第八章点的合成运动 物体的运动是相对的,对于不同的观察者,其运动规律是不同的,即物体的运动相对 与不同的参考系是不同的。如图8-1所示沿ox轴作纯滚动的圆轮。取轮缘上的M点为动 点;oxy、cxy为参考系(其中c为轮心,c点作直 线运动,运动过程中cx∥ox,cy’∥oy。即cx3y’相 对oxy作平动运动)。对于oxy参考系而言,动点M 的运动轨迹曲线为旋轮线;对cxy参考系而言,动 点M的运动轨迹曲线为圆周线。在oxy、oxy’参 考系中的动点运动轨迹曲线的不同则导致动点在两 图8-1 个参考系中的速度矢量和加速度矢量的不同。即动点运动方程r()对时间导数的不同。为 此首先分析动点运动方程r(1)对时间的导数 §8-1绝对时间导数和相对时间导数 在质点的合成运动分析中涉及到两个参考系。由于牛顿第二定律的动力学分析要求, 个参考系必须是惯性参考系,(今后无专门说明,惯性参考系取为地球),称为定参考系 或称为定系;另一参考系相对定参考系运动,称为动参考系。或称为动系。 质点的运动学分析涉及到质点的位置矢量r(1);速度矢量v(1);加速度矢量a()。对 t到t+Mt时间间隔内的这些运动学矢量的增量的分析必须明确是对哪一个参考系而言的。 是对定系,还是对动系而言。因为对动系和对定系,质点运动学矢量(位置矢量r(t);速 度矢量v(t);加速度矢量a(1)在t到计+△时间间隔内的增量是不同的。质点的运动学 矢量在定系 中的矢量增量标为绝对增量。其对应的时间导数称为绝对(时间)导数;质点的运动学矢 量在动系中的矢量增量标称为相对增量。其对应的时间导数标称为相对(时间)导数 以图8-2所示在开有圆槽的矩形板槽内作圆周运动的质点。当矩形板作刚体平动运动 (相对惯性参考系Oxy)时。则质点在定系(oxy坐标系)中的增量为: △r=r(t+△n)-r(1) 质点在动系(相对矩形板)中的增量为
1 第八章 点的合成运动 物体的运动是相对的，对于不同的观察者，其运动规律是不同的，即物体的运动相对 与不同的参考系是不同的。如图 8-1 所示沿 ox 轴作纯滚动的圆轮。取轮缘上的 M 点为动 点；oxy、cx′y′为参考系（其中 c 为轮心，c 点作直 线运动，运动过程中cx′∥ox，cy′∥oy。即cx′y′相 对oxy 作平动运动）。对于oxy 参考系而言，动点 M 的运动轨迹曲线为旋轮线；对cx′y′参考系而言，动 点 M 的运动轨迹曲线为圆周线。在oxy 、ox′y′ 参 考系中的动点运动轨迹曲线的不同则导致动点在两 图 8-1 个参考系中的速度矢量和加速度矢量的不同。即动点运动方程 r(t) 对时间导数的不同。为 此首先分析动点运动方程 r(t) 对时间的导数。 §8-1 绝对时间导数和相对时间导数 在质点的合成运动分析中涉及到两个参考系。由于牛顿第二定律的动力学分析要求， 一个参考系必须是惯性参考系，（今后无专门说明，惯性参考系取为地球），称为定参考系。 或称为定系；另一参考系相对定参考系运动，称为动参考系。或称为动系。 质点的运动学分析涉及到质点的位置矢量 r(t) ；速度矢量v(t) ；加速度矢量a(t) 。对 t 到t + Δt 时间间隔内的这些运动学矢量的增量的分析必须明确是对哪一个参考系而言的。 是对定系，还是对动系而言。因为对动系和对定系，质点运动学矢量（位置矢量 r(t) ；速 度矢量v(t) ；加速度矢量a(t)）在 t 到 t + Δt 时间间隔内的增量是不同的。质点的运动学 矢量在定系 中的矢量增量标为绝对增量。其对应的时间导数称为绝对（时间）导数；质点的运动学矢 量在动系中的矢量增量标称为相对增量。其对应的时间导数标称为相对（时间）导数。 以图 8-2 所示在开有圆槽的矩形板槽内作圆周运动的质点。当矩形板作刚体平动运动 （相对惯性参考系oxy ）时。则质点在定系（oxy 坐标系）中的增量为： Δr = r(t + Δt) − r(t) 质点在动系（相对矩形板）中的增量为： M O C x' y' y x
