第一章基本概念、公理 1-1概念 1.平衡 平衡就物体(刚体)机械运动的一种特殊形式或称为机械运动的特殊状态。所谓状态 是:用来描述某一宏观存在的基本性质的一组参数,该组参数之间满足确定的数学描述( 组特定的数学表达式) 对于给定的惯性参考系(体),给定的被研究物体(刚体)在惯性参考参考系(体)的 机械运动是:物体(刚体)相对给定的惯性参考系(体)静止或作匀速直接运动。则该物 体(刚体)处于平衡的(机械运动)状态。 《注:物体的机械运动(物体在三维空间中的位置、形状和大小随时间的变化)存在各种 不同的状态。如刚体的平动、定轴转动、定点转动;质点的直线运动、曲线运动、等速运 动、加速运动等》。 静止:物体(刚体)的大小、形状及在三维空间占具的位置相对惯性参考系(体)不 随时间变化 匀速直线运动:物体(刚体)上的每一(物质)点相对惯性参考系(体),其随时间的 变化规律为:(1)始终保持在一条直线上。(2)任意相同时间间隔的改变量相同。 力的概念: 任何物体(刚体)的运动(包含机械运动),其本质是由于其它物体对其的作用。当某 物体(刚体)或某一组物体(刚体)被选为分析、研究的对象时,实际上就要分析、研 究这一物体或一组物体(刚体)与其它物体及其本身内部之间力学相关性质。而重要的是 分析、研究是对被选取对象进行的。尽管对被选取的对象,其它物体对其有影响,但分析 研究过程并不涉及被选取的研究对象对其它物体的作用所产生的效应。因此在对某一物体 (刚体)或某一组物体(刚体)作为被分析、研究对象时,其它物体对被选取的对象的作 用,被观注的是其它物体对选取对象的作用,而选取对象对其它物体的作用,只在对其它 物体进行分析、研究时才被观注。这就使得能够将其它物体对被选取的分析、研究对象的 作用被抽象表示。这种其它物体对被选取的分析、研究对象的作用称为力。当然被选取作 为分析、研究对象的一组物体(刚体)内部的各物体(刚体)之间也存在着相互作用,且 这种作用同样可以被抽象表示。 力:物体(刚体)之间相互作用的抽象表示。 作用(相互)形式:直接接触作用:点、线、面的直接接触作用 非直接接触作用:超距作用在物体或刚体的每一点上 作用(相互)效果:物体的大小、形状和空间位置的改变 内效应 刚体的空间位置的改变 外效应 力的抽象表示必须能够完全体现相互作用的形式和效果。即(被抽象表示了的相互作用) 力能明确作用的形式、位置;作用的强弱:作用所产生的大小、形状和空间位置的变化情 点接触力的三要素:大小、方向、作用点
1 第一章 基本概念、公理 1-1 概念 1．平衡 平衡就物体（刚体）机械运动的一种特殊形式或称为机械运动的特殊状态。所谓状态 是：用来描述某一宏观存在的基本性质的一组参数，该组参数之间满足确定的数学描述（一 组特定的数学表达式）。 对于给定的惯性参考系（体），给定的被研究物体（刚体）在惯性参考参考系（体）的 机械运动是：物体（刚体）相对给定的惯性参考系（体）静止或作匀速直接运动。则该物 体（刚体）处于平衡的（机械运动）状态。 《注：物体的机械运动（物体在三维空间中的位置、形状和大小随时间的变化）存在各种 不同的状态。如刚体的平动、定轴转动、定点转动；质点的直线运动、曲线运动、等速运 动、加速运动等》。 静止：物体（刚体）的大小、形状及在三维空间占具的位置相对惯性参考系（体）不 随时间变化。 匀速直线运动：物体（刚体）上的每一（物质）点相对惯性参考系（体），其随时间的 变化规律为：（1）始终保持在一条直线上。（2）任意相同时间间隔的改变量相同。 力的概念： 任何物体（刚体）的运动（包含机械运动），其本质是由于其它物体对其的作用。当某 一物体（刚体）或某一组物体（刚体）被选为分析、研究的对象时，实际上就要分析、研 究这一物体或一组物体（刚体）与其它物体及其本身内部之间力学相关性质。