第十四章达朗伯原理 §14-1质点的达朗伯原理 达朗伯原理( D Alembert' s principle)是非自由质点系动力学的基本原理,通过引 入惯性力( Inertial force, Reversed effective force),建立虚平衡状态,可把动力学问题 在形式上转化为静力学平衡问题而求解。这种求解动力学问题的普遍方法,称为动静 法( Method of kineto- . statIcs)。动静法在工程技术中有广泛地应用。 1.质点的达朗伯原理 设质量为m的非自由质点M,在主动力F和约束反力FN的作用下,作曲线运动 如图14-1所示。在图示瞬时,质点M的加速度为a,则质点M 的动力学基本方程为 ma=F+FN 上式移项,得F+FN+(-ma)=0 F FI 显然,F1具有力的量纲,称为质点M的惯性力。 14-1 则有 F+ FN+ F=O (14-2) 现在,我们从静力学的角度来考察式(14-2)的矢量式所表达的力学意义。若将 F,FN和F视为汇交于一点的力系,则式(14-2)恰恰就是这个汇交力系的平衡条件。 事实上,质点M只作用有主动力F和约束反力FN,并没有 受到惯性力F的作用。因而我们构造一个与式(14-2)相对 Fr 应的质点M的平衡状态,很简单,只要将惯性力F1人为地 施加于质点M上就可以了(见图142)。习惯上称为在质点 M上虚加惯性力。这样一来,一个虚拟的质点平衡状态(见 图14-2)便与力学的平衡条件式(142)一一对应起来,我 们便可对虚拟的平衡状态,采用静力学列平衡方程的方法来 图14-2 建立动力学方程。式(142)只是质点动力学基本方程的移 项而已,并未改变它的动力学本质。 综上所述,可得质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时,作用于质点上的主 动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力系。 实质上,达朗伯原理对质点的动力学基本方程重新赋予了静力学虚拟平衡的结 论。这就提供了在质点虚加惯性力,采用静力学平衡方程的形式来求解动力学问题的 方法,称为质点的动静法( Method of kineto- statics of a particle)。 必须指出,惯性力是人为地虚加在运动的质点上,是为了应用静力学的方法而达 到求解动力学的目的所采取的一种手段,质点的平衡状态是虚拟的。千万不可认为惯 性力就作用在运动的物体上,甚至错误地把惯性力视为主动力去解释一些工程实际问
1 第十四章 达朗伯原理 §14-1 质点的达朗伯原理 达朗伯原理（D/ Alembert’s principle）是非自由质点系动力学的基本原理，通过引 入惯性力（Inertial force, Reversed effective force），建立虚平衡状态，可把动力学问题 在形式上转化为静力学平衡问题而求解。这种求解动力学问题的普遍方法，称为动静 法（Method of kineto-statics）。动静法在工程技术中有广泛地应用。 1．质点的达朗伯原理 设质量为 m 的非自由质点 M，在主动力 F 和约束反力 FN 的作用下，作曲线运动 如图 14-1 所示。在图示瞬时，质点 M 的加速度为 a，则质点 M 的动力学基本方程为 ma = F + FN 上式移项，得 F + FN +（ − ma ）= 0 令 FI = − ma （14-1） 显然，FI 具有力的量纲，称为质点 M 的惯性力。 则有 F + FN + FI =0 （14-2） 现在，我们从静力学的角度来考察式（14-2）的矢量式所表达的力学意义。若将 F，FN 和 FI 视为汇交于一点的力系，则式（14-2）恰恰就是这个汇交力系的平衡条件。 事实上，质点 M 只作用有主动力 F 和约束反力 FN ，并没有 受到惯性力 FI 的作用。因而我们构造一个与式（14-2）相对 应的质点 M 的平衡状态，很简单，只要将惯性力 FI 人为地 施加于质点 M 上就可以了（见图 14-2）。习惯上称为在质点 M 上虚加惯性力。这样一来，一个虚拟的质点平衡状态（见 图 14-2）便与力学的平衡条件式（14-2）一一对应起来，我 们便可对虚拟的平衡状态，采用静力学列平衡方程的方法来 建立动力学方程。式（14-2）只是质点动力学基本方程的移 项而已，并未改变它的动力学本质。 综上所述，可得质点的达朗伯原理：质点在运动的每一瞬时，作用于质点上的主 动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力系。 实质上，达朗伯原理对质点的动力学基本方程重新赋予了静力学虚拟平衡的结 论。这就提供了在质点虚加惯性力，采用静力学平衡方程的形式来求解动力学问题的 方法，称为质点的动静法（Method of kineto-statics of a particle）。 必须指出，惯性力是人为地虚加在运动的质点上，是为了应用静力学的方法而达 到求解动力学的目的所采取的一种手段，质点的平衡状态是虚拟的。千万不可认为惯 性力就作用在运动的物体上，甚至错误地把惯性力视为主动力去解释一些工程实际问 题。 FR a M F 图 14-1 FN FR M F 图 14-2 FN FI
