第二篇运动学 运动学研究物体运动的与运动产生原因无关的几何属性。对刚体而言,运动学是在给 定的惯性参考系中,研究刚体相对惯性参考的空间位置变化科学 第六章点的运动 本章对质点(一种特殊的刚体)在惯性参考系中的位置变化进行分析。并给出动点 动点的轨迹,动点的速度矢量,动点的加速度矢量等基本概念。并以不同的几种方试对上 述概念进行数学描述 §6-1矢量法 在地球惯性参考系(体)上任取一定点O。对空间中任意一点A,以O点为起始点 A点为末端点作有向值线段,OA且记 r=OA 则称r4为A点相对O点的位置矢量。若A点泛指空间中的一般点,r4也记为r 质点作为仅由孤立物质点构成的刚体,在宏观尺度上,质点在空间所占具的位置可由 与质点在空间重叠的几何点的位置矢量r唯一对应 、质点的运动方程和轨迹 质点在空间的位置随时间的不同而发生变化,质点在空间位置随时间的变化而导致变 化称为质点的运动。质点运动的数学表述称为质点的运动方程。 在地球惯性参考系(体)中取定O点时,在任意时刻t,质点的空间位置矢量唯一确 r() (6-1) 随r=r()中时刻t在其取值区间段的不同取值,质点将在空间占具不同的位置。参数t被称 为时间参数,或称为时间 对质点,在时间的取值区间[ab<或(a,b)、[ab)、(a,b}>位置矢量时间(参数)变 化的函数表达式(矢量表示) r=r(1) 称为质点在给定的时间取值区间内的运动方程。在一般的运动学分析中,质点运动方程中 的时间参数取值区间总被认为是任意给定了的。因此通常就称r=r()是质点的运动方程
1 第二篇 运动学 运动学研究物体运动的与运动产生原因无关的几何属性。对刚体而言，运动学是在给 定的惯性参考系中，研究刚体相对惯性参考的空间位置变化科学。 第六章 点的运动 本章对质点（一种特殊的刚体）在惯性参考系中的位置变化进行分析。并给出动点， 动点的轨迹，动点的速度矢量，动点的加速度矢量等基本概念。并以不同的几种方试对上 述概念进行数学描述。 §6-1 矢量法 在地球惯性参考系（体）上任取一定点 O。对空间中任意一点 A，以 O 点为起始点， A 点为末端点作有向值线段，OA且记 rA = OA 则称 rA为 A 点相对 O 点的位置矢量。若 A 点泛指空间中的一般点，rA 也记为 r。 质点作为仅由孤立物质点构成的刚体，在宏观尺度上，质点在空间所占具的位置可由 与质点在空间重叠的几何点的位置矢量 r 唯一对应。 一、质点的运动方程和轨迹 质点在空间的位置随时间的不同而发生变化，质点在空间位置随时间的变化而导致变 化称为质点的运动。质点运动的数学表述称为质点的运动方程。 在地球惯性参考系（体）中取定 O 点时，在任意时刻 t，质点的空间位置矢量唯一确 定。即 r = r(t) （6-1） 随 r=r(t)中时刻 t 在其取值区间段的不同取值，质点将在空间占具不同的位置。参数 t 被称 为时间参数，或称为时间。 对质点，在时间的取值区间[a,b]<<或（a,b）、[a,b)、(a,b]>>位置矢量时间（参数）变 化的函数表达式（矢量表示） r = r(t) 称为质点在给定的时间取值区间内的运动方程。在一般的运动学分析中，质点运动方程中 的时间参数取值区间总被认为是任意给定了的。因此通常就称 r = r(t) 是质点的运动方程
当质点的运动方程r=r()一但给定,位置矢量在时间参数的取值区间的每一个时间 参数取值所确定的位置矢量末端点集合称为质点的运动轨迹。质点的运动轨迹在三维空间 中的几何表示为一条空间曲线。且该曲线就是位置矢量r=r(1)末端点在时间参数的取值 区间的每一个时间参数取值的三维空间矢端曲线。 质点的运动方程r=r();质点的运动轨迹;矢量运动 方程的矢端曲线分别描述了质点空间的位置变化、质点在空 间可能占具的位置、质点运动轨迹的几何表示。如图6-1所 示质点在oxy面内的运动。图6-1中M为在oxy面内运动的 质点,或称为动点M 动点M的运动方程: r=r()=x(1)i+y(1)j t∈[t1,t2 动点M的运动轨迹: 图6 (xy)x=x(,y=y(O)1≤1≤2} 动点M的矢端曲线: Oxy平面内的AB曲线段 般情况下,运动轨迹所满足的方程称 为轨迹方程。而运动方程rr(1)的矢端曲线 习惯上称为运动轨迹曲线,或称为运动轨 迹 、运动质点的速度矢量(v) 对于运动的质点M,当其运动已知时, 运动轨迹 r=r() 考虑在t和t+△(t∈[1,2)时间间隔内r=z r(1)的变化率。如图6-2所示。 r(t+△)-r(1) 图 定义平均速度矢量 (6-2) y*是在t时刻到t+△t时刻运动质点每单位时间内r(t+△t)与r(t两矢量差。值得注意
