第十二章动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系,揭示了质点系机 械运动规律的一个侧面,而不是全貌。例如,圆轮绕质心转动时,无论它怎样转动, 圆轮的动量都是零,动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧 面,揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明 其应用。 12-1转动惯量,平行轴定理 1.转动惯量 质点系的运动,不仅与作用在质点系上的力有关,还与质点系各质点的质量其及 分布情况有关。转动惯量( Moment of inertia)是描述质点系质量分布的又一个特征量 刚体对轴z的转动惯量,是刚体内各质点的质量m与它到该轴的垂直距离r2的 平方的乘积之和,记作J,即 J=∑m2 (12-1) 如果刚体的质量是连续分布的,则可用积分表示 (122) 式中积分号下M表示积分范围遍及整个刚体。 由(12-2)式可见,转动惯量恒为正值,它的大小不仅和整个刚体的质量大小有 关,而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量,质 量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的,与刚体的运动状态无关。 在法定计算单位中,转动惯量的常用单位是千克·米2(kg·m2)。 刚体对某轴z的转动惯量J与其质量M的比值的平方根为一个当量长度,称为刚 体对该轴的回转半径( Radius of gyration),即 (12-3) 必须注意:回转半径不是物体某一部分的尺寸,它只是在计算物体的转动惯量时,假 想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上,这样计算物体对该轴 的转动惯量时,就简化为这个质点对该轴的转动惯量。 2.简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式(122)O 计算 (1)均质细直杆:如图12-1所示均质细直杆,质 量为m,长为l,建立坐标系如图。在直杆上取长为dx 图12-1
1 第十二章 动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机 械运动规律的一个侧面，而不是全貌。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动， 圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧 面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明 其应用。 12-1 转动惯量，平行轴定理 1．转动惯量 质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及 分布情况有关。转动惯量（Moment of inertia）是描述质点系质量分布的又一个特征量。 刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量 mi 与它到该轴的垂直距离 rzi 的 平方的乘积之和，记作 Jz，即 Jz = 2 i zi ∑ m r （12-1） 如果刚体的质量是连续分布的，则可用积分表示 Jz = 2 d M∫ r m （12-2） 式中积分号下 M 表示积分范围遍及整个刚体。 由（12-2）式可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个刚体的质量大小有 关，而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量，质 量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状态无关。 在法定计算单位中，转动惯量的常用单位是千克·米 2 （kg·m 2 ）。 刚体对某轴 z 的转动惯量 Jz 与其质量 M 的比值的平方根为一个当量长度，称为刚 体对该轴的回转半径（Radius of gyration），即 2 , z z z z J M M J ρ = = ρ （12-3） 必须注意：回转半径不是物体某一部分的尺寸，它只是在计算物体的转动惯量时，假 想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上，这样计算物体对该轴 的转动惯量时，就简化为这个质点对该轴的转动惯量。 2．简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式（12-2） 计算。 （1）均质细直杆：如图 12-1 所示均质细直杆，质 量为 m，长为 l，建立坐标系如图。在直杆上取长为 dx A O y x x l dx 图 12-1
