第十六章动力学普遍方程与拉格朗日方程 §16-1动力学普遍方程 应用达朗伯原理,把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解,而虚位移 原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理,将二者相结合,就可得到处理质 点系动力学问题的动力学普遍方程( General equations of dynamics)。对此方程进行了广义 坐标变换,可以导出拉格朗日方程( Lagrange' s equations of motion)。拉格朗日方程为建 立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法,在振动理论、质点系动力学问题 中有着广泛地应用 我们先讨论动力学普遍方程 对于n个质点组成的质点系,在任一瞬时,作用于系统内的任一个质点M上的主动 力主矢为F,约束反力主矢为FN,据达朗伯原理,再加上该质点的惯性力F=-ma 则有 F+F+(-ma)=0(=1.2,…,n) 此时系统处于虚平衡状态。给系统任一组虚位移δr,根据虚位移原理,有 F+F -)Sr=0 对于理想约束,由于 FN.Sr=0 则得 ∑(F-ma1)r=0 (16-1) 或写成解析式 mx6x+(F-my)5y2+(F=-m1=;J5=;=0 (16-2) 式(16-1)和(16-2)称为动力学普遍方程。它表示:具有理想约束的质点系,任一瞬时 作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。 将动力学普遍方程与静力学普遍方程相比较,其共同点在于方程中均不出现理想约束 反力,独立方程的数目等于系统的自由度数:区别在于动力学普遍方程中除包含主动力之 外,还包含有惯性力。 应用动力学普遍方程解题时,要正确分析和虚加惯性力,并视惯性力为主动力,解题 步骤与虚位移原理求平衡问题相同。 例16-1瓦特离心调速器以匀角速度O绕铅垂固定轴Oy转动,如图16-1所示。小 球A和B的质量为m,套筒C的质量为M,可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中OA=OB=l
1 第十六章 动力学普遍方程与拉格朗日方程 §16-1 动力学普遍方程 应用达朗伯原理，把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解，而虚位移 原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理，将二者相结合，就可得到处理质 点系动力学问题的动力学普遍方程（General equations of dynamics）。对此方程进行了广义 坐标变换，可以导出拉格朗日方程（Lagrange’s equations of motion）。拉格朗日方程为建 立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法，在振动理论、质点系动力学问题 中有着广泛地应用。 我们先讨论动力学普遍方程。 对于 n 个质点组成的质点系，在任一瞬时，作用于系统内的任一个质点 Mi 上的主动 力主矢为 Fi ，约束反力主矢为 Ni F ，据达朗伯原理，再加上该质点的惯性力 i FI ii = −m a ， 则有 ( ) 0 1 2 ( ) i FF a i N ii + +− = = m i , , ,n " 此时系统处于虚平衡状态。给系统任一组虚位移 i δ r ，根据虚位移原理，有 ( ) 1 0 i n i N ii i i FF a r m δ = ∑ +− ⋅= 对于理想约束，由于 0 1 ∑ ⋅ = = i F δ r Ni n i 则得 ( ) 1 0 n i ii i i Far m δ = ∑ − ⋅= （16-1） 或写成解析式 0 1 ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ∑ − = i i i F m x x F m y y F m z z ix i i iy i i iz i i n i δ δ δ （16-2） 式（16-1）和（16-2）称为动力学普遍方程。它表示：具有理想约束的质点系，任一瞬时 作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。 将动力学普遍方程与静力学普遍方程相比较，其共同点在于方程中均不出现理想约束 反力，独立方程的数目等于系统的自由度数；区别在于动力学普遍方程中除包含主动力之 外，还包含有惯性力。 应用动力学普遍方程解题时，要正确分析和虚加惯性力，并视惯性力为主动力，解题 步骤与虚位移原理求平衡问题相同。 例 16-1 瓦特离心调速器以匀角速度ω 绕铅垂固定轴 Oy 转动，如图 16-1 所示。小 球 A 和 B 的质量为 m，套筒 C 的质量为 M，可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中 OA = OB = l