Mr=r(t+△n-r() rr(t△t) 显然Ar≠Ar 若定义 dA A(t+△)-A() dt 为A矢量(在质点运动学中,A可 以是位置矢量r;速度矢量ν等运 动学矢量)在定系中的绝对(时间) 导数。 lim A,(t+△)-41(1) 为矢量A在动系中的相对时间导数,则 图8-2 1) 证:(只给出平面情况的证明。如图8-3所示。) a=cos i+ sin 8 j B=-sing i+cos j Oxy为定系:O列7为动系 da 0j0=0B dt B dr(-cos 0i+sin 0))0=-0 a A a+A,P) dt A a+A,B+A a+ A, (A:A-A,a)e k=日k
2 (t t) (t) r r r Δr = r + Δ − r 显然 r Δr ≠ Δr 若定义： t t t t dt d t Δ + Δ − = Δ → ( ) ( ) lim 0 A A A 为 A 矢量（在质点运动学中，A 可 以是位置矢量 r；速度矢量v 等运 动学矢量）在定系中的绝对（时间） 导数。 t t t t dt d r r t Δ + Δ − = Δ → ( ) ( ) lim ~ 0 A A A 为矢量 A 在动系中的相对时间导数，则 图 8-2 r e0 r r e0 r r dt d dt d ~ ω A r A ω A r A A = + × + = + × + （8-1） 证：（只给出平面情况的证明。如图 8-3 所示。） α = cosθ i + sinθ j β = − sinθ i + cosθ j oxy 为定系； o′ξη 为动系； θ = θ (t) i j β α sin cos θ θ θ dt d = (− θ + ) = i j α β cos θ sin θ θ θ dt d = (− + ) = − ( α β) A 转 ξ η r A A dt d dt d ~ = + β = Aξα + Aη β + Aξα + Aη 图 8-3 ξ η θ ( A A ) = Ar + β − α ∵ ω ω k θ k = = rr(t+△t) rr(t) r(t+△t) re(t) re(t+△t) r(t) O y x η β ξ α j i O' θ Ar (t) Ar(t+△t) A(t+△t) reo A(t) O y x
m×A1=6k×(Aa+AB)=(AB-A,a)6 dA A+0xA dt dt (A+r0)=A,+×A,+o §8-2相对运动、牵连运动、绝对运动 对质点的合成运动分析,在理论上如果已知了质点相对定系(或动系)的运动方程和 定系与动系之间的运动方程来确定动系中动点的运动量(速度矢量、加速度矢量),在数学 上是很容易处理的。对实际问题的处理时,通常并不需要直接确定动点的运动方程,而只 是确定任意给定时刻的各运动量之间在不同参考系中的表示之间的关系。这种动点相对不 同参考系中表示之间的相关分析就是动点的合成运动分析 对所选定的定参考系和动参考系,动点的运动分别依据其相对的参考系分为绝对运 和相对运动。 绝对运动:动点相对定参考系的运动称为绝对运动。绝对运动对应的运动方程(矢量 表示),速度矢量,加速度矢量分别记为厂=厂(1);v=V(1);an=a2(1) 相对运动:动点相对动参考系的运动称为相对运动。相对运动对应的运动方程(矢量 表示),速度矢量,加速度矢量分别记为r=r(1);v=v,(1);an=a1(1)。 在动点的合成运动分析中,除动点的相对运动和绝对运动外,定系和动系之间也存在 相对运动。动系相对定系的运动本质上是固连在动系上给定的坐标系相对固连在定系上的 坐标系之间的坐标变换。且对不同时刻t所对应的坐标变换一般是不同的,即依赖于时间 参数的坐标变换。将动系取为运动的刚体,则动系相对定系的运动就是运动刚体相对惯性 参考系为定系的刚体运动。在刚体相对定系运动过程中,刚体上的每一点相对定系都在运 动(包括相对定系的静止)。在动点的合成运动分析中,动系中与动点重合的点的运动(即 运动刚体上与动点占有同一几何空间位置的刚体上的点的运动)起着重要的作用。动系中 与动点重合的点,在动点的合成运动分析中称为牵连点。牵连点相对定系的运动称为牵连 运动。 牵连运动:动系上与动点占有相同几何空间位置的点相对定参考系的运动称为牵连运 动。牵连运动对应的运动方程(矢量表示),速度矢量,加速度矢量分别记为r=r(1); v=v2(D);a2=al(1) 绝对运动,相对运动(对动点而言)和牵连运动(对牵连点而言)都是对质点而言