而重要的是 分析、研究是对被选取对象进行的。尽管对被选取的对象，其它物体对其有影响，但分析 研究过程并不涉及被选取的研究对象对其它物体的作用所产生的效应。因此在对某一物体 （刚体）或某一组物体（刚体）作为被分析、研究对象时，其它物体对被选取的对象的作 用，被观注的是其它物体对选取对象的作用，而选取对象对其它物体的作用，只在对其它 物体进行分析、研究时才被观注。这就使得能够将其它物体对被选取的分析、研究对象的 作用被抽象表示。这种其它物体对被选取的分析、研究对象的作用称为力。当然被选取作 为分析、研究对象的一组物体（刚体）内部的各物体（刚体）之间也存在着相互作用，且 这种作用同样可以被抽象表示。 力：物体（刚体）之间相互作用的抽象表示。 作用（相互）形式：直接接触作用：点、线、面的直接接触作用； 非直接接触作用：超距作用在物体或刚体的每一点上。 作用（相互）效果：物体的大小、形状和空间位置的改变 —→ 内效应 刚体的空间位置的改变 —→ 外效应 力的抽象表示必须能够完全体现相互作用的形式和效果。即（被抽象表示了的相互作用） 力能明确作用的形式、位置；作用的强弱；作用所产生的大小、形状和空间位置的变化情 况。 点接触力的三要素：大小、方向、作用点
作用形式:在一确点的两物体(刚体)的直接接触——作用点 作用强弱:大小 作用所产生的大小、形状和空间位置的改变:方向 在数学中,具有一定大小和方向的量可用矢量描述。而在相互作用的抽象表示的力的三要 素中也包含了大小和方向。因此力具有数学矢量的特征。所以不同的是,对点接触力,除 了大小、方向外,还必须明确点接触力的作用点。且称作用在确定点的,具有确定大小和 方向的抽象化的点接触力称为:力矢量。力矢量定义:力矢量是固定作用点的矢量。也称 为固定矢量或约束矢量。(点接触)力矢量的表示:按一定长度比例(用来表示大小)的有 向(用来表示方向)线段,线段的起点(始点)或未端(终点)表示力的作用点的几何表 示方法。有向线段所在的直线称为该(点接触)力的作用线。在分析过程中(点接触)力 矢量的符号表示用黑体(粗写体)表示(如F、R、N等);而非黑体(如F、R、N等)则 表示其对应的力矢量的大小。或 F=√F (1-1) 线直接接触力(线分布力):在某一直线(或曲线)段上的每一点作用的大小、方向连续分 布的点接触力 面直接接触力(面分布力):在某一有限平面(或曲面)上的每一点作用的大小、方向连续 分布的点接触力 力系:作用在同一物体(刚体)上的一组(群)力的集合。 (刚体)平衡力系:作用在刚体(或在刚化公理的条件下的形变体)上,且使刚体处于平 衡状态的力系 (刚体)平衡条件:使刚体处于平衡状态时,作用在刚体上的力系所满足的条件。 等效力系:对刚体产生相同力学效果的两个(或一个系列)力系。 超距(体分布)力:在物体的每一点上作用的大小、方向连续分布的另一物体(或一组物 体)非直接接触的超距作用。 力的单位:在国际单位制(SI)中,以“N”作为力的单位符号,称作牛(顿)。也常用10N kN作为力的单位符号,称作千牛(顿)。 1-2静力学公理 公理是在长期生活和生产实践中长期积累的经验总结,但经过实践的反复检验,被确 认在确定的条件下符合客观实际的最普遍、最一般的规律