OD=OE=DC=EC=a,不计各杆重,不计各铰链及轴承的摩擦,试求稳态运动时调速 器的张角a 解只要正确虚加惯性力,则可按虚位移原理求解静力学问题一样求解。 (1)受力分析。以系统为 研究对象,主动力有小球A、 B的重力mg以活套C的重力 Mg。当系统稳定运动时,张 角a=常量,套筒C不动。 此时球A、B都作匀速圆周运h6 ,其向心加速度的大小为 Me a =aB=la sina 虚加在小球A、B上的惯性力 的大小分别为 .=F (2)虚位移分析。虚加惯性力后系统处于虚平衡状态。系统具有一个自由度,取a角 为广义坐标。对图示坐标系,可得力作用点的直角坐标为 x =sin a yB=Icosa acos( 对上式取变分,得 dx=-lcosaoa, Sy=-lsinaSa Sxr=losada, 5I singo a (3)应用动力学普遍方程求解。据式(16-2)可得 mgo+mgoyB+Mgdyc-FLdxA+ FBoxB=0 mglsina-2Mgasin a+2m/ 因δa≠0,可得 cOS&s ml+Ma g sin a =0 第二个解α≡0是不稳定的,只要稍加扰动,调速器就会有张角,而最终在第一个解给出 的位置上处于相对平衡
2 ω α a a a a C D E O y α A B mg Mg FIA FIB mg x 图 16-1 OD = OE = DC =EC = a，不计各杆重，不计各铰链及轴承的摩擦，试求稳态运动时调速 器的张角α 。 解 只要正确虚加惯性力，则可按虚位移原理求解静力学问题一样求解。 （1）受力分析。以系统为 研究对象，主动力有小球 A、 B 的重力 mg 以活套 C 的重力 Mg。当系统稳定运动时，张 角α = 常量，套筒 C 不动。 此时球 A、B 都作匀速圆周运 动，其向心加速度的大小为 ω sinα 2 a a l A = B = 虚加在小球 A、B 上的惯性力 的大小分别为 ω sinα 2 F F ml IA = IB = （2）虚位移分析。虚加惯性力后系统处于虚平衡状态。系统具有一个自由度，取α 角 为广义坐标。对图示坐标系，可得力作用点的直角坐标为 xA = −lsinα ， y A = l cosα xB = lsinα ， yB = l cosα xC = 0 ， yC = 2acosα 对上式取变分，得 δ xA = −l cosα δ α ，δ y A = −lsinα δ α δ xB = l cosα δ α ， δ yB = −lsinα δ α δ xC = 0 ， δ yC = −2asinα δ α （3）应用动力学普遍方程求解。据式（16-2）可得 + + − + B = 0 A B C I A A I B mgδ y mgδ y M gδ y F δ x F δ x 即 ( sin sin 2 sin 2 sin cos ) 0 2 2 − mgl α − mgl α − Mga α + ml ω α α δ α = 因δ α ≠ 0，可得 g ml ml M a 2 2 cos ω α + = ， sinα = 0 第二个解α = 0 是不稳定的，只要稍加扰动，调速器就会有张角，而最终在第一个解给出 的位置上处于相对平衡
例16-2在图16-2所示系统中,物块A的质量为m,与接触面处的滑动摩擦因数为 后,均质圆柱体的质量为M。不计绳重及定滑轮质量,当系统运动时,试求物块A和圆柱 体质心C的加速度aA和ac x 解此系统为二自由度系统,视FL4 A块的滑动摩擦力为主动力,可应用 动力学普遍方程求解。 FN (1)受力分析。以物块、柱体及 绳所组成的系统为研究对象。主动力 为物块和柱体的重力mg和Mg,物块 A的滑动摩擦力F=fmg。 A块作直线运动,圆柱体作平面 图16-2 运动。系统具有二自由度,取x4及xc为广义坐标,物块A、柱体质心C的加速度以及圆 柱的角加速度分别为 可得系统的惯性力和惯性力偶矩分别为 F=ma=mx, f=Ma=Mx Me=ja=-Mr "=Mr(x-x (b) (2)虚位移分析。当系统虚加惯性力后(见图16-2),系统则处于虚平衡状态。此位 置,给A物块以虚位移δx4,给C点以虚位移δxc,圆柱体的虚转角则为 xc-ox (3)用动力学普遍方程求解。根据式(16-1),有 Mg axc-Fsax-fuar- Fic ac-Mc do=0 (d) 将式(a)、(b)、(c)代入式(d),得 MB6x-FOx1-m?8x1-M:8%24r(x-x)-(6xe-6x)=0 经整理后为 M-M、1 M(xc-xaxc-Fs+mxM(*)ox,=0 由于δxA和δxc是彼此互为独立的虚位移,欲式(e)成立,则必须