2.惯性力的概念 在达朗伯原理中,惯性力无疑是一个关键。下面我们对惯性力的概念作进一步地 阐述。 质量均为m的物块A和B,置于光滑的水平面上,受水平力P作用(见图143 (a))所获得加速度为a,根据质点的动力学基本方程,可得物块B所受到的作用力 F=ma(见图14-3(c)。根据作用与反作用定律,物块A必受到B块的反作用力F 并且F=-F=-m。注意到式(14-1),则F=F。 题 (a) h 图14-3 可见,物块B的惯性力,就是获得加速度的物块B而给予施力体(A块)的反作 用力。物块B的质量愈大,其惯性愈大,则给施力体的反作用也愈大。因此称此反作 用力为物块B的惯性力。显然,物块B的惯性力并不作用在物块B上,但它却是一个 真实的力。 总之,质点的惯性力是:当质点受力作用而产生加速度时,由于其惯性而对施力 体的作用力。质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积、方向与加速度方向 相反。 当质点作曲线运动时,若将质点的加速度分解为切向加速度a和法向加速度an, 则质点的惯性力F1也分解为切向惯性为F( Tangential component of inertia force)和 法向惯性力Fn( Normal component of inertia force),即 FIr=-ma,, FIm=-ma (14-3) 由于法向加速度总是沿主法线指向曲率中心,所以Fn的方向总是背离曲率中心,称 为离心惯性力( Centrifugal inertia force),简称为离心力。 例14-1图14-4所示圆锥摆中,质量为m的小球A,系于长为l的无重细绳上 在水平面内作匀速圆周运动(绳与铅垂线夹角α保持不变)。试求小球A的速度和绳 的拉力
2 2．惯性力的概念 在达朗伯原理中，惯性力无疑是一个关键。下面我们对惯性力的概念作进一步地 阐述。 质量均为 m 的物块 A 和 B，置于光滑的水平面上，受水平力 P 作用（见图 14-3 （a））所获得加速度为 a，根据质点的动力学基本方程，可得物块 B 所受到的作用力 F = ma（见图 14-3（c））。根据作用与反作用定律，物块 A 必受到 B 块的反作用力 F′， 并且 F′= − F = −ma 。注意到式（14-1），则 FI = F′。 可见，物块 B 的惯性力，就是获得加速度的物块 B 而给予施力体（A 块）的反作 用力。物块 B 的质量愈大，其惯性愈大，则给施力体的反作用也愈大。因此称此反作 用力为物块 B 的惯性力。显然，物块 B 的惯性力并不作用在物块 B 上，但它却是一个 真实的力。 总之，质点的惯性力是：当质点受力作用而产生加速度时，由于其惯性而对施力 体的作用力。质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积、方向与加速度方向 相反。 当质点作曲线运动时，若将质点的加速度分解为切向加速度 aτ 和法向加速度 an ， 则质点的惯性力 FI 也分解为切向惯性为 FIτ（Tangential component of inertia force）和 法向惯性力 FI n （Normal component of inertia force），即 FI = −ma FI n = −man , τ τ （14-3） 由于法向加速度总是沿主法线指向曲率中心，所以 FI n 的方向总是背离曲率中心，称 为离心惯性力（Centrifugal inertia force），简称为离心力。 例 14-1 图 14-4 所示圆锥摆中，质量为 m 的小球 A，系于长为 l 的无重细绳上， 在水平面内作匀速圆周运动（绳与铅垂线夹角 α 保持不变）。试求小球 A 的速度和绳 的拉力。 P A a B （a） B FNB F a mg （c） A P FNA mg a 题 h 图 14-3
解以小球A为研究对象。在任一位置时,小球受力有重力mg和绳的拉力F 由题意知,小球作匀速圆周运动,切向加速度a2=0,法向加速度an= 于是 小球A的惯性力的大小为 F=FI In a 将F虚加在小球A上,根据达朗伯原理,小球则处于虚平衡状态,由平衡方程 ∑F 得 ∑F=0 fsin a-F F sin a cosa §14-2质点系的达朗伯原理 现将质点的达朗伯原理推广并应用于质点系。设由n个质点组成的非自由质点系, 其中任一质点M的质量为m,作用有主动力F,约束反力FN。某瞬时质点的加速 度为a,则质点的惯性力为F1=-m,a1,根据达朗伯原理,对于质点M,虚加上惯 性力F,该质点必处于虚平衡状态。则 F+F+F1=0( (14-4) 此式表明,在质点系运动的任一瞬时,作用于每一质点上的主动力,约束反力和 该质点的惯性力都组成一个平衡力系,这就是质点系的达朗伯原理。 由于每个质点在主动力,约束反力和惯性力作用下都处于虚平衡状态,因而整个 质点系也必处于虚平衡状态。根据空间一般力系的平衡条件,作用于质点系的力系的 主矢和对任一点的主矩都等于零,即 ∑F+∑F+∑F (14-5) ∑M(F)+∑M(F)+∑M(F)
