率（Circular frequency）。由式（17-2）可知ωn 只与系统本身的质量 m 及刚度 k 有关，而与运动的初始条件无关，是振动系统的固有特 性，所以称ωn 为固有圆频率（一般也称固有频率（Natural frequency））。其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。 g P m = 和 st P k δ = 代入式（17-2），得 s t n g δ ω = （17-10） 式（17-10）表明，对上述振动系统，只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统 的固有频率。 （2）振幅（Amplitude）和初位相。在式（17-5）中，A 表示物块偏离振动中心的最 大距离，称为振幅，它反映自由振动的范围和强弱；(ω t + θ ) n 称为振动的相位（Phase） （或相位角），单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时 t 的位置，而θ 称为初相位， 它决定了物块运动的起始位置。 例 17-1 求图 17-3 所示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为 m，摆绳长为 l。 解 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏离垂线的夹角ϕ 作为角坐标。摆球受到 重力 mg 和绳拉力 F 的作用。取ϕ 的增大方向为正向，依据动量矩定理，得 ϕ ϕ sin d d 2 2 2 m g l t ml = − 即 0 sin d d 2 2 + = l g t ϕ ϕ 对于微幅振动的单摆，sinϕ ≈ϕ ，上式可简化为 0 d d 2 2 + ϕ = ϕ l g t 与式（17-3）比较，可得单摆微幅振动的固有圆频率为 l g ωn = 周期为 O φ F l mg v 图 17-3
2π=2兀 讨论 (1)与质量弹簧系统相比较,可知单摆的微幅振动也是一简谐运动,其振动方程、 振幅、初相位在形式上与式(17-5),(17-6)相似,只是运动坐标用角坐标表示,初始 条件用q=o,q'=o0表示 (2)由周期表达式可知,单摆作微幅振动时周期为常量。只要测出周期T、就可算 出当地的实际重力加速度值。读者若有兴趣,可用单摆测定重力加速度。为了减小误差 可先测出100个周期所用时间,然后取其平均值 例17-2滑轮重P,重物M,M重为Q1,Q2。弹簧的刚度系数为k,如图174所 示。设滑轮为均质圆盘,略去弹簧与绳子的质量,求重物垂直振动的周期。 解以滑轮偏离其平衡位置的转角φ为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。当系 统在任意位置φ时,弹簧的变形量为 8 δ,为系统在平衡位置时弹簧的静变形。 依据动量矩定理,有 Joo"=-k(6,, +ro)r+,r-gr 式中J为系统对点O的转动惯量,即 图17-4 1Pn2+9n2+9 Jo2 g +O1+O g g 系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对点O之矩相互抵消,即 +Q1r-Q2r=0 因此有 P +Q1+Q2q”=-kr 2 0 从而可得系统的固有圆频率为
4 g l T n π ω π 2 2 = = 讨论 （1）与质量弹簧系统相比较，可知单摆的微幅振动也是一简谐运动，其振动方程、 振幅、初相位在形式上与式（17-5），（17-6）相似，只是运动坐标用角坐标ϕ 表示，初始 条件用ϕ =ϕ 0 ，ϕ =ω 0 ′ 表示。 （2）由周期表达式可知，单摆作微幅振动时周期为常量。只要测出周期 T、就可算 出当地的实际重力加速度值。读者若有兴趣，可用单摆测定重力加速度。为了减小误差， 可先测出 100 个周期所用时间，然后取其平均值。 例 17-2 滑轮重 P，重物 M1，M2 重为 Q1，Q2。弹簧的刚度系数为 k，如图 17-4 所 示。设滑轮为均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动的周期。 解 以滑轮偏离其平衡位置的转角ϕ 为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为 r。当系 统在任意位置ϕ 时，弹簧的变形量为 δ = δ s t + rϕ δ s t 为系统在平衡位置时弹簧的静变形。 依据动量矩定理，有 J k( r )r Q r Q r 0 = − st + + 1 − 2 ϕ′′ δ ϕ 式中 J0 为系统对点 O 的转动惯量，即 g r Q Q P r g Q r g Q r g P J 2 1 2 2 1 2 2 2 0 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = + + 系统在平衡位置时弹性力对点 O 之矩与重物重力对点 O 之矩相互抵消，即 0 − kδ str + Q1r − Q2 r = 因此有 ϕ ϕ2 2 1 2 2 k r g r Q Q P ⎟ ′′ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 即 0 2 2 2 1 2 = + + ϕ′′ + ϕ P Q Q gk 从而可得系统的固有圆频率为 O M2 k1 φ M1 图 17-4
2gk 2Q1+202 重物垂直振动的周期(系统的振动周期)为 P+2Q1+2Q2 2gk 3.弹簧的并联与串联 (1)弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1,k2的弹簧组成的两种并联系统。在物块 重力作用下,每个弹簧产生的静变形相等,由物块的平衡条件可得 mg=k,83,+k285t 将并联弹簧看成为一个弹簧,其刚度系数k。=mg/6,,称k k2 为等效刚度系数( Equivalent stiffnes)。从而可得 kea =k,+k2 (17-11) 式(17-11)表明并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚 图17-5 度系数之和。这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为 (2)弹簧串联。图17-6表示两个弹簧串联,两个弹簧的刚度系数分别为k1,k2。在 物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同,因此每个弹簧的静变形为 两个弹簧总的静变形为 k 图17-6 将串联弹簧看成为一个弹簧,其等效刚度系数为kq,则有 比较上面两式,得 =-+ (17-12) ki k2 式(17-12)表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹簧刚度系数的倒数之和
5 1 2 2 2 2 P Q Q gk n + + ω = 重物垂直振动的周期（系统的振动周期）为 gk P Q Q T n 2 2 2 2 2 + 1 + 2 = = π ω π 3．弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联。图 17-5 表示刚性系数为 k1，k2 的弹簧组成的两种并联系统。在物块 重力作用下，每个弹簧产生的静变形相等，由物块的平衡条件可得 s t s t mg = k1δ + k2δ 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度系数 eq mg s t k = δ ，称 为等效刚度系数（Equivalent stiffness）。从而可得 1 2 k k k eq = + （17-11） 式（17-11）表明并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚 度系数之和。这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为 m k k m keq n 1 + 2 ω = = （2）弹簧串联。图 17-6 表示两个弹簧串联，两个弹簧的刚度系数分别为 k1，k2。在 物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为 1 1 k mg δ s t = ， 2 2 k mg δ s t = 两个弹簧总的静变形为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + = + 1 2 1 1 1 2 k k mg δ s t δ s t δ s t 将串联弹簧看成为一个弹簧，其等效刚度系数为 keq，则有 eq s t k mg δ = 比较上面两式，得 1 2 1 1 1 k k k eq = + （17-12） 式（17-12）表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹簧刚度系数的倒数之和。 m k1 m k2 k1 k2 （a） （b） 图 17-5 m k1 k2 图 17-6