3 ∴ θ A A A A θ r ξ η ξ η ω× A = k × ( α + β) = ( β − α) r r r dt ~ d A ω A A = + × 转 r e0 r r e0 r dt d ~ dt ~ d A r A ω A r A = ( + )= + × + §8-2 相对运动、牵连运动、绝对运动 对质点的合成运动分析，在理论上如果已知了质点相对定系（或动系）的运动方程和 定系与动系之间的运动方程来确定动系中动点的运动量（速度矢量、加速度矢量），在数学 上是很容易处理的。对实际问题的处理时，通常并不需要直接确定动点的运动方程，而只 是确定任意给定时刻的各运动量之间在不同参考系中的表示之间的关系。这种动点相对不 同参考系中表示之间的相关分析就是动点的合成运动分析。 对所选定的定参考系和动参考系，动点的运动分别依据其相对的参考系分为绝对运动 和相对运动。 绝对运动：动点相对定参考系的运动称为绝对运动。绝对运动对应的运动方程（矢量 表示），速度矢量，加速度矢量分别记为 (t) a a r = r ； (t) a a v = v ； (t) aa = aa 。 相对运动：动点相对动参考系的运动称为相对运动。相对运动对应的运动方程（矢量 表示），速度矢量，加速度矢量分别记为 (t) r r r = r ； (t) r r v = v ； (t) r r a = a 。 在动点的合成运动分析中，除动点的相对运动和绝对运动外，定系和动系之间也存在 相对运动。动系相对定系的运动本质上是固连在动系上给定的坐标系相对固连在定系上的 坐标系之间的坐标变换。且对不同时刻 t 所对应的坐标变换一般是不同的，即依赖于时间 参数的坐标变换。将动系取为运动的刚体，则动系相对定系的运动就是运动刚体相对惯性 参考系为定系的刚体运动。在刚体相对定系运动过程中，刚体上的每一点相对定系都在运 动（包括相对定系的静止）。在动点的合成运动分析中，动系中与动点重合的点的运动（即 运动刚体上与动点占有同一几何空间位置的刚体上的点的运动）起着重要的作用。动系中 与动点重合的点，在动点的合成运动分析中称为牵连点。牵连点相对定系的运动称为牵连 运动。 牵连运动：动系上与动点占有相同几何空间位置的点相对定参考系的运动称为牵连运 动。牵连运动对应的运动方程（矢量表示），速度矢量，加速度矢量分别记为 (t) e e r = r ； (t) e e v = v ； (t) ae = ae 。 绝对运动，相对运动（对动点而言）和牵连运动（对牵连点而言）都是对质点而言
其r、υ、an;r、ν、an;r、v、a分别称为绝对位置矢量、绝对速度矢量、绝 对加速度矢量:相对位置矢量、相对速度矢量、相对加速度矢量:牵连位置矢量、牵连速 度矢量、牵连加速度矢量。绝对运动、相对运动和牵连运动各自对应的加速度矢量是速度 矢量对时间参数的导数:;速度矢量是位置矢量对时间参数的导数。 例8-1如图8-4所示。大圆环绕过O点垂直纸面的轴作定轴转动运动。大圆环上的小环 在大圆环上相对大圆环运动。试分析当小环作为动点时的合成运动分析。 解 动点牵连点 在t=0时 定系:oxy或,i,j 动系:0xy或0,, r=-2Ri -2Ri 牵连点 动点 在t时 定系:∞y或;i,j t=0 动系:oxy”或{0”,,门 ra=-[ 8 +Rcos(e +OJi+[Rsin 0e+ rsin(0e +8)1i r,=-Rcos 8. +rcos(8 +OJi+[Rsin 8+rsin(e, +e)lj r=- Rcos e,i+ Rsin 6,j” §8-3动点合成运动速度合成定理 当给定定系和动系后,动点的合成运动分析中,动点的绝对速度矢量v、相对速度矢 ν及牵连点的牵连速度矢量ν之间的关系由速度合成定理确定 定理:在给定的定系和动系中,动点的绝对速度矢量v、相对速度矢量ν及牵连点的