的微段,作为质点看待,其质量dm=mdx,此质点到z轴的距离为x,则OA杆对z 轴的转动惯量,根据式(12-2)得 J xdx (2)均质矩形薄板:质量为m,边长分别为b和h的均质薄板,如图12-2所示 取一平行x轴之细条,其宽度为dy。因该细条与x轴之距离均为y,则该细条对x轴 的转动惯量为 所以,均质矩形薄板对x轴的转动惯量为 J 类似地,对y轴的转动惯量为 图12-2 (3)均质等厚圆盘:质量为m,半径为R均质等厚薄圆盘,如图12-3所示。将 圆盘分为很多同心细圆环,半径为r,宽度为dr。令圆盘单位面积的质量为p,则圆 环对过圆心O且垂直于圆盘平面的轴z的转动惯量为 (rdrp)r=2Tprdr 由此,圆盘对轴的转动惯量为 J=J 但圆盘质量m=pxR2,所以 图12-3 平行轴定理 转动惯量与轴的位置有关,但在一般工程手册中所给出的大都只是刚体对通过质 心C轴(质心轴)的转动惯量。对于与质心轴平行的轴的转动惯量的计算,可以应用 下面的定理—一转动惯量的平行轴定理。 定理刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的 转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,即 J =c+Md (12-4) 证明:
2 的微段，作为质点看待，其质量 dm = d m x l ，此质点到 z 轴的距离为 x，则 OA 杆对 z 轴的转动惯量，根据式（12-2）得 2 2 0 1 d 3 l z y m J J x x ml l == = ∫ （2）均质矩形薄板：质量为 m，边长分别为 b 和 h 的均质薄板，如图 12-2 所示。 取一平行 x 轴之细条，其宽度为 dy。因该细条与 x 轴之距离均为 y，则该细条对 x 轴 的转动惯量为 2 d m y y h ⋅ 所以，均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量为 2 2 2 2 1 d 12 h x h m J y y mh − h = = ∫ 类似地，对 y 轴的转动惯量为 1 2 12 y J mb = （3）均质等厚圆盘：质量为 m，半径为 R 均质等厚薄圆盘，如图 12-3 所示。将 圆盘分为很多同心细圆环，半径为 r，宽度为 dr。令圆盘单位面积的质量为 ρ ，则圆 环对过圆心 O 且垂直于圆盘平面的轴 z 的转动惯量为 ( ) 2 3 2d 2 d π ρ πρ rr r r r = 由此，圆盘对 z 轴的转动惯量为 3 4 0 1 2 d 2 R z O J == = J rr R π ρ πρ ∫ 但圆盘质量 m= 2 ρ π R ，所以 1 2 2 z O J = = J mR 3．平行轴定理 转动惯量与轴的位置有关，但在一般工程手册中所给出的大都只是刚体对通过质 心 C 轴（质心轴）的转动惯量。对于与质心轴平行的轴的转动惯量的计算，可以应用 下面的定理——转动惯量的平行轴定理。 定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的 转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即 2 z ' zC J J Md = + （12-4） 证明： dy y b O y h x 图 12-2 O d r R 图 12-3
设有一刚体,质量为M,二轴通过质心C,z轴与〓轴平行且相距为d,取x、y 轴如图124所示。现研究刚体对z轴和z′轴的转动惯量之间的关系 刚体内任一点M的质量m,它距z轴和z’轴的距离分别为n和r。由转动惯量 的定义,刚体对于z轴的转动惯量可表示为 ∑m[x2+(x-)] ∑m[ 整理得 J2=∑m(x2+y)-2∑my+∑md2 上式中 ∑m(x+y2)=Jc2md2=M2 据质心坐标公式 ∑m另=My 因yc=0,故∑my1=0 把上述这些项代入J,中得 J=Jc+Md 图12-4 证毕 表12-1给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式,以备查用。 例12-1一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图12-5所示。均质杆质量为 m,圆球质量为m2,半径为r。试计算摆对于通过O点并垂直于杆的轴的转动惯量。 解以J1和J分别表示杆与球对于〓轴转动惯量,则摆对于z轴的转动惯量为 两者之和,即 J2=J21+J2 m2+m2(+r) 于是 J=-m1 m,r+m 图
3 设有一刚体，质量为 M，z 轴通过质心 C， z′ 轴与 z 轴平行且相距为 d，取 x、y 轴如图 12-4 所示。现研究刚体对 z 轴和 z′ 轴的转动惯量之间的关系。 刚体内任一点 Mi 的质量 mi，它距 z 轴和 z′ 轴的距离分别为 ri 和 ir′ 。由转动惯量 的定义，刚体对于 z′ 轴的转动惯量可表示为 ( ) 2 2 2 22 2 2 z i ii i ii i i J mr mx y d m x y yd d ′ i = ′ = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = +− + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ 整理得 ′ = ∑ ( + )− ∑ + ∑ 2 2 2 J z mi xi yi 2d mi yi mid 上式中 ( ) 22 2 2 ∑ ∑ m x y J m d Md i i i zC i += = 据质心坐标公式 ∑my My ii C = 因 yC = 0，故 ∑ = 0 i i m y 把上述这些项代入 z J ′ 中得 2 z zC J J Md ′ = + 证毕。 表 12-1 给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式，以备查用。 