第十五章虚位移原理 质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制,可以在空 间自由运动,它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力,则这种质点系称为自由质点系。 例如,各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制,在空间不能自由运动 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件,则这种质点系称为非自由质点系。例如,用 刚杆连接的两质点,它们之间的距离保持不变。在工程实际中,经常遇到的是非自由质点 系 静力学中,以静力学公理为基础,以矢量分析为特点,通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件,称为矢量静力学( Vectorial statics)或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说,只是必要的,并非充分的 本章讨论的虚位移原理( Principle of virtual displacement),是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题,平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件,是解决质点系平衡问题的 普遍原理,可称为分析静力学( Analytical statics)。 §15-1约束及其分类 1.约束( Constraints)与约束方程( Contraint equations) 质点系各质点在空间的位置的集合,称为质点系的位形( Configuration),位形表示了 该系内各质点的位置分布所构成的几何形象。在非自由质点系中,那些预先给定的限制质 点系位形或速度的运动学条件称为约束。例如限制刚体内任意两点间的距离不变的条件, 限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件等都是约束。如果将非自由质点系的运动限制 条件用数学方程式表示,则称此方程为质点系的约束防程。 例如,图15-1所示单摆,由于刚性摆杆的长度l不变,摆锤A被限制xy平面内作圆 周运动,摆锤A的坐标满足约束方程 12 又如图15-2所示的曲柄滑块机构,曲柄销A只能在以曲柄长r为半径的圆周上运动;滑 O xi,j A 图15
1 第十五章 虚位移原理 质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制，可以在空 间自由运动，它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力，则这种质点系称为自由质点系。 例如，各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动， 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件，则这种质点系称为非自由质点系。例如，用 刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。在工程实际中，经常遇到的是非自由质点 系。 静力学中，以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件，称为矢量静力学（Vectorial statics）或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说，只是必要的，并非充分的。 本章讨论的虚位移原理（Principle of virtual displacement），是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的 普遍原理，可称为分析静力学（Analytical statics）。 §15-1 约束及其分类 1．约束（Constraints）与约束方程（Contraint equations） 质点系各质点在空间的位置的集合，称为质点系的位形（Configuration），位形表示了 该系内各质点的位置分布所构成的几何形象。在非自由质点系中，那些预先给定的限制质 点系位形或速度的运动学条件称为约束。例如限制刚体内任意两点间的距离不变的条件， 限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件等都是约束。如果将非自由质点系的运动限制 条件用数学方程式表示，则称此方程为质点系的约束防程。 例如，图 15-1 所示单摆，由于刚性摆杆的长度 l 不变，摆锤 A 被限制 xy 平面内作圆 周运动，摆锤 A 的坐标满足约束方程 2 2 2 x + y = l （a） 又如图 15-2 所示的曲柄滑块机构，曲柄销 A 只能在以曲柄长 r 为半径的圆周上运动；滑 x l y A (x , y) O 图 15-1 φ B(x2 , y2) O x y r l A(x1 , y1) 图 15-2
