174变换群与置换群 ■变换群 变换群的定义 变换群的实例 ■n元置换群 置换的表示 置换的乘法和求逆运算 置换群中元素的阶与子群 置换群的实例
1 17.4 变换群与置换群 变换群 变换群的定义 变换群的实例 n元置换群 置换的表示 置换的乘法和求逆运算 置换群中元素的阶与子群 置换群的实例
变换群 变换群的定义 A上的变换: f:A-4 A上的一一变换:双射f:A-4 A上的一一变换群:E(4)={f|f:A-A为双射} 关于变换乘法构成群 A上的变换群G:GE(4) 实例 G为群,a∈G,令:→>G,f(x)=ax,则后为一一变换 H={f∈G}关于变换乘法构成G上的变换群. HSE(G
2 变换群 变换群的定义 A 上的变换： f:A→A A 上的一一变换： 双射 f:A→A A 上的一一变换群：E(A)={ f | f:A→A 为双射} 关于变换乘法构成群 A 上的变换群 G： G⊆E(A) 实例 G 为群，a∈G，令 fa:G→G, fa(x)=ax，则 fa为一一变换. H={ fa | a∈G}关于变换乘法构成 G 上的变换群. H≤ E(G)
变换群的实例 例如G ∫{e,e>,>,b,b>,C, fake, a,a, e>, < b, c>, <c, b>j J6={e,b>,,C>,b,e>,C,> J∫={e,C>,,b>,<b,>,C,e} H=ffe, fa,b,fc) 思考:怎样证明H同构于G 与独异点的表示定理进行比较
3 例如 G={ e, a, b, c }， fe={<e,e>,<a,a>,<b,b>,<c,c>} fa={<e,a>,<a,e>,<b,c>,<c,b>} fb={<e,b>,<a,c>,<b,e>,<c,a>} fc={<e,c>,<a,b>,<b,a>,<c,e>} H={ fe , fa , fb , fc } 思考：怎样证明 H 同构于 G 与独异点的表示定理进行比较 变换群的实例
n元置换群 A上的n元置换:|4=n时A上的一一变换 表示法 (1)置换的表示法:令A={1,2,…,n}, (1)(2)…(n) (2)不交轮换的分解式:σ=102rt 其中τ12,,为不交轮换 (3)对换分解式: 对换(i)=(ji (1i2…i)=(iik)(i1k1)…(i1i2)
4 A 上的 n 元置换：|A| = n 时 A 上的一一变换 表示法 (1) 置换的表示法：令 A={ 1, 2, …, n }, = (1) (2) ... ( ) 1 2 ... nn σ σ σ σ (2) 不交轮换的分解式：σ = τ1τ2…τt, 其中 τ1,τ2, …,τt为不交轮换 (3) 对换分解式： 对换 ( i j ) =( j i ) (i1 i2…ik) = (i1 ik) (i1 ik-1) … (i1 i2) n元置换群
n元置换的轮换表示 定理1任何n元置换都可以表成不交的轮换之积, 并且表法是唯一的.即 o=σ1σ2…,oto=τ12T→{o1,o2,,ot={1,τ2,,T} 证明思路 (1)σ可以表成不交的轮换之积.归纳证明 (2)唯一性.假设 O-o1o2ot,o=i2·v 令X={ai,02…,o},F={τ1,τ2…,t} 任取G∈X,=(i2,im,m>1,证明∈Y使得σ=τs, 从而XY.同理YX
5 定理 1 任何 n 元置换都可以表成不交的轮换之积， 并且表法是唯一的. 即： σ=σ1σ2…σt, σ=τ1τ2…τl ⇒ {σ1,σ2,…,σt}={τ1,τ2,…,τl } 证明思路 (1) σ可以表成不交的轮换之积. 归纳证明. (2) 唯一性. 假设 σ=σ1σ2…σt, σ=τ1τ2…τl. 令 X={σ1,σ2,…,σt}, Y={τ1,τ2,…,τl} 任取σj ∈X, σj=(i1i2…im), m>1, 证明∃τs∈Y 使得σj=τs， 从而 X⊆Y. 同理 Y⊆X. n元置换的轮换表示