17.6正规子群与商群 ■正规子群及判定 定义 判别定理 判别法 商群 定义及其实例 性质
17.6 正规子群与商群 正规子群及判定 定义 判别定理 判别法 商群 定义及其实例 性质
正规子群及其判定 正规子群:KG,且V∈G,aH=Ha.记为HsG 判定定理:N≤G,则下述条件等价 (1)N是G的正规子群 (2)Vg∈G,gNg (3)Vg∈G,vn∈N,gng∈N 证:(1)→(2):gN=Ng→gNg=N (2)→(3):gng∈g N (3)→(1):ng∈Ng→n∈N2g∈G→gng∈N→ng∈gN 判定方送8n∈gn∈N∈G→geN→geNg (1)判定定理 (2)N千N是G的唯一t阶子群 (3)指数为2的子群
正规子群及其判定 正规子群： H≤ G,，且 ∀ a ∈ G，aH=Ha. 记为 H ⊴ G. 判定定理： N≤ G, 则下述条件等价 (1) N 是 G 的正规子群 (2) ∀ g ∈ G, gNg− 1 = N (3) ∀ g ∈ G, ∀ n ∈ N, gng− 1 ∈ N 证：(1) ⇒(2): gN = Ng ⇒ gNg− 1 = N (2) ⇒(3): gng− 1 ∈gNg−1 = N (3) ⇒(1): ng ∈Ng⇒ n ∈ N,g− 1 ∈ G⇒g− 1 ng ∈ N ⇒ng ∈gN gn ∈gN⇒ n ∈ N,g ∈ G⇒gng− 1 ∈ N⇒gn ∈Ng 判定方法 (1) 判定定理 (2) | N|= t, N 是 G 的唯一 t 阶子群 (3) 指数为 2 的子群
证明 N是G的t阶子群,且是唯一的t阶子群,则N是 G的正规子群 证:任取g∈G, gNg<G,且gNgl=M,从而得 到gNg1=N,因此N是正规的. N是G的子群,且|G:N=2,则N是G的正规子群 证:任取g∈G,若g∈N,则gN=N=Ng;若g≤N,则 gN=G-N=Ng,因此N是正规的
证明 N是G的 t 阶子群，且是唯一的 t 阶子群，则N是 G的正规子群. 证：任取g∈G, gNg-1≤G, 且|gNg-1|=|N|，从而得 到 gNg-1=N，因此N是正规的. N是G的子群，且[G:N]=2, 则N是G的正规子群. 证：任取g∈G, 若g∈N, 则gN=N=Ng；若g∉N, 则 gN=G-N=Ng, 因此N是正规的
商群定义 商群GH={Ha|a∈G} hahb= hab 说明: 良定义性质: H=x,Hb=→Hb=Hxy 商群GH就是商代数 akb仝H=mbab∈H arb. cRd acrid aRb→a-1Rb-1
商群 G/H = { Ha | a∈G } HaHb = Hab 说明： 良定义性质： Ha=Hx, Hb=Hy ⇒ Hab=Hxy 商群 G/H 就是商代数 aRb ⇔ Ha=Hb ⇔ ab−1∈H aRb, cRd ⇒ acRbd aRb ⇒ a−1Rb−1 商群定义
商群的性质 性质:|G/H=|GH,商群的阶是G的因子 保持群G的性质ε交换性,循环性等. 例1G为Abel群,|=n,素数p整除n,则G中有p阶元. 证明思路:归纳法——商群满足条件推出原来群中性质 归纳步骤。假设m<n为真,证明对于n为真 设闻G=n,取a∈G,a≠e,寻找p阶元 ①p整除a,则ap为p阶元 ②p不整除la,令H=<m,构造G/H,GmH=m,p整除n G/H中有p阶元b,导出b与a的关系 (Hby=H→b∈H→b=d (by=e→b为p阶元(b=e→(Hb)=H→p|l)
性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群 G 的性质：交换性，循环性等. 例 1 G 为 Abel 群，|G| = n,素数 p 整除 n, 则 G 中有 p 阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质. 归纳步骤. 假设 m<n 为真，证明对于 n 为真. 设|G| = n, 取 a∈G, a ≠ e, 寻找 p 阶元. ① p 整除 |a|, 则 a p a| |/ 为 p 阶元. ② p 不整除 |a|, 令 H = <a>, 构造 G/H, |G/H| = m, p 整除 m. G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系 (Hb)p = H ⇒ bp∈H ⇒ bp = at (b|a|)p=e⇒b|a|为 p 阶元 ( b|a|=e ⇒ (Hb)|a|=H ⇒ p | |a| ) 商群的性质