块B被限制在水平滑道Ox中运动;A、B两点间的距离被连杆的长度l所限制。因此,曲 柄滑块机构的约束方程可表示为 2+y2=r2 x2-x1)2+(v2-y1)2=P2 (b) y2=0 再如图15-3所示的圆轮,沿水平直线轨迹作纯滚动,由于轮心C作直线运动,约束条件 为轮心C的坐标y保持不变,即 Vo 又因为圆轮作纯滚动,轮心速度x与轮的角速度q 必须满足约束方程 O 2.约束分类 根据约束对质点系运动限制条件的不同,可将约 图15-3 束分类如下 (1)定常约束( Steady constraint)和非定常约束( Unsteady constraint)。如果在约束 方程中不显含时间t,即约束不随时间而变,这种约束称为定常约束或稳定约束。以上各 例都是定常约束。如果在约束方程中显含t,则称其为非定常约束。例如图15-1中的单摆, 悬挂点O若以匀速v沿x轴向右运动,这时约束方程成为 (x-vi+y2=l (e) 约束方程中显含时间t。可见,悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。 (2)双面约束( Bilateral constraint)与单面约束( Unbilateral constraint)。约束方程中 用等号表示的约束,称为双面约束或不可离约束。这种约束能限制两个相反方向的运动 由方程(a)、(b)表示的约束都是双面约束。由不等式表示的约束称为单面约束或可离约 束。例如图15-1中的单摆,将摆杆以细绳代替,因绳子不能受压,约束方程成为 (f) 显然,单面约束只能限制物体某个方向的运动,而不能限制相反方向的运动。图15-3中 轨道对圆轮的约束亦属单面约束。但在实际问题中,质点系没有脱离约束的主动力作用时, 单面约束仍理解为具有双面约束的性质。例如单摆在运动过程中,绳不可能受压,绳与杆 并无差别。又如沿水平面滚动的圆轮,若脱离轨道而跳起,就是自由刚体的运动,这显然 是与研究前提相矛盾的 (3)完整约束( Holonomic constraint)与非完整约束( Nonholonomic constraint)。通 过以上各例的约束方程,我们已注意到约束不仅对质点系的几何位形起限制作用,而且还
2 块 B 被限制在水平滑道 Ox 中运动；A、B 两点间的距离被连杆的长度 l 所限制。因此，曲 柄滑块机构的约束方程可表示为 ( )( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + − = + = 0 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 y x x y y l x y r （b） 再如图 15-3 所示的圆轮，沿水平直线轨迹作纯滚动，由于轮心 C 作直线运动，约束条件 为轮心 C 的坐标 y 保持不变，即 yC = R （c） 又因为圆轮作纯滚动，轮心速度 Cx′ 与轮的角速度ϕ′ 必须满足约束方程 xC ′ − Rϕ′ = 0 （d） 2．约束分类 根据约束对质点系运动限制条件的不同，可将约 束分类如下： （1）定常约束（Steady constraint）和非定常约束（Unsteady constraint）。如果在约束 方程中不显含时间 t，即约束不随时间而变，这种约束称为定常约束或稳定约束。以上各 例都是定常约束。如果在约束方程中显含 t，则称其为非定常约束。例如图 15-1 中的单摆， 悬挂点 O 若以匀速 v 沿 x 轴向右运动，这时约束方程成为 ( )2 2 2 x − v t + y = l （e） 约束方程中显含时间 t。可见，悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。 （2）双面约束（Bilateral constraint）与单面约束（Unbilateral constraint）。约束方程中 用等号表示的约束，称为双面约束或不可离约束。这种约束能限制两个相反方向的运动， 由方程（a）、（b）表示的约束都是双面约束。由不等式表示的约束称为单面约束或可离约 束。例如图 15-1 中的单摆，将摆杆以细绳代替，因绳子不能受压，约束方程成为 2 2 2 x + y ≤ l （f） 显然，单面约束只能限制物体某个方向的运动，而不能限制相反方向的运动。图 15-3 中 轨道对圆轮的约束亦属单面约束。但在实际问题中，质点系没有脱离约束的主动力作用时， 单面约束仍理解为具有双面约束的性质。例如单摆在运动过程中，绳不可能受压，绳与杆 并无差别。又如沿水平面滚动的圆轮，若脱离轨道而跳起，就是自由刚体的运动，这显然 是与研究前提相矛盾的。 （3）完整约束（Holonomic constraint）与非完整约束（Nonholonomic constraint）。通 过以上各例的约束方程，我们已注意到约束不仅对质点系的几何位形起限制作用，而且还 ϕ C x y φ Cx R 图 15-3 O
