第六章线性变换
第六章 线性变换
§1线性变换的定义 例1.1设R是实数域。考虑最简单而又最基 本的线性函数 y=f(x)=ax, 其定义域和值域都是实数域R,即对R中每 个实数x,线性函数f使其对应一个函数值ax, 并且具有如下性质 (1)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) (2) f(kx)=kf()
§1 线性变换的定义 例 1.1 设 R 是实数域。考虑最简单而又最基 本的线性函数： y = f (x) = ax, 其定义域和值域都是实数域 R，即对 R 中每一 个实数 x，线性函数 f 使其对应一个函数值 ax， 并且具有如下性质： (1) ( ) ( ) ( ), 1 2 1 2 f x + x = f x + f x (2) f (kx) = kf(x)
例1.2考虑二维向量空间R2,R2的变换: G:a=(x, y)|(xcos6-ysin 8, x cos 0+ysin 8), 其中θ∈R是任意一个角度 σ也具有线性函数的两个性质(1),(2): (1)σ(a+B)=σ(a)+(B) (2)o(ka)=ko(a) σ称为旋转变换
例 1.2 考虑二维向量空间 R2 ，R2 的变换： (x cos − y sin , x cos + y sin )， 其中 R 是任意一个角度。 (1) σ ( + ) =σ () +σ(), 也具有线性函数的两个性质(1)，(2)： (2) σ (k) = kσ (). 称为旋转变换。 σ ： = (x, y) |→
例13考虑Rxn,即R上n×n维矩阵 构成的n2维向量空间。它的转置 变换 τ:A|A,∨A∈Rn 同样具有线性函数的两个性质(1)和(2) (1)τ(A+B)=τ(A)+(B) (2)τ(kA)=k(A)
例 1.3 考虑 Rn×n ，即 R 上 n×n 维矩阵 构成的 n 2 维向量空间。它的转置 变换： n n A A A R τ ： |→ ' ， (1) τ (A+ B) =τ (A)+τ (B), 同样具有线性函数的两个性质(1) 和 (2)： (2) τ (kA) = kτ (A)
定义11设是R上任一向量空间, σ是V的一个变换,如果满足 (1)σ(a+B)=(a)+(B) (2)o(ka)=k(a),Va,B∈V,k∈R 则称σ是V的一个线性变换。 注:我们通常用希了母o,τ,p, 表示线性变换
定义1.1 设 V 是 R 上任一向量空间， 是 V 的一个变换，如果满足 则称 是 V 的一个线性变换。 注：我们通常用希了母 ，，ρ，… 表示线性变换。 (1) σ ( + ) =σ () +σ(), (2) σ(k) = kσ(), , V, k R