4 其 ar 、 a v 、 aa ； rr 、 r v 、 r a ； er 、 e v 、ae 分别称为绝对位置矢量、绝对速度矢量、绝 对加速度矢量；相对位置矢量、相对速度矢量、相对加速度矢量；牵连位置矢量、牵连速 度矢量、牵连加速度矢量。绝对运动、相对运动和牵连运动各自对应的加速度矢量是速度 矢量对时间参数的导数；速度矢量是位置矢量对时间参数的导数。 例 8-1 如图 8-4 所示。大圆环绕过 O 点垂直纸面的轴作定轴转动运动。大圆环上的小环 在大圆环上相对大圆环运动。试分析当小环作为动点时的合成运动分析。 解： 在 t = 0 时； 定系：oxy 或{ } 0; i, j 动系：o′x′y′或{ } 0′; i′, j′ r Ri a = −2 r Ri e = −2 r = −Ri′ r 在 t 时： 定系：oxy 或{ } 0; i, j 动系：o′′x′′y′′ 或{ } 0′′; i′′, j′′ 图 8-4 r [ cos cos( )]i [ sin sin( )]j a = − R θ e + R θ e +θ r + R θ e + R θ e +θ r r [ cos cos( )]i [ sin sin( )]j e = − R θ e + R θ e +θ r + R θ e + R θ e +θ r r = − i′′ + j′′ r R θ r R θ r cos sin §8-3 动点合成运动速度合成定理 当给定定系和动系后，动点的合成运动分析中，动点的绝对速度矢量 a v 、相对速度矢 量 r v 及牵连点的牵连速度矢量 e v 之间的关系由速度合成定理确定。 定理：在给定的定系和动系中，动点的绝对速度矢量 a v 、相对速度矢量 r v 及牵连点的 动点 牵连点 θe '' '' ' r y t t=0 θ 动点 牵连点 0 x ' R y' 0' x' y x 0
牵连速度矢量v满足 (8-2) 证明 如图8-5所示。0点为定系中的固定点。 动系oxy’相对定系的运动为动系由(1)o 至o’的平动运动;(2)在绕过o点与oxy × 面正交的转动轴的转动运动(在该t时刻可 视为是定轴转动)。 r dtdt dt e+“+0×F =v+v+0×r 由图8-5中可知牵连点(与动点M占具同一几 图 何空间位置r的动系上的点)的速度 v=v+×r 最后得: 例82:如图86所示矩形板。板上开有/女 01 半径为r的圆形槽,槽内一小球(视为 质点)相对矩形板作均速运动,其速度 大小为v。试求图示位置时 1.当矩形板在水平面内作刚体平动 动(o1点作以O点为圆心的均速圆周 云动,其速度在小为V),槽内小球的绝 对速度矢量ν=? 2.当矩形板在水平面内绕过O点 图8-6(a)
5 牵连速度矢量 e v 满足： a e r v = v + v （8-2） 证明： 如图 8-5 所示。o 点为定系中的固定点。 动系 o′x′y′ 相对定系的运动为动系由⑴ o 至o′ 的平动运动；⑵ 在绕过o′ 点与o′x′y′ 面正交的转动轴的转动运动（在该 t 时刻可 视为是定轴转动）。 a e r r = r + r 0 dt d dt d dt d a e r r r r ~ 0 = + r e0 r dt d dt d ω r r r = + + × a e0 r r v = v + v + ω× r 由图 8-5 中可知牵连点（与动点 M 占具同一几 图 8-5 何空间位置 a r 的动系上的点）的速度 e e0 r v = v + ω× r 最后得： a e r v = v + v 例 8-2：如图 8-6 所示矩形板。板上开有 半径为 r 的圆形槽，槽内一小球（视为 质点）相对矩形板作均速运动，其速度 大小为 v。试求图示位置时： 1．当矩形板在水平面内作刚体平动 运动（o1 点作以 o 点为圆心的均速圆周 运动，其速度在小为 V），槽内小球的绝 对速度矢量v a = ？ 2．当矩形板在水平面内绕过 o 点 图 8-6（a） Ve0 SO' Ve转=ω×rr Ve平=Ve0 Ve M rr ra x' y' O' θ reo O 4r ω= V O1 v V M 30° r y x