2 作用形式：在一确点的两物体（刚体）的直接接触——作用点 作用强弱：大小 作用所产生的大小、形状和空间位置的改变：方向 在数学中，具有一定大小和方向的量可用矢量描述。而在相互作用的抽象表示的力的三要 素中也包含了大小和方向。因此力具有数学矢量的特征。所以不同的是，对点接触力，除 了大小、方向外，还必须明确点接触力的作用点。且称作用在确定点的，具有确定大小和 方向的抽象化的点接触力称为：力矢量。力矢量定义：力矢量是固定作用点的矢量。也称 为固定矢量或约束矢量。（点接触）力矢量的表示：按一定长度比例（用来表示大小）的有 向（用来表示方向）线段，线段的起点（始点）或未端（终点）表示力的作用点的几何表 示方法。有向线段所在的直线称为该（点接触）力的作用线。在分析过程中（点接触）力 矢量的符号表示用黑体（粗写体）表示（如 F、R、N 等）；而非黑体（如 F、R、N 等）则 表示其对应的力矢量的大小。或 F = F⋅F （1-1） 线直接接触力（线分布力）：在某一直线（或曲线）段上的每一点作用的大小、方向连续分 布的点接触力。 面直接接触力（面分布力）：在某一有限平面（或曲面）上的每一点作用的大小、方向连续 分布的点接触力。 力系：作用在同一物体（刚体）上的一组（群）力的集合。 （刚体）平衡力系：作用在刚体（或在刚化公理的条件下的形变体）上，且使刚体处于平 衡状态的力系。 （刚体）平衡条件：使刚体处于平衡状态时，作用在刚体上的力系所满足的条件。 等效力系：对刚体产生相同力学效果的两个（或一个系列）力系。 超距（体分布）力：在物体的每一点上作用的大小、方向连续分布的另一物体（或一组物 体）非直接接触的超距作用。 力的单位：在国际单位制（SI）中，以“N”作为力的单位符号，称作牛（顿）。也常用 103 N = kN 作为力的单位符号，称作千牛（顿）。 1-2 静力学公理 公理是在长期生活和生产实践中长期积累的经验总结，但经过实践的反复检验，被确 认在确定的条件下符合客观实际的最普遍、最一般的规律
公理1:力的平衡四边形法则 作用在同一物体上、同一点的 两个(点接触)力,其对于物体的 作用可等效为一个合力。该合力的 物体 作用点也在该点,合力的大小和方 向,由这两个方向为边构成的平等 四边形的对角线确定。如图1-1所 小。 该公理中的合力并不是 实际上作用在物体的力,实 图1-1 际作用在物体上的是作用点在A点的两个力F1,F2。而合力只是作用与F1,F2等效的(产 生相同力学效应——外效应、内效应)。假想或虚拟作用在A点的一种作用 公理中的结论适用于物体,当然也适用刚体 平行四边形法则的矢量表示式为 FR=F1·F2 (1-2) 平行四边形的几何表示如图1-1所 该公理给出了最简单力系的简化规 律。这里的简化实质上就是力系之间的相 互等效。 公理2:二力平衡条件 作用在同一刚体上的两个力,刚体在 这两个作用下保持平衡(仍然处于平衡状 刚体II 态)的必要、充分条件是:两力的大小相 等、方向相反、作用线在同一直线上。由 图1-2(a)可知 F1=- 值得注意的是该公理只适用于刚体 同时保持刚体平衡的两个力F1,F2 图1-2 必须作用在同一刚体上。若两个力不是作用在同一刚体上,则尽管两个力满足大小相等 方向相反、作用线在同一直线上,刚体的平衡将可能破坏。如图1-2(b)所示。 该公理给出了作用在刚体上最简单的平衡力。 公理3:加减平衡力系公理 在已知作用在同一刚体力系上加上或减去任意平衡力系, 并不改变原力系对刚体的作用。 该公理说明:对作用在同一刚体上的力系,若产生相同的
3 公理 1：力的平衡四边形法则 作用在同一物体上、同一点的 两个（点接触）力，其对于物体的 作用可等效为一个合力。该合力的 作用点也在该点，合力的大小和方 向，由这两个方向为边构成的平等 四边形的对角线确定。如图 1-1 所 示。 该公理中的合力并不是 实际上作用在物体的力，实 图 1-1 际作用在物体上的是作用点在 A 点的两个力 F1，F2。而合力只是作用与 F1，F2 等效的（产 生相同力学效应——外效应、内效应）。假想或虚拟作用在 A 点的一种作用。 公理中的结论适用于物体，当然也适用刚体。 平行四边形法则的矢量表示式为： FR F1 F2 = ⋅ （1-2） 平行四边形的几何表示如图 1-1 所 示。 