3 解 以小球 A 为研究对象。在任一位置时，小球受力有重力 mg 和绳的拉力 F。 由题意知，小球作匀速圆周运动，切向加速度 aτ = 0 ，法向加速度 sinα 2 l v an = ，于是， 小球 A 的惯性力的大小为 sinα 2 l mv FI = FI n = man = 将 FI 虚加在小球 A 上，根据达朗伯原理，小球则处于虚平衡状态，由平衡方程 ∑F = 0 F cos − mg = 0 y α 得 F = mg / cosα ∑ = 0 sin − = 0 Fx F α FI 即 0 sin sin cos 2 − = α α α l mg mv 故 v = g lsinα tanα §14-2 质点系的达朗伯原理 现将质点的达朗伯原理推广并应用于质点系。设由 n 个质点组成的非自由质点系， 其中任一质点 Mi 的质量为 mi，作用有主动力 Fi，约束反力 FNi 。某瞬时质点的加速 度为 ai，则质点的惯性力为 FI i = − mi ai ，根据达朗伯原理，对于质点 Mi，虚加上惯 性力 FI i ，该质点必处于虚平衡状态。则 (i n) i N i I i F + F + F = 0 = 1, 2,", （14-4） 此式表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力，约束反力和 该质点的惯性力都组成一个平衡力系，这就是质点系的达朗伯原理。 由于每个质点在主动力，约束反力和惯性力作用下都处于虚平衡状态，因而整个 质点系也必处于虚平衡状态。根据空间一般力系的平衡条件，作用于质点系的力系的 主矢和对任一点的主矩都等于零，即 () ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + = + + = ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 0 0 O O N O I N I M F M F M F F F F （14-5） A α FI F v an mg y 图 14-4 x
作用于质点系上的力可分为内力和外力,式(14-5)可写为 ∑F+∑F+∑F=0 ∑M(F)+∑M(F)+∑M(F)=0 (14-6) 其中,∑F、∑F分别表示作用于质点系的外力和内力的矢量和;∑M(F) ∑M(F)分别表示作用于质点系的外力和内力对任一点矩的矢量和。由于质点系 的内力是成对出现的,且等值、反向、共线,所以内力的主矢和对任一点的主矩恒等 于零,即 ∑F=0,∑M0(F)=0 于是,式(14-6)写成 ∑F+∑F1=0 (14-7) ∑M(F()+∑M(F)=0 因此,质点系的达朗伯原理也可陈述为:在质点系运动的任一瞬时,作用于质点 系上的外力系和各质点的惯性力系组成一个平衡力系,即它们的主矢和对任一点的主 矩矢量和都等于零 在质点系的每一个质点上虚加惯性力,该质点系则处于虚平衡状态,就可应用平 衡方程的形式来求解质点系动力学问题,称为质点系的动静法。 例14-2如图14-5所示,滑轮的半径为r,质量m均匀分布在轮缘上,可绕水 平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m的重物,且m1>m2。绳的重 量不计,绳与滑轮之间无相对滑动,轴承摩擦忽略不计,求重物的加速度。 解(1)取系统为对象。 (2)受力分析:外力有mg,m1g,mg,FN F (3)运动分析:因m1>m,m块有a,当绳与轮之间 F 无相对滑动时,a2=a:轮缘上m点惯性力的大小为 Imi= m n=m, -, Fri=m, air, F Fn=m,a, Fn2=m,a (4)列虚平衡方程∑M0(F)=0得 (m, g-Fn-Fr2-m2g)r-2Firi/=0 图14
