第三章力偶理论 在第二章中对刚体上作用的力系为汇交(包括共点)力系的合成与平衡进行了 分析,并用几何法和解析法分别给出了由F1、…、Fn表示的主矢(或合力)及平衡 条件。刚体上作用力系构成汇交(共点)力系是刚体静力学问题的一种基本情况 除这种情况外,当刚体上作用二个F1、F2力,且F1、F2大小相等、方向相反,作 用线平行(但不共线),此时作用在刚体上的F1、F2构成静力学基本问题的另一种 基本情况。即刚体受力偶作用的问题 §3-1力偶的基本概念 如图3-1所示,刚体上作用F、F'两个大小 相等、方向相反、作用线平行(但不共线)的力。 由二力平衡公理可知<<刚体上作用二个力,刚体 平衡的必要充分条件为:作用在刚体上的两个力 大小相等、方向相反、作用线在同一直线上。> 此时刚体未处于平衡状态。即刚体在一对大小相 等、方向相反、作用线平行(但不共线)的F、F′ 力作用处于运动状态。且称作用在刚体上的一对 F、F'构成的特殊力系为力偶 图3-1 力偶:一对大小相等、作用方向相反、作用线平行(但不共线)的力F、F所 构成的力系称为力偶,记为(F、F') 当刚体上作用一力偶(实际上是一个特殊的力系)时,由二力平衡公理可知其
1 第三章 力偶理论 在第二章中对刚体上作用的力系为汇交（包括共点）力系的合成与平衡进行了 分析，并用几何法和解析法分别给出了由 F1、…、Fn 表示的主矢（或合力）及平衡 条件。刚体上作用力系构成汇交（共点）力系是刚体静力学问题的一种基本情况。 除这种情况外，当刚体上作用二个 F1、F2 力，且 F1、F2 大小相等、方向相反，作 用线平行（但不共线），此时作用在刚体上的 F1、F2 构成静力学基本问题的另一种 基本情况。即刚体受力偶作用的问题。 §3-1 力偶的基本概念 如图 3-1 所示，刚体上作用 F、 F′两个大小 相等、方向相反、作用线平行（但不共线）的力。 由二力平衡公理可知<<刚体上作用二个力，刚体 平衡的必要充分条件为：作用在刚体上的两个力 大小相等、方向相反、作用线在同一直线上。>> 此时刚体未处于平衡状态。即刚体在一对大小相 等、方向相反、作用线平行（但不共线）的 F、F′ 力作用处于运动状态。且称作用在刚体上的一对 F、 F′构成的特殊力系为力偶。 图 3-1 力偶：一对大小相等、作用方向相反、作用线平行（但不共线）的力 F、F′所 构成的力系称为力偶，记为（F、 F′）。 当刚体上作用一力偶（实际上是一个特殊的力系）时，由二力平衡公理可知其 F F
处于运动状态。并称这种运动状态为刚体的转动状态。所谓刚体的转动状态,实质 上就是力偶对钢体作用时刚体的力学效应,或称为转动效应。 应当特别注意的是转动效应(或转动状态)与定轴转动不能完全等同。或者说, 在力偶作用下的刚体处于转动状态,但刚体上作用力偶并不唯一地给出(定轴)转 。只有当刚体在力偶的作用下,且刚体上的两点的位移被约束为相对惯性参考系 (体)静止时,刚体的转动状态被称为绕以被约束的两点所在直线(该直线上的所 有点同样被约束为相对惯性参系静止)为轴的定轴转动。 设刚体上作用力偶(F、F')。将F、F'作为不限制作用点的自由矢量,由自 由矢量的加法运算可得 R=F+F=F+(F) =-F+F=0 该式表明力偶(F、F)的主矢为零矢量。显然,当刚体上作用的力系的主矢为零 矢量时刚体并不一定处于平衡状态。同时力偶的主矢为零矢量还表明力偶不可能与 不为零的力对刚体的力学效应等效。因为如果力偶(F、F')与不为零的F等效 (力学效应相同),则用F代替力偶(F、F'),刚体的力学效应应该完全相同。(F F')与F的主矢不相等,这与力学效应相同相予盾。因此力偶不能与不为零的力 等效。力偶当然也不能与一个为零的力相等效。因为刚体在为零的力作用下处于平 衡状态。而在力偶不能与一个力(无论是为零的力,还是不为零的力)相等效。因 此力偶是力学问题分析中的一个基本量 力偶(F、F")的性质: (1)力偶(F、F)中F、F'的作用线所确定的平面称为力偶作用面。 (2)力偶(F、F')中F、F'的作用线之间的距离称为力偶臂。力偶臂通常用 字母d表示