该公理给出了最简单力系的简化规 律。这里的简化实质上就是力系之间的相 互等效。 公理 2：二力平衡条件 作用在同一刚体上的两个力，刚体在 这两个作用下保持平衡（仍然处于平衡状 态）的必要、充分条件是：两力的大小相 等、方向相反、作用线在同一直线上。由 图 1-2（a）可知： F1 = −F2 （1-3） 值得注意的是该公理只适用于刚体。 同时保持刚体平衡的两个力 F1，F2 图 1-2 必须作用在同一刚体上。若两个力不是作用在同一刚体上，则尽管两个力满足大小相等、 方向相反、作用线在同一直线上，刚体的平衡将可能破坏。如图 1-2（b）所示。 该公理给出了作用在刚体上最简单的平衡力。 公理 3：加减平衡力系公理 在已知作用在同一刚体力系上加上或减去任意平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。 该公理说明：对作用在同一刚体上的力系，若产生相同的 1 2 物体 刚体 刚体 2 1 1 刚体 2 1 2
力学效果,则力系之间只相差一个或几个平衡力系。 该公理同样只对同一刚体适用。如图1-3所示。一角形刚体和一直刚体杆在A点开孔 用绳索穿结固定于B。在角形刚体和直刚性杆上分别加F1、F2,且 图1-3 显然,在F1、F2作用下,角形刚体和直刚性杆都将绕A点发生转动。这与未加F1、F2前 的静止状态不同。 推论1:力的可传递性 作用在刚体上某点的力,可沿该力的作用线移到同一刚体上的任意点,且这种移动并 不改变该力对刚体的作用效果 证明 如图1-4所示,刚体A点处作用有(点接触)力F 设B点是力F作用线所在直线上的任意一点。由加减平 衡力系公理,在B点加上平衡力系。到目前已知的平衡 A 力系只有二力平衡公理给出的最简单的平衡力系F F"(F'=-F"),且满足F'=F。在刚体上作用的力 系现在是F、F、F"的集合,且F、F”方向相反、 作用线在同一直线上。因此由二力平衡公理可知,F、 F"构成二力平衡力系。由加减平衡力系公理,在刚体上减去F、F"构成的平衡力系。此 时刚体上只存在作用在B点的、作用线沿AB连线的力F"。且F'=F。最终由加减平衡 力系公理得到了与作用在A点的力F具有相同力学效应的作用在B点的力F=F。整个 应用加减平衡力系公理的过程可形象地描述为力可沿刚体上的与力的作用线重合的直线移 动(或称为传递) 由图1-4可知:刚体上A点的力是实际其它物体(刚体)对所分析研究(对象、目标) 的实际作用的抽象(只有点接触力才可能实现)。而力的可传递性推论只表明,对刚体而言 作用在A点的作用力F的作用线上任意一点的与F具有相同大小和相同指向(如图1-4中 B点)的F′=F对刚体的作用效应与作用在A点的F力作用效应等效。由力的可传递性推 论所确定的与F作用等效的F=F亦不是真实地作用在刚体上的力。F'=F只是虚拟 的,但又与F的真实作用力学效应等效的力。正是这种虚拟地而又与真实作用力学效应的 力(由力的可传递性确定的),才使得对作用在刚体上的力系的简化提供了可能。或者说对 刚体的力学分析,并不是直接对真实地作用在刚体的力系进行分析研究。而是通过静力学 公理及静力学公理所确定的结论、定理(由公理经过逻辑推理和数学演绎所得到),与作用 在刚体上的真实作用力学效应等效的被称为简化的力系进行分析研究。 对于(点接触)力,若该力作用在刚体上,则力的三要素中的作用点这一要素,可放 松为沿力的作用线所在直线上的任意一点。或者说力的三要素对刚体而言为:大小、方向 力的作用线。而被约束了作用线的即有大小、又有方向的矢量称为滑动矢量。因此上,对