例 12-1 一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图 12-5 所示。均质杆质量为 m1，圆球质量为 m2，半径为 r。试计算摆对于通过 O 点并垂直于杆的 z 轴的转动惯量。 解 以 Jz1 和 Jz2 分别表示杆与球对于 z 轴转动惯量，则摆对于 z 轴的转动惯量为 两者之和，即 z z1 z2 J = J + J 2 1 1 3 1 J m l z = 而 ( )2 2 2 2 2 22 2 1 5 z C J J md mr m r =+ = + + 于是 ( )2 2 2 2 2 1 1 5 2 3 1 J m l m r m r z = + + + ir′ C y z d ri Mi zi yi xi O′ z′ ( y′ ) x′ O x 图 12-4 A O r z y x l 图 12-5
表12-1转动惯量 匀质 简图 转动惯量 回转半径 物体 J≈0 P,≈0 细直 杆 J,=J2=,Ml2 =p 6 J 矩形 薄板 M(G2+b2) J,=1M(b2+c2) 3(b2+c2 12 长方 体 nM(2+b2) la J=J 薄圆 盘 Px =p 4,==12b2+) 3r2+12 圆柱 J=-Mr
1 表 12-1 转动惯量 匀质 物体 简图 转动惯量 回转半径 细直 杆 J x ≈ 0 2 12 1 J J M l y = z = ρ x ≈ 0 l y z 6 3 ρ = ρ = 矩形 薄板 2 12 1 J Mb x = 2 12 1 J Ma y = ( ) 2 2 12 1 J z = M a + b b x 6 3 ρ = y a 6 3 ρ = ( ) 2 2 3 6 1 a b ρ z = + 长方 体 ( ) 2 2 12 1 J M b c x = + ( ) 2 2 12 1 J y = M c + a ( ) 2 2 12 1 J z = M a + b ( ) 2 2 3 6 1 b c ρ x = + ( ) 2 2 3 6 1 ρ y = c + a ( ) 2 2 3 6 1 ρ z = a + b 薄圆 盘 2 4 1 J J Mr x = y = 2 2 1 J Mr z = r x y 2 1 ρ = ρ = r z 2 2 ρ = 圆柱 ( ) 2 2 3 12 r l M J J x = y = + 2 2 1 J Mr z = ( ) 2 2 3 3 6 1 r l x y = + ρ = ρ r z 2 2 ρ = C x z y l b C x z y l y c z x a b z x y r C C r z y x l
空心 圆柱 13 1=prVi+r2 ) Px=p 正圆 10 锥体 10 实心 J=J=J=-Mr 球 Pr=Pv=p 球壳 Jx=J,=J:=,Mr √6 Px=p,=p 注:M—物体的质量,C—质心,P—密度 例12-2计算均质正圆锥体(见图12-6)对其底面直径的转动惯量。已知圆锥体 质量为M,底圆半径为R,高为h。 解把圆锥体分成许多厚度为d的薄圆片,这薄圆片的质量为dm=prd(式 中p为圆锥体的密度,r为薄圆片的半径)。圆锥体的质量为M=pzR2h。这薄圆片 对其自身直径的转动惯量可查表知为1dm,由几何关系可知,r=(h-2).于是 薄圆片对y轴转动惯量dJ,为
2 空心 圆柱 J x = J y = [ ( ) ] 2 2 2 2 3 1 12 r r R M + + ( ) [ ] M ( ) r r l J M r r z 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 = + = + ρπ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 9 3 6 1 r r r r l z x y = + = + + = ρ ρ ρ 正圆 锥体 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = + M r h J Mr r h M J J z x y 2 2 2 2 3 1 10 3 3 2 20 ρπ ( ) 2 2 5 3 2 10 1 r h x y = + ρ = ρ r z 30 10 1 ρ = 实心 球 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = 3 2 3 4 5 2 M r J J J Mr x y z ρπ r x y z 10 5 1 ρ = ρ = ρ = 球壳 2 3 2 J J J Mr x = y = z = r x y z 6 6 ρ = ρ = ρ = 注：M——物体的质量，C——质心， ρ ——密度。 例 12-2 计算均质正圆锥体（见图 12-6）对其底面直径的转动惯量。已知圆锥体 质量为 M，底圆半径为 R，高为 h。 解 把圆锥体分成许多厚度为 dz 的薄圆片，这薄圆片的质量为 dm = 2 ρ π r zd （式 中 ρ 为圆锥体的密度，r 为薄圆片的半径）。圆锥体的质量为 M= R h 2 3 1 ρ π 。这薄圆片 对其自身直径的转动惯量可查表知为 1 2 d 4 r m ，由几何关系可知， ( ) h z h R r = − 。于是 薄圆片对 y 轴转动惯量 dJy 为 r2 C z y x l r1 r C z y x z y x r r z y x C O h 3h/