2 当质点的运动方程 r = r(t) 一但给定，位置矢量在时间参数的取值区间的每一个时间 参数取值所确定的位置矢量末端点集合称为质点的运动轨迹。质点的运动轨迹在三维空间 中的几何表示为一条空间曲线。且该曲线就是位置矢量 r = r(t) 末端点在时间参数的取值 区间的每一个时间参数取值的三维空间矢端曲线。 质点的运动方程 r = r(t) ；质点的运动轨迹；矢量运动 方程的矢端曲线分别描述了质点空间的位置变化、质点在空 间可能占具的位置、质点运动轨迹的几何表示。如图 6-1 所 示质点在 oxy 面内的运动。图 6-1 中 M 为在 oxy 面内运动的 质点，或称为动点 M。 动点 M 的运动方程： ⎩ ⎨ ⎧ ∈ = = + [ , ] ( ) ( ) ( ) 1 2 t t t r r t x t i y t j 动点 M 的运动轨迹： 图 6-1 { } 1 2 (x, y) x = x(t), y = y(t);t ≤ t ≤ t 动点 M 的矢端曲线： oxy 平面内的 AB 曲线段 一般情况下，运动轨迹所满足的方程称 为轨迹方程。而运动方程 r=r(t)的矢端曲线 习惯上称为运动轨迹曲线，或称为运动轨 迹。 二、运动质点的速度矢量（v） 对于运动的质点 M，当其运动已知时， 即给定： r = r(t) 考虑在t 和 ( [ , ]) 1 2 t + Δt t ∈ t t 时间间隔内r = r(t)的变化率。如图 6-2 所示。 t t t t t Δ Δ = Δ r( + Δ ) − r( ) r 图 6-2 定义平均速度矢量： Δt Δ = r v* （6-2） v*是在 t 时刻到 t + Δt 时刻运动质点每单位时间内 r ( t +Δt ) 与 r (t)两矢量差。值得注意 运动轨迹 △
的是在t和t+△t的时间隔内p的方向保持不变 由平均速度矢量ν可定义一动点在时刻t的速度v 定义:质点在其运动时刻t的速度矢量ν为极限 v= lim r(+△)-r(=limv* (6-3a) 或将运动质点在t时刻的速度矢量记为 dr(1) d 即运动质点在t时刻的速度矢量v定义为质点运动方程r=r()对时间参数t的一阶导数。 质点速度矢量ν在运动轨迹上的几何意。如图6-3所示在球面曲线AB上运动的质点, 其运动方程为 r=r(1) 在什t时刻,r(t*)确定o’点。由(6-3a)可求得 vo=OC; O 将OD矢量平行移动到OE。则OC和OE矢量构成一平面。显然速度矢量v在OC和OE 矢量构成的平面内。且随t的不同取值,OC和OE矢量构成的平面也将变化。但无论t 怎样取值,v速度矢量总在OC和OE矢量构成的平面内。由此定义当障*→0时的OC和 OE矢量构成的平面为密切面。且v沿运动轨迹上r=r(t)未端点的密切面内的切线方向 密切面是过同一点的不同曲线所具有的几何性质。过同一点的两条曲线在这一点的密 切面是可以不同的。密切面不是空间一点所具有的性质,而是曲线所具有的性质。如图6-3 中过O点的另一质点的运动轨迹ab(虚线)曲线。在t时刻,在ab曲线上运动的质点 的运动方程r=r(t+1)确定O点。由(6-3a)可求得 显然当1*→0时,Od与v构成在ab曲线上运动的质点的t时刻速度矢量v所在的密切 面。且AB曲线和ab曲线在O点的密切面一般不是同一个平面 速度矢量v=f(1)的大小记为v=√p;"=√r(1)r(1)。则 (6-4) 式中ν是在r点的ν矢量指定的一个正方向的矢量