可能与时间、速度有关。因而,约束方程的一般形式可表示为 r)=0 (15-1) G=12 式中,n为质点系中质点的个数,s为约束方程的个数。 约束方程中显含坐标对时间的导数,称为运动约束。如果运动约束能积分成有限形式, 则称这种约束为完整约束。例如约束方程(d),可以积分为xc-Rp=常数,故为完整约 束。约束方程中若不显含坐标对时间的导数,这种约束称为几何约束。几何约束也属完整 约束。几何约束方程的一般形式为 ∫(x1,y,=1;…xn,yn,=n;1)=0 (15-2) 综上所述,几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。实际上,对于可积分的运 动的约束,积分后方程中不再包含坐标的导数,此时的运动约束成为几何约束。因而,在 以后的讨论中,对几何约束与完整的约束不再区分。 一般情况下,含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约束称为非完整约束 非完整约束方程的一般形式为式(15-1)。因为非完整约束方程表现为微分形式,故又称 为不可积分约束。应理解为在任意约定的位形中,质点系各点速度应满足的条件。 个质点系可以同时受到完整和非完整约束,只受完整约束的质点系称为完整系统 只要质点受到非完整约束,则称为非完整系统。如果约束都是定常的,则称质点系为定常 系统。否则,称为非定常系统。 特别注意,本章只讨论双面、定常的几何约束。这种约束方程的一般形式为 f, xu,,yu,E=0 G=1,2,…,s) (15-3 §15-2虚位移与自由度 1.虚位移( Virtual displacement) 由于约束的限制,非自由质点或质点系中的质点,其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移,但也容许质点沿另一些方向的位移。因此,我们定义: 质点或质点系在给定位置(或瞬时),为约束所容许的任何无限小位移,称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为 Or=Sxi+dyj+d=k (15-4) 式中,δx,y,z是虚位移在各直角坐标轴上的投影;而虚角位移用或O6表示 应注意,δ是变分( Variation)符号。δr表示函数r()的变分,变分表示函数自变量(时 间1)不变时,由函数本身形状在约束所许可的条件下微小改变而产生的无限小增量。除 了δt=0之外,变分运算与微分运算相类似
3 可能与时间、速度有关。因而，约束方程的一般形式可表示为 ( ) ( ) j s f x y z x y z x y z x y z t j n n n n n n 1, 2, , 1 , 1 , 1; ; , , ; 1, 1 , 1; ; , , ; 0 " " " = ′ ′ ′ ′ ′ ′ = （15-1） 式中，n 为质点系中质点的个数，s 为约束方程的个数。 约束方程中显含坐标对时间的导数，称为运动约束。如果运动约束能积分成有限形式， 则称这种约束为完整约束。例如约束方程（d），可以积分为 xC − Rϕ = 常数，故为完整约 束。约束方程中若不显含坐标对时间的导数，这种约束称为几何约束。几何约束也属完整 约束。几何约束方程的一般形式为 ( ) , , ; ; , , ; 0 f j x1 y1 z1 " xn yn zn t = （15-2） 综上所述，几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。实际上，对于可积分的运 动的约束，积分后方程中不再包含坐标的导数，此时的运动约束成为几何约束。因而，在 以后的讨论中，对几何约束与完整的约束不再区分。 一般情况下，含有坐标导数的方程不能积分成有限形式，则这种约束称为非完整约束。 非完整约束方程的一般形式为式（15-1）。因为非完整约束方程表现为微分形式，故又称 为不可积分约束。应理解为在任意约定的位形中，质点系各点速度应满足的条件。 一个质点系可以同时受到完整和非完整约束，只受完整约束的质点系称为完整系统， 只要质点受到非完整约束，则称为非完整系统。如果约束都是定常的，则称质点系为定常 系统。否则，称为非定常系统。 特别注意，本章只讨论双面、定常的几何约束。这种约束方程的一般形式为 f ( ) x y z x y z ( j s) j n n n , , ; ; , , 0 1, 2, , 1 1 1 " = = " （15-3） §15-2 虚位移与自由度 1．虚位移（Virtual displacement） 由于约束的限制，非自由质点或质点系中的质点，其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移，但也容许质点沿另一些方向的位移。因此，我们定义： 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为 δ r = δ x i +δ y j +δ z k （15-4） 式中，δ x ，δ y ，δ z 是虚位移在各直角坐标轴上的投影；而虚角位移用δϕ 或δθ 表示。 应注意，δ 是变分（Variation）符号。δ r 表示函数 r(t)的变分，变分表示函数自变量（时 间 t）不变时，由函数本身形状在约束所许可的条件下微小改变而产生的无限小增量。除 了δ t = 0 之外，变分运算与微分运算相类似