3 例 16-2 在图 16-2 所示系统中，物块 A 的质量为 m，与接触面处的滑动摩擦因数为 fs，均质圆柱体的质量为 M。不计绳重及定滑轮质量，当系统运动时，试求物块 A 和圆柱 体质心 C 的加速度 A a 和aC 。 解 此系统为二自由度系统，视 A 块的滑动摩擦力为主动力，可应用 动力学普遍方程求解。 （1）受力分析。以物块、柱体及 绳所组成的系统为研究对象。主动力 为物块和柱体的重力 mg 和 Mg，物块 A 的滑动摩擦力 Fs = fs mg。 A 块作直线运动，圆柱体作平面 运动。系统具有二自由度，取 xA及 xC为广义坐标，物块 A、柱体质心 C 的加速度以及圆 柱的角加速度分别为 A A a = x′′ ， C C a = x′′ ( ) ( ) C A C A x x r a a r = − = ′′ − ′′ 1 1 α （a） 可得系统的惯性力和惯性力偶矩分别为 IA A A F = ma = m x′′ ， IC C C F = M a = M x′′ ( ) ( ) IC C C A C A x x M r x x r M = J = M r ′′ − ′′ = ′′ − ′′ 2 1 1 2 1 2 α （b） （2）虚位移分析。当系统虚加惯性力后（见图 16-2），系统则处于虚平衡状态。此位 置，给 A 物块以虚位移 A δ x ，给 C 点以虚位移 C δ x ，圆柱体的虚转角则为 ( ) C A x x r δ ϕ = δ − δ 1 （c） （3）用动力学普遍方程求解。根据式（16-1），有 MgδxC − FS δxA − FIA δxA − FIC δxC − MIC δϕ = 0 （d） 将式（a）、（b）、（c）代入式（d），得 ( ) ( ) 0 1 2 1 C − S A − ′ A ′ A − C ′′ C − C ′′ − ′ A ′ ⋅ xC − xA = r M gδ x F δ x mx δ x Mx δ x M r x x δ δ 经整理后为 ( ) ( ) 0 2 1 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ′′ − ′′ − ′′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ′′ − ′′ − ′′ C C A C S A C A A Mg Mx M x x δx F mx M x x δ x （e） 由于 A δ x 和 C δ x 是彼此互为独立的虚位移，欲式（e）成立，则必须 B C MIC δφ δxC δxA Mg Fs FIA FN FIC xA xC 图 16-2 A
Mg-MxC-M(C-x (f) F+mx1-M(x2-x)=0 式(f)即为系统的运动微分方程。运动微分方程的个数即系统的自由度数。从而解得 Mg-35s mg_M-35sm M+3m M+ 3m M+3m g 讨论 (i)解答式(g),只有M-3mg>0时符合题意。若M-3fsmg≤0,此时 0,f M+2m (i)由于广义虚位移的独立性,当系统虚加惯性力后,可分别令δxc≠0,δx4=0; 以及x4≠0,6xC=0。应用动力学普遍方程,可直接得到系统的运动微分方程式(f) §16-2拉格朗日方程 上节导出的动力学普遍方程是以直角坐标形式表达的,由于系统中各质点的虚位移并 不独立,应用时还必须寻求虚位移间的关系,而在复杂的非自由质点系中将十分麻烦。利 用广义坐标,对动力学普遍方程进行坐标变换,则可得到与自由度数目相同的一组独立运 动微分方程,从而使这一方程更加简洁,便于应用。 1.拉格朗日方程 设具有理想完整约束的质点系由n个质点组成,有k个自由度,取广义坐标为q1 q,…,qk。质点系中任一质点m的矢径r可表示为广义坐标和时间的函数,即 r=r;(q1,q2,…,qk 质点m的虚位移 (16-4) 将式(16-4)代入动力学普遍方程(16-1),可得 ∑(-ma)∑n6q
