式中M=∑M为平动刚体的质量。可见,平动刚体的动能,等于刚体的质量与质心速度平方的 乘积之半 (2)定轴转动刚体的动能设刚体以角速度o绕z轴转动如图13-7所示。刚体内任一点M 的质量为m2,速度为v;,转动半径为r,则v2=rO。 r=∑my2=∑m(o)2=o2∑mr2 由于=∑m2,是刚体对:轴的转动惯量,故定轴转动刚体的动能为 (13-19) 即,定轴转动刚体的动能,等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积图137 (3)平面运动刚体的动能取刚体质心C所在的平面图形如图13-8所示。设图所示中的 点P是某瞬时的速度瞬心,@是平面图形转动的角速度,于是作平面运动的刚体动能为 ∑,m2=m(ro)=o∑m 注意到,J=∑m2是刚体对于瞬心轴( Instantaneous axis of tation)的转动惯量,于是 图13-8 根据计算转动惯量的平行轴定理有Jp=Jc+Md2,式中M为刚体的质量,d=PC,J为 对于质心的转动惯量。代入式(13-20)中,得 T=C+Md2)o2=1Jc02+im(od) 于是得 T=Mv2 (13-21) 即:作平面运动的刚体的动能,等于随质心平动 的动能与绕质心转动的动能的和。 例13-3图13-9所示坦克履带单位长度的 质量为m,两轮的质量均为m1,可视为均质圆 盘,半径为r,两轮轴间距离为b,当坦克以速 度ν沿直线行驶时,试求此系统的动能 解此系统的动能等于系统内各部分动能 之和。两轮及其上履带部分作平面运动,其瞬心 图13-9
6 式中 M = ∑ Mi 为平动刚体的质量。可见，平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方的 乘积之半。 （2）定轴转动刚体的动能 设刚体以角速度ω 绕 z 轴转动如图 13-7 所示。刚体内任一点 M i 的质量为 mi ，速度为 i v ，转动半径为 ir ，则vi = riω 。 ( )2 11 1 2 22 22 2 T mv m r mr == = ∑∑ ∑ i i i i ii ω ω 由于 2 z ii J mr = ∑ ，是刚体对 z 轴的转动惯量，故定轴转动刚体的动能为 2 2 1 T = J zω （13-19） 即，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积 之半。 （3）平面运动刚体的动能 取刚体质心 C 所在的平面图形如图 13-8 所示。设图所示中的 点 P 是某瞬时的速度瞬心，ω 是平面图形转动的角速度，于是作平面运动的刚体动能为 ( )2 11 1 2 22 22 2 T mv m r mr == = ∑∑ ∑ i i i i ii ω ω 注意到， 2 P i i J mr = ∑ 是刚体对于瞬心轴（Instantaneous axis of rotation）的转动惯量，于是 2 2 1 T = J Pω （13-20） 根据计算转动惯量的平行轴定理有 2 J J Md P = C + ，式中 M 为刚体的质量，d = PC ， C J 为 对于质心的转动惯量。代入式（13-20）中，得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 T J M d J M d = C + ω = C ω + ω 因 C ω d = v ，于是得 2 2 2 1 2 1 T = MvC + J C ω （13-21） 即：作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动 的动能与绕质心转动的动能的和。 例 13-3 图 13-9 所示坦克履带单位长度的 质量为 m，两轮的质量均为 m1 ，可视为均质圆 盘，半径为 r ，两轮轴间距离为 l，当坦克以速 度 v 沿直线行驶时，试求此系统的动能。 解 此系统的动能等于系统内各部分动能 之和。两轮及其上履带部分作平面运动，其瞬心 z mi vi r 图 13-7 ω vC vi ω ri d mi C P 图 13-8 l y’ x’ O1 O2 D E C B v A r r 图 13-9
分别为D、E,可知轮的角速度o=",履带AB部分作平动,平动速度为2,履带DE部分速度 为零 (1)轮的动能 T=T (2)履带AB部分动能 (2)2 (3)两轮上履带(合并为一均质圆环)动能 =2丌rn 所以,此系统的动能为 T=2T+Tp +t+Trn =2 my =,m1+2(+xr加m §13-3动能定理 动能定理建立了质点或质点系的动能变化与其上作用力的功之间的关系。我们依据牛顿第二 定律导出动能定理 1.质点的动能定理( Theorems of kinetic energy of a particle) 设质量m的质点在M在力F作用下作曲线运动,在任意位置M处(见图13-10),根据牛顿 第二定律 两边同时乘以元位移dr=vdt得 F·dr 注意到 mv.dv=3m. d(v v)=dmv 图13-10 可得 式(13-22)称为质点动能定理的微分形式。它表明质点动能的微分等于作用质点上的力的元功
7 分别为 D、E，可知轮的角速度 r v ω = ，履带 AB 部分作平动，平动速度为 2v，履带 DE 部分速度 为零。 （1）轮的动能 ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 4 3 / 2 2 1 2 1 m v r v T T J m r m r ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ω = + （2）履带 AB 部分动能 ( )2 2 2 4 2 2 1 2 2 1 T m v ml v ml v AB = AB = = （3）两轮上履带（合并为一均质圆环）动能 ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 r mv r v T J r m r r m r Dω π π ⎟ = π ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ + ⋅ 所以，此系统的动能为 ( ) 2 1 2 2 2 1 3 1 2 2 3 2 2 0 4 3 2 2 m l r m v T T T T T m v mlv rmv AB ED ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + = + + + = × + + + π π §13-3 动能定理 动能定理建立了质点或质点系的动能变化与其上作用力的功之间的关系。我们依据牛顿第二 定律导出动能定理。 1．质点的动能定理（Theorems of kinetic energy of a particle） 设质量 m 的质点在 M 在力 F 作用下作曲线运动，在任意位置 M 处（见图 13-10），根据牛顿 第二定律 d d m t v ⋅ = F 两边同时乘以元位移d d r v = ⋅ t 得 mvvFr ⋅ =⋅ d d 注意到 ( ) 1 1 2 d dd 2 2 m m mv v v vv ⎛ ⎞ ⋅ = ⋅ ⋅= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可得 1 2 d d 2 mv W ⎛ ⎞ = ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （13-22） 式（13-22）称为质点动能定理的微分形式。它表明质点动能的微分等于作用质点上的力的元功。 v2 v v1 F M M2 M1 图 13-10