例如,限制在一个固定平面上的质点A,在平面上的任一个方向上的无限小位移都是 该质点的虚位移。又如图15-4(a)中的曲柄滑块机构,在θ角时处于平衡。但约束容许杆 OA绕O轴转动,我们可给杆OA以逆时针的虚转角a,杆OA转到OA位置,由于杆 AB的长度不变和滑道对滑块B的限制,杆AB只能处于A'B'位置。于是OA'B’表示曲柄 滑块机构的虚位移图。系统内的各质点都产生了虚位移,可见,质点系的虚位移是一组虚 位移,而且彼此并不独立。应注意,虚位移必须指明给定的位置(或瞬时),不同位置, 质点或质点系的虚位移并不相同:其次,虚位移必须为约束所容许,必须是无限小的。否 则就可能破坏原质点系的平衡位置,或者改变作用于质点系上主动力的方向。考虑到虚位 移的任意性,我们也可给杆OA以顺时针的虚转角6O,此时,曲柄滑块机构的虚位移图 为OA"B"(见图15-4(b) P 2 15-4 必须强调,虚位移纯粹是一个几何概念,所谓“虚”主要反映了这种位移的人为假设 性,并非真实的位移。众所周知,处于静止状态的质点系,根本就没有实位移。但我们可 以在系统的约束所容许的前提下,给定系统的任意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束 的性质及其限制条件,而不是虚无飘缈,也不可随心所欲地假设。 若质点系在某位置受主动力作用,使系统处于运动状态。这时系统的实位移,将取决 于作用于系统上的主动力以及所经历的时间,其位移可以是无限小的,也可以是有限值, 其方向是惟一的。而质点系在该位置时的虚位移与主动力和时间无关,虚位移只能是无限 小值,方向却可以不止一个。这就是虚位移与实位移的区别所在。但在定常约束条件下 质点系在某位置所发生的微小实位移必是其虚位移中的一个(或一组)。因为质点的虚位 移和其无限小实位移都受约束限制,是约束所容许的位移 2.自由度( Degree of freedom) 由于约束的限制,质点系内各质点的虚位移并不独立。那么,一个非自由质点系究竟 有多少个独立的虚位移?于是,把质点系独立的虚位移(或独立坐标变分)数目,称为质 点系的自由度。因为每个独立的虚位移反映了系统一个独立的虚位移形式,自由度数就反 映了系统独立的虚位移形式的数目。例如图15-4中的曲柄滑块机构,独立的虚位移可为 δθ,δθ一旦给定,系统的虚位移形式(虚位移图)就完全确定了,而且任一点的虚位 移都可以用δ表示。 具有定常几何约束的质点系,设质点系包括n个质点,受到s个约束,约束方程为式
4 例如，限制在一个固定平面上的质点 A，在平面上的任一个方向上的无限小位移都是 该质点的虚位移。又如图 15-4(a)中的曲柄滑块机构，在θ 角时处于平衡。但约束容许杆 OA 绕 O 轴转动，我们可给杆 OA 以逆时针的虚转角δθ ，杆 OA 转到OA′ 位置，由于杆 AB 的长度不变和滑道对滑块 B 的限制，杆 AB 只能处于 A′B′ 位置。于是OA′B′ 表示曲柄 滑块机构的虚位移图。系统内的各质点都产生了虚位移，可见，质点系的虚位移是一组虚 位移，而且彼此并不独立。应注意，虚位移必须指明给定的位置（或瞬时），不同位置， 质点或质点系的虚位移并不相同；其次，虚位移必须为约束所容许，必须是无限小的。否 则就可能破坏原质点系的平衡位置，或者改变作用于质点系上主动力的方向。考虑到虚位 移的任意性，我们也可给杆 OA 以顺时针的虚转角δθ ，此时，曲柄滑块机构的虚位移图 为OA′′B′′(见图 15-4(b))。 必须强调，虚位移纯粹是一个几何概念，所谓“虚”主要反映了这种位移的人为假设 性，并非真实的位移。众所周知，处于静止状态的质点系，根本就没有实位移。但我们可 以在系统的约束所容许的前提下，给定系统的任意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束 的性质及其限制条件，而不是虚无飘缈，也不可随心所欲地假设。 若质点系在某位置受主动力作用，使系统处于运动状态。这时系统的实位移，将取决 于作用于系统上的主动力以及所经历的时间，其位移可以是无限小的，也可以是有限值， 其方向是惟一的。而质点系在该位置时的虚位移与主动力和时间无关，虚位移只能是无限 小值，方向却可以不止一个。这就是虚位移与实位移的区别所在。但在定常约束条件下， 质点系在某位置所发生的微小实位移必是其虚位移中的一个（或一组）。因为质点的虚位 移和其无限小实位移都受约束限制，是约束所容许的位移。 2．自由度（Degree of freedom） 由于约束的限制，质点系内各质点的虚位移并不独立。那么，一个非自由质点系究竟 有多少个独立的虚位移？于是，把质点系独立的虚位移（或独立坐标变分）数目，称为质 点系的自由度。因为每个独立的虚位移反映了系统一个独立的虚位移形式，自由度数就反 映了系统独立的虚位移形式的数目。例如图 15-4 中的曲柄滑块机构，独立的虚位移可为 δ θ ，δ θ 一旦给定，系统的虚位移形式（虚位移图）就完全确定了，而且任一点的虚位 移都可以用δ θ 表示。 具有定常几何约束的质点系，设质点系包括 n 个质点，受到 s 个约束，约束方程为式 （a） （b） 图 15-4 θ δrA δrB B’ B Q δθ A O A’ P A δrB Q B’’ B A’’ δrA δθ θ O