2 处于运动状态。并称这种运动状态为刚体的转动状态。所谓刚体的转动状态，实质 上就是力偶对钢体作用时刚体的力学效应，或称为转动效应。 应当特别注意的是转动效应（或转动状态）与定轴转动不能完全等同。或者说， 在力偶作用下的刚体处于转动状态，但刚体上作用力偶并不唯一地给出（定轴）转 动。只有当刚体在力偶的作用下，且刚体上的两点的位移被约束为相对惯性参考系 （体）静止时，刚体的转动状态被称为绕以被约束的两点所在直线（该直线上的所 有点同样被约束为相对惯性参系静止）为轴的定轴转动。 设刚体上作用力偶（F、 F′）。将 F、 F′作为不限制作用点的自由矢量，由自 由矢量的加法运算可得 0 ( ) = − ′ + ′ = = + ′ = + − F F R F F F F 该式表明力偶（F、 F′）的主矢为零矢量。显然，当刚体上作用的力系的主矢为零 矢量时刚体并不一定处于平衡状态。同时力偶的主矢为零矢量还表明力偶不可能与 一不为零的力对刚体的力学效应等效。因为如果力偶（F、F′）与不为零的 F 等效 （力学效应相同），则用 F 代替力偶（F、F′），刚体的力学效应应该完全相同。（F、 F′）与 F 的主矢不相等，这与力学效应相同相予盾。因此力偶不能与不为零的力 等效。力偶当然也不能与一个为零的力相等效。因为刚体在为零的力作用下处于平 衡状态。而在力偶不能与一个力（无论是为零的力，还是不为零的力）相等效。因 此力偶是力学问题分析中的一个基本量。 力偶（F、 F′）的性质： （1）力偶（F、 F′）中 F、 F′的作用线所确定的平面称为力偶作用面。 （2）力偶（F、F′）中 F、F′的作用线之间的距离称为力偶臂。力偶臂通常用 字母 d 表示
(3)对力偶(F、F')定义: M=Fd|=±Fa (3-1) 式中M称为力偶(F、F)的力偶矩。M表示力偶(F、F)对刚体产生的转动 效应的强弱;而M的符号表示转动的转向。通常对观察者,或对给定的坐标系,当 力偶(F、F")使刚体作逆时针转动时, 力偶矩为正;反之为负。 <<注:(3-1)式给出的是在力偶作用平 面内的力偶矩定义。如图所示坐标系中, (3-1)给出的是力偶作用面为xoy面时 的力偶矩定义。对于空间一般情况下(力 (a) 偶作用面为图3-2(a)中ABC面的情况), 力偶矩的定义是由 F+r×F (b) 所定义的。如图3-2(b)所示。 F F=(r×aa)×F=( 图3- M=r×F+rxF=×F+r'×(-F) (r+d)×F-r'xF=d×F d是F、F'作用线上与F、F'垂直的直线的交点所确定的矢量,d是常矢量,d的 模就是F、F'两作用线的距离。因此 M=dxF=dFn (i) n是F、F'按右手法则确定的方向上单位矢量。即ABC面的单位外法线方向。显然 由(i)式定义的力偶矩是一个矢量。力偶矩矢量M的大小M=M=Fd。若ABC面就
3 （3）对力偶（F、 F′）定义： M =| Fd |= ±F′d （3-1） 式中 M 称为力偶（F、 F′）的力偶矩。|M|表示力偶（F、 F′）对刚体产生的转动 效应的强弱；而 M 的符号表示转动的转向。通常对观察者，或对给定的坐标系，当 力偶（F、F′）使刚体作逆时针转动时， 力偶矩为正；反之为负。 <<注：（3-1）式给出的是在力偶作用平 面内的力偶矩定义。如图所示坐标系中， （3-1）给出的是力偶作用面为 xoy 面时 的力偶矩定义。对于空间一般情况下（力 偶作用面为图3-2（a）中ABC面的情况）， 力偶矩的定义是由 M = r × F + r′× F′ 所定义的。如图 3-2（b）所示。 F r F F r×F = ( r × )× F = ( r × aa )× = × F aa 图 3-2 ∴ r d F r F d F M r F r F r F r F = ′ + × − ′× = × = × + ′× = × + ′× − ( ) ( ) d 是 F、 F′作用线上与 F、 F′垂直的直线的交点所确定的矢量，d 是常矢量，d 的 模就是 F、 F′两作用线的距离。因此 M = d × F = dFn （i） n 是 F、F′按右手法则确定的方向上单位矢量。即 ABC 面的单位外法线方向。显然 由（i）式定义的力偶矩是一个矢量。力偶矩矢量 M 的大小|M|=M=Fd。若 ABC 面就 a a (b) F r r O r' r r' r y B x A C z F F ' d (a) O