4 作用于质点系上的力可分为内力和外力，式（14-5）可写为 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + = + + = ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ 0 0 O I i O e O I e i M F M F M F F F F （14-6） 其中， ( ) ∑ e F 、 ( ) ∑ i F 分别表示作用于质点系的外力和内力的矢量和； ( ) ∑ ( ) e MO F 、 ( ) ∑ ( ) i MO F 分别表示作用于质点系的外力和内力对任一点矩的矢量和。由于质点系 的内力是成对出现的，且等值、反向、共线，所以内力的主矢和对任一点的主矩恒等 于零，即 ( ) ∑ = 0 i F ， ( ) ∑ ( ) = 0 i MO F 于是，式（14-6）写成： ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ 0 0 O I e O I e M F M F F F （14-7） 因此，质点系的达朗伯原理也可陈述为：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点 系上的外力系和各质点的惯性力系组成一个平衡力系，即它们的主矢和对任一点的主 矩矢量和都等于零。 在质点系的每一个质点上虚加惯性力，该质点系则处于虚平衡状态，就可应用平 衡方程的形式来求解质点系动力学问题，称为质点系的动静法。 例 14-2 如图 14-5 所示，滑轮的半径为 r，质量 m 均匀分布在轮缘上，可绕水 平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为 m1 和 m2 的重物，且 m1>m2。绳的重 量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。 解（1）取系统为对象。 （2）受力分析：外力有 mg，m1g，m2g，FN。 （3）运动分析：因 m1>m2，m1 块有 a，当绳与轮之间 无相对滑动时， a = a τ ；轮缘上 mi 点惯性力的大小为 2 112 2 , , , I ni i in i I i i i I I v F ma m F ma r F ma F ma == = τ τ = = （4）列虚平衡方程 ∑ ( ) F = 0 MO 得 ( ) m1 g − FI1 − FI 2 − m2 g r − ∑FIτ ir = 0 或 O mi a FI1 FI ni FN FI τi mg a m2g FI2 m1 图 14-5
g m2g)-∑ 因为 ∑ ∑m 解得 g m, +m2 + m 例14-3均质细直杆AB重P,长为l,其A端铰接在铅垂轴上,并以匀角速度O 绕轴转动如图14-6所示。当杆AB与轴的夹角O为常量时,求O和O的关系。 F 图14-6 解(1)取杆AB为对象。 (2)受力分析:外力有P,FAx,FA (3)运动分析:虚加惯性力 在处取4,其质量m=2山d=02n0的 s alsina g P nd2=-lo sin e 1·g 设合力作用线与AB杆的交点为D并且AD=b,根据合力矩定理,有 Frrbcos 8=dF a cos 8 Po2 sin e dF,1 cos 0= - 2-d2 cos 0= I g 3/o21 sinB cos0 将式(a),(c)代入式(b),则得b==l (4)由达朗伯原理,杆AB的虚平衡方程有 >MF)=O FR=Icos0-Isin8=0 即 lo sin 6.-Icos0--Isin 0=0
5 ( ) − − − − ∑ = 0 1 1 2 2 m g m a m a m g r m ar i 因为 ∑ miar = ar∑ mi = arm 解得 g m m m m m a + + − = 1 2 1 2 例 14-3 均质细直杆 AB 重 P，长为 l，其 A 端铰接在铅垂轴上，并以匀角速度ω 绕轴转动如图 14-6 所示。当杆 AB 与轴的夹角θ 为常量时，求ω 和θ 的关系。 解 （1）取杆 AB 为对象。 （2）受力分析：外力有 P，FAx，FAz。 （3）运动分析：虚加惯性力。 在 λ 处取 dλ ，其质量 ω λ θ λ ω λ θ λ sin d , sin , d d d 2 2 g l P a F g l P m I n = i = = λ λ ω θ ω θ sin 2 d sin d 2 0 2 l g P l g P F F l l IR I ⋅ = ⋅ = = ∫ ∫ （a） 设合力作用线与 AB 杆的交点为 D 并且 AD = b，根据合力矩定理，有 ∫ = l IR FI F b cosθ d λ cosθ （b） 而 λ λ θ ω θ θ ω θ λ θ sin cos 3 d cos sin d cos 2 2 3 0 2 = = ⋅ ∫ ∫ l l g P l g P F l l I （c） 将式（a），（c）代入式（b），则得 b l 3 2 = （4）由达朗伯原理，杆 AB 的虚平衡方程有 ∑ ( ) = − sin = 0 2 cos 3 2 0 θ l θ P M F l A F IR 即 sin 0 2 cos 3 2 sin 2 2 ω θ ⋅ θ − l θ = P l l g P θ （a） ω z B A D dλ λ θ B C A FAy FIR P FAx （ b 图 14-6