(15-3),即 x,,y, x,,yu, Im)=0 G=1,2,…s) 对约束方程求一阶变分,则得 6x.+ af,. af ax -Syi a2i 6z|=0(=1,2,…,s) 式(15-5)表示,给质点系的虚位移时,质点系3n个质点的坐标变分应满足s个方程, 也就是说,只有3n-s个变分是独立的。它正好等于质点独立坐标的数目。因此,对于具 有定常几何约束的质点系,确定其几何位置的独立坐标的数目,亦称为质点系的自由度。 3.广义坐标( Generalized coordinates) 在许多实际问题中,采用直角坐标法确定系统的位形并不方便。如上所述,我们可取 3n-s个独立的参数便能完全确定系统的位形,这些定参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数,称为系统的广义坐标。对于定常的几何约束系统, 显然,广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 对于我们所讨论的定常的完整系统,如系统具有k=3n-s个自由度,广义坐标以 q,(=1,2,…,k)表示,则任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义 坐标的函数,即 1,q2 x,=x、(q1 y=y(gr qk (=12…,n) (15-7) 1=2(1,q2 4 图155表示一个在Oxy面内运动二级摆。这个质点系由两个质点组成,受到两个几 何约束,其约束方程为 (g) M1(x1,y2) (x2-x1)2+(v2-y1)2 oM2(x2,y2) 所以,该质点系的广义坐标数(或自由度数)为 k=2 图15-5 系统的位置用两个独立的参变量给定。按照约束方程(g)和(h),两个广义坐标可 以从x1和y中选一个,另一个在x2和y2中选取。也可以选取角仍1和2作为系统的广义 坐标,因为按照约束条件,仍和四2是相互独立的,且一旦给定了1和q2,则质点M和
5 （15-3），即 f (x y z x y z ) ( j s) j n n n , , ; ; , , 0 1, 2, , 1 1 1 " = = " 对约束方程求一阶变分，则得 z ( ) j s z f y y f x x f i i j i i j i i j n i 0 1, 2, , 1 ⎟ ⎟ = = " ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑= δ δ δ （15-5） 式（15-5）表示，给质点系的虚位移时，质点系 3n 个质点的坐标变分应满足 s 个方程， 也就是说，只有 3 n - s 个变分是独立的。它正好等于质点独立坐标的数目。因此，对于具 有定常几何约束的质点系，确定其几何位置的独立坐标的数目，亦称为质点系的自由度。 3．广义坐标（Generalized coordinates） 在许多实际问题中，采用直角坐标法确定系统的位形并不方便。如上所述，我们可取 3 n - s 个独立的参数便能完全确定系统的位形，这些定参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数，称为系统的广义坐标。对于定常的几何约束系统， 显然，广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 对于我们所讨论的定常的完整系统，如系统具有 k = 3 n - s 个自由度，广义坐标以 q ( ) i k i =1,2,", 表示，则任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义 坐标的函数，即 ( ) q q q (i n) i i k , , , 1,2, , r = r 1 2 " = " （15-6） ( ) ( ) ( ) ( ) i n z z q q q y y q q q x x q q q i i k i i k i i k 1,2, , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 " " " " = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = （15-7） 图 15-5 表示一个在 Oxy 面内运动二级摆。这个质点系由两个质点组成，受到两个几 何约束，其约束方程为 2 1 2 1 2 1 x + y = l （g） ( )( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 x − x + y − y = l （h） 所以，该质点系的广义坐标数（或自由度数）为 k = 2n − s = 2 系统的位置用两个独立的参变量给定。按照约束方程（g）和（h），两个广义坐标可 以从 x1 和 y1中选一个，另一个在 x2和 y2 中选取。也可以选取角ϕ1 和ϕ 2 作为系统的广义 坐标，因为按照约束条件，ϕ1 和ϕ 2 是相互独立的，且一旦给定了ϕ1 和ϕ 2 ，则质点 M1和 l2 l1 θ2 θ1 O x y M2(x2，y2) M1(x1，y2) 图 15-5