4 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + ′′ − ′′ − ′′ = − ′′ − ′′ − ′′ = 0 2 1 0 2 1 S A C A C C A F mx M x x Mg Mx M x x （f） 式（f）即为系统的运动微分方程。运动微分方程的个数即系统的自由度数。从而解得 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + + − = ′′ = + − = + − = ′′ = g M m M m f m a x g M m M f m M m Mg f mg a x S C C S S A A 3 2 3 3 3 3 （g） 讨论 （i）解答式（g），只有 M − 3 fS mg > 0时符合题意。若 M − 3 fS mg ≤ 0 ，此时 aA = 0 ， m M fs 3 3 1 = g g M m m m M M m aC 3 2 3 3 2 = + + − = （ii）由于广义虚位移的独立性，当系统虚加惯性力后，可分别令δ xC ≠ 0 ，δ xA = 0 ； 以及δ xA ≠ 0 ，δ xC = 0 。应用动力学普遍方程，可直接得到系统的运动微分方程式（f）。 §16-2 拉格朗日方程 上节导出的动力学普遍方程是以直角坐标形式表达的，由于系统中各质点的虚位移并 不独立，应用时还必须寻求虚位移间的关系，而在复杂的非自由质点系中将十分麻烦。利 用广义坐标，对动力学普遍方程进行坐标变换，则可得到与自由度数目相同的一组独立运 动微分方程，从而使这一方程更加简洁，便于应用。 1．拉格朗日方程 设具有理想完整约束的质点系由 n 个质点组成，有 k 个自由度，取广义坐标为 q1， q2，…，qk。质点系中任一质点 mi 的矢径 ir 可表示为广义坐标和时间的函数，即 ir = ir （q1，q2，…，qk；t） （16-3） 质点 mi 的虚位移 q ( ) i n q j j i k j 1, 2, , 1 = " ∂ ∂ = ∑= δ δ r ri （16-4） 将式（16-4）代入动力学普遍方程（16-1），可得 ( ) 0 1 1 = ∂ ∂ ∑ − ⋅∑ = = k j j j i n i i i q q m δ r F a （16-5）
交换讠,j的求和顺序,得 F 式中括号内的第一项称为对应于广义坐标q的广义力,即 Q=∑ 上一章对广义力的计算方法作了详细讨论。类似地,可定义对应于广义坐标q的广义惯性 力( Generalized force of inertia)为 .a 于是,将式(16-5)可简写成 ∑+)=0 (16-7) 现在,我们研究广义惯性力的计算。在质点系的运动过程中,广义坐标将随时间t的 变化而变化,是时间t的函数。因此,质点系中任一质点m的速度为 q (16-8) 式中的q1是广义坐标对时间的导数,称为广义速度。可见,质点的速度v是广义坐标、 广义速度和时间t的已知函数。它对广义坐标和广义速度的偏导数可得以下两个重要等式 称为拉格朗日变换式。 (1)式(16-8)中,由于和中不包括广义速度,将该式两端对q求偏导 数,则得 (16-9) (2)收0r对时间r求导,得
5 交换 i，j 的求和顺序，得 0 1 1 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⋅ ∂ ∂ ∑ ∑ ⋅ ∑ = = = j j i n i i i j i n i i k j q q m q δ r a r F 式中括号内的第一项称为对应于广义坐标 qj 的广义力，即 ( ) j k q Q j i n i j i 1,2, , 1 = " ∂ ∂ = ∑ ⋅ = r F 上一章对广义力的计算方法作了详细讨论。类似地，可定义对应于广义坐标 qj 的广义惯性 力（Generalized force of inertia）为 ( ) j k q Q m j i n i Ij i i 1,2, , 1 = " ∂ ∂ = −∑ ⋅ = r a （16-6） 于是，将式（16-5）可简写成 ( ) 0 1 ∑ + = = j Ij j k j Q Q δq （16-7） 现在，我们研究广义惯性力的计算。在质点系的运动过程中，广义坐标将随时间 t 的 变化而变化，是时间 t 的函数。因此，质点系中任一质点 mi 的速度为 t q q i j j i k j i i ∂ ∂ ⋅ ′ + ∂ ∂ = ′= ∑= r r v r 1 （16-8） 式中的 j q′ 是广义坐标对时间的导数，称为广义速度。可见，质点的速度 i v 是广义坐标、 广义速度和时间t 的已知函数。它对广义坐标和广义速度的偏导数可得以下两个重要等式， 称为拉格朗日变换式。 （1）式（16-8）中，由于 j i ∂ q ∂ r 和 t i ∂ ∂ r 中不包括广义速度，将该式两端对 j q′ 求偏导 数，则得 j i j i q ∂ q ∂ = ∂ ′ ∂ v r （16-9） （2）将 j i ∂ q ∂ r 对时间 t 求导，得