(2)(A-1)-1=A (3)若A可逆,4≠0为常数,则 (2A)11
(2) ( A－1 )－1 = A (3) 若A可逆， 0 为常数，则 1 1 1 ( ) − − A = A
(4)若A,B均为n阶可逆矩阵,则(AB)-1=B-1A-1 证明:因为(AB)(B-14-1)=A(BB-1)A-1 AEAI =E 所以(AB)-1=B-14-1 推广:若A1,A2,y…,Am均为n阶可逆矩阵,则 (A 1412 特别:当4|≠0,有(4m)1=(4-1)m(m为正整数)
(4) 若A，B 均为n阶可逆矩阵，则 (AB)－1 = B－1A－1 。 特别：当 |A| 0，有 (A m )－1 = (A－1 ) m (m为正整数) 若A1，A2，…，Am均为n阶可逆矩阵，则 ( A1 A2 … Am)－1 = Am －1 … A2 －1 A1 －1 推广： 证明： 因为 (AB)(B－1A－1 ) = A E A－1 = E 所以 (AB)－1 = B－1A－1 = A ( B B－1 ) A－1
(5) 4-1=1|4/=、1 这是因为|A-1|A|=|E|=
(5) | | 1 | | | | 1 1 A A = A = − − 这是因为 | A－1 | | A | = | E | = 1
初等行变换求逆矩阵(方法二 1.初等矩阵都是可逆矩阵,且其矩阵仍然是初等矩阵 IP(i,,T=P(i,, [P(i,(4))]=P(() P(i,j())]=P(i,j(-元)
二、初等行变换求逆矩阵 (方法二) 1. 初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵 [ ( , )] ( , ) 1 P i j = P i j − )) 1 [ ( ,( ))] ( ( 1 P i = P i − [ ( , ( ))] ( , ( )) 1 = − − P i j P i j
定理53若方阵A可逆,则存在有限个初等矩阵 125 ● Pm使A=P1P2… 证:因为4可逆,则r(4)=n,标准形为En, 存在有限次初等变换使A化为En,反之,也存在 有限次初等变换使E化成A,故存在有限个初等矩阵 2 n 使 P1P2…PEPs s+I·· A=P1P2….Pm
定理5.3 若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1 , P2 ,…Pm, 使 A = P1 P2 … Pm 证：因为A可逆，则r(A) = n，标准形为En， A = P1 P2 … Pm P1 P2 … PsEPs+1… Pm = A 即 存在有限次初等变换使A化为En， 有限次初等变换使En化成A， 反之，也存在 P1，P2，…，Pm，使 故存在有限个初等矩阵