4 力学效果，则力系之间只相差一个或几个平衡力系。 该公理同样只对同一刚体适用。如图 1-3 所示。一角形刚体和一直刚体杆在 A 点开孔 用绳索穿结固定于 B 。在角形刚体和直刚性杆上分别加 F1 、 F2 ， 且 图 1-3 F1 = −F2 显然，在 F1、F2 作用下，角形刚体和直刚性杆都将绕 A 点发生转动。这与未加 F1、F2 前 的静止状态不同。 推论 1：力的可传递性 作用在刚体上某点的力，可沿该力的作用线移到同一刚体上的任意点，且这种移动并 不改变该力对刚体的作用效果。 证明： 如图 1-4 所示，刚体 A 点处作用有（点接触）力 F。 设 B 点是力 F 作用线所在直线上的任意一点。由加减平 衡力系公理，在 B 点加上平衡力系。到目前已知的平衡 力系只有二力平衡公理给出的最简单的平衡力系 F′ 、 F′′（ F′ = - F′′），且满足 F′ =F。在刚体上作用的力 系现在是 F、 F′ 、 F′′的集合，且 F、 F′′方向相反、 作用线在同一直线上。因此由二力平衡公理可知，F、 图 1-4 F′′构成二力平衡力系。由加减平衡力系公理，在刚体上减去 F、F′′构成的平衡力系。此 时刚体上只存在作用在 B 点的、作用线沿 AB 连线的力 F′′。且 F′ = F。最终由加减平衡 力系公理得到了与作用在 A 点的力 F 具有相同力学效应的作用在 B 点的力 F′ = F。整个 应用加减平衡力系公理的过程可形象地描述为力可沿刚体上的与力的作用线重合的直线移 动（或称为传递）。 由图 1-4 可知：刚体上 A 点的力是实际其它物体（刚体）对所分析研究（对象、目标） 的实际作用的抽象（只有点接触力才可能实现）。而力的可传递性推论只表明，对刚体而言， 作用在 A 点的作用力 F 的作用线上任意一点的与 F 具有相同大小和相同指向（如图 1-4 中 B 点）的 F′ = F 对刚体的作用效应与作用在 A 点的 F 力作用效应等效。由力的可传递性推 论所确定的与 F 作用等效的 F′ = F 亦不是真实地作用在刚体上的力。 F′ = F 只是虚拟 的，但又与 F 的真实作用力学效应等效的力。正是这种虚拟地而又与真实作用力学效应的 力（由力的可传递性确定的），才使得对作用在刚体上的力系的简化提供了可能。或者说对 刚体的力学分析，并不是直接对真实地作用在刚体的力系进行分析研究。而是通过静力学 公理及静力学公理所确定的结论、定理（由公理经过逻辑推理和数学演绎所得到），与作用 在刚体上的真实作用力学效应等效的被称为简化的力系进行分析研究。 对于（点接触）力，若该力作用在刚体上，则力的三要素中的作用点这一要素，可放 松为沿力的作用线所在直线上的任意一点。或者说力的三要素对刚体而言为：大小、方向、 力的作用线。而被约束了作用线的即有大小、又有方向的矢量称为滑动矢量。因此上，对
物体而言(点接触)力可以看作是起点被固定(约束)的力矢量:而对刚体而言(点接触) 力可以看作是作用线被固定(约束)的力矢量。作用在物体上的(点接触)力矢量可称为 作用点固定(约束)矢量;作用在刚体上的(点接触)力矢量可称为作用线固定(约束) 矢量——滑移(动)矢量。 推论2:三力平衡汇交定理 作用于同一刚体上三个(点接触)力,若刚体在这三个(点接触)力的作用下处于平 衡状态,且其中两个(点接触)力的作用线(或 作用 线的 延长 线)交 点。则 个(点接触)力必在同一平面内,且第三个(点接 触)力的作用线(或作用线的延长线)必通过前二 (点接触)力的作用线(或作用线的延长线)的交 F2 证明 ①三个(点接触)力的作用点为同一点(如图 1-5(a)所示)。 由平行四边形法则,得F1、F2的合力为 图1-5 Fa=F,+F 即作用在O点的两个力F1、F2可由与F1、F2的作用线所在平面内的合力(作用点在O点) FR1等效代替。