3 的是在 t 和 t+Δt 的时间隔内 v*的方向保持不变。 由平均速度矢量 v * 可定义一动点在时刻 t 的速度 v。 定义：质点在其运动时刻 t 的速度矢量 v 为极限 lim * ( ) ( ) lim 0 0 v r r v Δ → Δ → = Δ + Δ − = t t t t t t （6-3a） 或将运动质点在 t 时刻的速度矢量记为 r r v = = dt d (t) （6-3b） 即运动质点在 t 时刻的速度矢量 v 定义为质点运动方程 r=r(t)对时间参数 t 的一阶导数。 质点速度矢量 v 在运动轨迹上的几何意。如图 6-3 所示在球面曲线 AB 上运动的质点， 其运动方程为 r = r(t) 在 t+t*时刻，r=r(t+t*)确定o′ 点。由（6-3a）可求得 vO = OC ； vO′ = O′D 将O′D 矢量平行移动到OE 。则OC 和OE 矢量构成一平面。显然速度矢量 vo 在OC 和OE 矢量构成的平面内。且随 t * 的不同取值，OC 和OE 矢量构成的平面也将变化。但无论 t * 怎样取值，v0 速度矢量总在OC 和OE 矢量构成的平面内。由此定义当t* → 0 时的OC 和 OE 矢量构成的平面为密切面。且 vo 沿运动轨迹上 r=r(t)未端点的密切面内的切线方向。 密切面是过同一点的不同曲线所具有的几何性质。过同一点的两条曲线在这一点的密 切面是可以不同的。密切面不是空间一点所具有的性质，而是曲线所具有的性质。如图 6-3 中过 O 点的另一质点的运动轨迹 ab（虚线）曲线。在 t+t*时刻，在 ab 曲线上运动的质点 的运动方程 r = r(t + t*)确定O 点。由（6-3a）可求得 v r = o ；vo = Od 显然当t* → 0 时，Od 与 o v 构成在 ab 曲线上运动的质点的 t 时刻速度矢量 0 v 所在的密切 面。且 AB 曲线和 ab 曲线在 O 点的密切面一般不是同一个平面。 速度矢量v = r(t) 的大小记为| v |= v ⋅ v = r(t)⋅r(t) 。则 0 | | v v v v = v ⋅ = ⋅ + v （6-4） 式中 v+是在 r 点的 v 矢量指定的一个正方向的矢量
由r=n(n)运动方程所确定的速度矢量v是: ①矢量形式的运动方程的时间变化率; ②速度v的大小为|v=√p: V(ta) ③速度v在w上的投影为p=v·w ④速度v的量纲(单位)为v的量 纲(单位),即[米]秒](或记为m/) (t) 例61如图所示在圆弧上运动 的质点M若圆的半径为R:小球的速度 =r(t)矢端曲线 矢量v的大小|vsin(W为一常数) 1.试确定M质点的运动方程。 2.给出质点的运动方程矢端曲线 =v(t)矢端曲线 3.给出质点的速度矢量端曲线 图6-4 r(1)=(Rc0s0) +(rsin g t) (0°≤qt<90°) OB r(O=-(Rcos(150-1)-+(Rsin n) (90°≤qt<150°) R R OA (Rcos1)+(Rsin R M质点的运动方程(矢量)为 r(=ACos o t+OBsin t (0°≤qt<1509) 质点的运动轨迹为图中AB圆弧 3. v=r((=-OA sin t+OB cos o I v2=(O4|q)2+(OB|)2=R2q2=i 规定由A到B为正方向。则 v=Ro=v 速度矢曲线如图6-4所示
4 由 r=r(t)运动方程所确定的速度矢量 v 是： ① 矢量形式的运动方程的时间变化率； ② 速度 v 的大小为| v |= v ⋅ v ； ③ 速度 v 在 v0上的投影为 v=v·v0； ④ 速度 v 的量纲（单位）为 v 的量 纲（单位），即[米]/[秒]（或记为 m/s）。 例 6-1 如图所示在 12 5 圆弧上运动 的质点 M。若圆的半径为 R；小球的速度 矢量 v 的大小| v |= v sinϕt(v 为一常数)。 1．试确定 M 质点的运动方程。 2．给出质点的运动方程矢端曲线。 3．给出质点的速度矢量端曲线。 解： 1. 图 6-4 R OB R t R OA r(t) = (Rcosϕ t) + ( sinϕ ) ； (0° ≤ ϕ t < 90°) R OB R t R OA r(t) = −(Rcos(150° −ϕ t)) + ( sinϕ ) ； (90° ≤ ϕ t < 150°) R OB R t R OA = (Rcosϕ t) + ( sinϕ ) ∴ M 质点的运动方程（矢量）为 r(t) = OAcosϕ t + OBsinϕ t ； (0° ≤ ϕ t < 150°) 2．质点的运动轨迹为图中 AB 圆弧。 3．v = r(t) = −OA ϕ sinϕ t + OB ϕ cosϕ t 2 2 2 2 2 2 | v | = (| OA |ϕ) + (| OB |ϕ) = R ϕ = v 规定由 A 到 B 为正方向。则 v = Rϕ = v 速度矢 曲线如图 6-4 所示。 矢端曲线 轨迹 矢端曲线