是xoy面,则xoy面内的力偶(F、F')的力偶矩为 M=Fk或M=-Fk M·k=±Fd 该式即(3-1)式M的定义。> 4)力偶矩的单位为牛顿·米(N·m),或千牛顿·米(kN·m)。 §3-2平面力偶理论 若作用在刚体上的力偶系(若干个力偶的集合)的力偶作用平面都是同一平面。 则称刚体上作用的力偶系为平面力偶系。对平面力偶系,若不说明,其力偶作用平 面取为xoy坐标面 平面二力偶平衡公理 当刚体上作用两个同平面的平面力偶(F、F”),(F2、F2)时,刚体处于无 转动状态的充分必要条件是两力矩的力偶矩大小相等、转向相反。即 1=-M2 平面力偶的等效条件为:两力偶的力偶矩大小相等,转向相同。即 M1=M2 (3-3) 证明 如图3-3所示为 作用在同一刚体上两 种情况的力偶(F F),(F2、F2)。在 刚体上作用图3-3(a)
4 是 xoy 面，则 xoy 面内的力偶（F、 F′）的力偶矩为 M = Fdk 或 M = -Fdk M·k = ±Fd 该式即（3-1）式 M 的定义。>> 4）力偶矩的单位为牛顿·米（N·m），或千牛顿·米（kN·m）。 §3-2 平面力偶理论 若作用在刚体上的力偶系（若干个力偶的集合）的力偶作用平面都是同一平面。 则称刚体上作用的力偶系为平面力偶系。对平面力偶系，若不说明，其力偶作用平 面取为 xoy 坐标面。 平面二力偶平衡公理： 当刚体上作用两个同平面的平面力偶（F、 F′），（F2、 F2 ′）时，刚体处于无 转动状态的充分必要条件是两力矩的力偶矩大小相等、转向相反。即 M1 = -M2 （3-2） 平面力偶的等效条件为：两力偶的力偶矩大小相等，转向相同。即 M1 = M2 （3-3） 证明： 如图 3-3 所示为 作用在同一刚体上两 种情况的力偶（F、 F′），（F2、F2 ′）。在 刚体上作用图 3-3（a） 2 2 d2 1 1 (a) (b) F F ' d1 F ' F
力偶的情况下 在F2作用线上 选定刚体上 点A。按加减平 衡力系公理,加 上一对平衡力 F2、F2;在F2 作用线上选定刚 图3-3 体上一点B。按加减平衡力系公理,加上一对平衡力F、F2。如图3-3(c)所示。 刚体上现在作用有三个力偶(F1、F1),(F2、F2),(F、F2)。且其对应的力偶 矩分别为 M,= Fidi: M,=Frd: M3=-F2d MI=M=-M3 显然按平面力偶平衡公理,(F1、F1)和(F2、F2)构成一对平衡力偶。在由加减 平衡力系公理,在刚体中减去由F1、F'、F2、F2力系构成的平衡力系。最后得 到了(b)图所示的情况。在以下在整个过程中使用了加减平衡力系公理,并未改变 刚体的力学效应。因此(a)、(b)两种情况力学效应等效。即作用在刚体上的力偶 (F1、F')可用(F2、F2)力偶等效,只要两力偶的力偶相等。 平面力偶系的合成: 刚体上作用的n个力偶(F1、F1),…,(F、F)对刚体的作用效应与力偶
5 力偶的情况下， 在 F2 作用线上 选定刚体上一 点 A。按加减平 衡力系公理，加 上一对平衡力 F2、F2 ；在 F2 ′ 作用线上选定刚 图 3-3 体上一点 B。按加减平衡力系公理，加上一对平衡力 F2 ′、F2 。如图 3-3（c）所示。 刚体上现在作用有三个力偶（F1、F1 ′），（F2、F2 ′），（ F2 、F2 ′）。且其对应的力偶 矩分别为： M1 = F1d1 ；M2 = F2d2 ；M3 = -F2d2 ； ∵ M1 = M2 = -M3 显然按平面力偶平衡公理，（F1、F1 ′）和（F2、F2 ′）构成一对平衡力偶。在由加减 平衡力系公理，在刚体中减去由 F1、 F1 ′、 F2 、 F2 ′力系构成的平衡力系。最后得 到了（b）图所示的情况。在以下在整个过程中使用了加减平衡力系公理，并未改变 刚体的力学效应。因此（a）、（b）两种情况力学效应等效。即作用在刚体上的力偶 （F1、 F1 ′）可用（F2、 F2 ′）力偶等效，只要两力偶的力偶相等。 平面力偶系的合成： 刚体上作用的 n 个力偶（F1、 F1 ′），…，（Fn、 Fn ′）对刚体的作用效应与力偶 F2 F2 ' B A F ' F d2 2 2 F F ' d1 1 1 (c)