此时刚体上作用有与F1、F2等效的FR12(F1、F2对刚体的作用以被FR12 代替,因此F1、F2已不在作用在刚体上。即此时的刚体已不是真实的受F1、F2、F3作用 的刚体,而上虚拟的与真实的受F1、F2、F3力学效应等效的刚体)和F3。由条件,在F1、 F2、F3作用下,刚体处于平衡状态。当F1、F2由平行四边形法则用FR2等效时,刚体仍 处于平衡状态。而此时刚体上作用且只作用两个(点接触)力,刚体同时处于平衡状态。 由二力平衡公理可知F3、FR12大小相等方向相反,作用线在同一直线上。而F1、F2的作 用线交点在O点,O点位与FR12的作用线上,F3与F1、F2的作用线所在平面内的FR12作 用线在同一直线上。因此F3的作用点必在FR12的作用线上(在这里所考虑的情况下,F3 的作用点就是O点)。 同时,由以上证明过程可得,若将F2的起点平行移动至F1的终点;在将F3的起点移 至F2的终点。由于F3的长短与FR2的长短相同,显然,F1、F2、F3依次首尾相接后构成 个封闭的三角形。容易验证F2、F3、F1;F3、F1、F2;F1、F3、F2;F3、F2、F;F2、 F1、F3依次首尾相接同样构成一个封闭的三角形
5 物体而言（点接触）力可以看作是起点被固定（约束）的力矢量；而对刚体而言（点接触） 力可以看作是作用线被固定（约束）的力矢量。作用在物体上的（点接触）力矢量可称为 作用点固定（约束）矢量；作用在刚体上的（点接触）力矢量可称为作用线固定（约束） 矢量——滑移（动）矢量。 推论 2：三力平衡汇交定理 作用于同一刚体上三个（点接触）力，若刚体在这三个（点接触）力的作用下处于平 衡状态，且其中两个（点接触）力的作用线（或 作 用 线 的 延长 线）交 与 一 点。则 这 三 个（点接触）力必在同一平面内，且第三个（点接 触）力的作用线（或作用线的延长线）必通过前二 （点接触）力的作用线（或作用线的延长线）的交 点。 证明： ①三个（点接触）力的作用点为同一点（如图 1-5（a）所示）。 由平行四边形法则，得 F1、F2 的合力为 图 1-5 FR12 = F1 + F2 即作用在 O 点的两个力 F1、F2 可由与 F1、F2 的作用线所在平面内的合力（作用点在 O 点） FR12 等效代替。此时刚体上作用有与 F1、F2 等效的 FR12（F1、F2 对刚体的作用以被 FR12 代替，因此 F1、F2 已不在作用在刚体上。即此时的刚体已不是真实的受 F1、F2、F3 作用 的刚体，而上虚拟的与真实的受 F1、F2、F3 力学效应等效的刚体）和 F3。由条件，在 F1、 F2、F3 作用下，刚体处于平衡状态。当 F1、F2 由平行四边形法则用 FR12 等效时，刚体仍 处于平衡状态。而此时刚体上作用且只作用两个（点接触）力，刚体同时处于平衡状态。 由二力平衡公理可知 F3、FR12 大小相等方向相反，作用线在同一直线上。而 F1、F2 的作 用线交点在 O 点，O 点位与 FR12 的作用线上，F3 与 F1、F2的作用线所在平面内的 FR12 作 用线在同一直线上。因此 F3 的作用点必在 FR12 的作用线上（在这里所考虑的情况下，F3 的作用点就是 O 点）。 同时，由以上证明过程可得，若将 F2 的起点平行移动至 F1 的终点；在将 F3 的起点移 至 F2 的终点。由于 F3 的长短与 FR12的长短相同，显然，F1、F2、F3 依次首尾相接后构成 一个封闭的三角形。容易验证 F2、F3、F1；F3、F1、F2；F1、F3、F2；F3、F2、F1；F2、 F1、F3 依次首尾相接同样构成一个封闭的三角形。 F F F (a) O 2 1 F 3 2 F ' F 1 O2 O1 O3 3 F 2 1 O (b) F ' F F 1 2 (c) 3 O3 O1 O2