三、运动质点的加速度矢量(a) 对运动质点的运动方程的矢量表达式r=r(1)求一阶时间变化率得质点在t时刻的速度 矢量v=ν()。对速度矢量,在t和+△t时刻的速度矢量分别为v()和v(计+△D)。作t和 +△t两时刻的速度矢量差,也可以求得△t时间间隔内的平均速度变化率: (+△)-v(1)△v(t) a*称为t和H△t时间间隔内的平均加速度。由平均加速度同样可以定义运动质点在t时刻 的加速度。 定义:质点在其运动时刻t的加速度矢量a为极限 lim v(l+ At)-v(1=lima* (6-6a) 或将运动质t时刻的加速度矢量记为 r() (6-6b) dt 即运动质点在t时刻的加速度矢量a定义为质点运动方程rr()对时间参数的二阶导数;或 是运动质点的速度矢量v=w1)对时间参数t的一阶导数 质点加速矢量a的几何意义如图6-5所示。将在运动轨迹上每点的质点运动速度矢量 v(D)作为自由矢量。按平行性,将w)的起始点平行移o点。速度矢量w)的未端点构成 矢量η(t)矢端曲线<<不是运动轨迹。运动轨迹是矢量r=(o)的矢端曲线。但一般矢量的矢端 曲线不是运动轨迹>>。为了更为直观,以质点的平面运动为例,如图6-5所示。显然加速 度矢量a是速度矢量u的矢端曲线上对应的t时刻密切面内的切线上的矢量。但必须胆确 的是加速度矢量a()是在t时刻的运动轨迹上对应点处的加速度矢量 运动轨迹 运动轨迹 r=r(t)矢端曲线 v(t. a(t3) 图65 对加速度矢量a=li(t)=f()同样可以定义其大小a和a。即 a|=√a·a=√v(t)v)=vF(t),r(t)
5 三、运动质点的加速度矢量（a） 对运动质点的运动方程的矢量表达式 r = r (t)求一阶时间变化率得质点在 t 时刻的速度 矢量 v = v (t)。对速度矢量，在 t 和 t+Δt 时刻的速度矢量分别为 v (t) 和 v (t+Δt)。作 t 和 t+Δt 两时刻的速度矢量差，也可以求得Δt 时间间隔内的平均速度变化率： t t t t t t Δ Δ = Δ + Δ − = ( ) ( ) ( ) * v v v a （6-5） a*称为 t 和 t+Δt 时间间隔内的平均加速度。由平均加速度同样可以定义运动质点在 t 时刻 的加速度。 定义：质点在其运动时刻 t 的加速度矢量 a 为极限 lim * t (t t ) (t ) lim t t a v v a Δ →0 Δ →0 = Δ + Δ − = （6-6a） 或将运动质 t 时刻的加速度矢量记为 ( ) ( ) 2 2 t dt d t dt d r r v v a = = = = （6-6b） 即运动质点在 t 时刻的加速度矢量 a 定义为质点运动方程 r=r(t)对时间参数的二阶导数；或 是运动质点的速度矢量 v = v(t)对时间参数 t 的一阶导数。 质点加速矢量 a 的几何意义如图 6-5 所示。将在运动轨迹上每点的质点运动速度矢量 v(t)作为自由矢量。按平行性，将 v(t)的起始点平行移 o 点。速度矢量 v(t)的未端点构成一 矢量 v(t)矢端曲线<<不是运动轨迹。运动轨迹是矢量 r=r(t)的矢端曲线。但一般矢量的矢端 曲线不是运动轨迹>>。为了更为直观，以质点的平面运动为例，如图 6-5 所示。显然加速 度矢量 a 是速度矢量 u 的矢端曲线上对应的 t 时刻密切面内的切线上的矢量。但必须胆确 的是加速度矢量 a(t)是在 t 时刻的运动轨迹上对应点处的加速度矢量。 速度矢端曲线 运动轨迹 运动轨迹 矢端曲线 图 6-5 对加速度矢量a = u(t) = r(t) 同样可以定义其大小|a|和 a。即 | a |= a ⋅ a = v(t)⋅ v(t) = r(t)⋅ r(t)