153代数系统的同态与同构 ■同态映射的概念 同态映射定义 同态映射分类 实例 ■同态映射的性质 同态映射的合成仍旧是同态映射 同态像是映到代数系统的子代数 同态像中保持原有代数系统的运算性质
1 15.3 代数系统的同态与同构 同态映射的概念 同态映射定义 同态映射分类 实例 同态映射的性质 同态映射的合成仍旧是同态映射 同态像是映到代数系统的子代数 同态像中保持原有代数系统的运算性质
同态映射的定义 定义设 V=<A,01,O2y…,0n>与V2x<B,O1',O2…,on> 是同类型的代数系统,对于1,2,,r,0,为k,元运算,函 数f:A->B,如果对于所有的运算o与0 f(0(x1,x2”,xk,)=0(f(x1),f(x2)…,f(xk) Vx1,x2y…,xk,∈A 则称∫是代数系统V1到V2的同态映射,简称同态
2 同态映射的定义 x x x A f o x x x o f x f x f x i i i k i k i k ∀ ∈ = , ,..., ( ( , ,..., )) '( ( ), ( ),..., ( )) 1 2 1 2 1 2 V1 =< A , o 1 , o 2 ,..., o r > 与 V2 =< B , o 1', o 2 ',..., o r '> 定义 设 是同类型的代数系统，对于 i=1,2, …,r，oi 为 ki 元运算, 函 数 f:A → B, 如果对于所有的运算 oi 与 oi ’ 则称 f 是代数系统 V1 到 V2 的同态映射，简称同态
同态映射的定义(续) >·(x2 →·f(x) f(o, (X, 2)=
3 同态映射的定义（续）
几点说明 1.对于二元运算、一元运算、0元运算采用下述表示: f(xoy)=∫(x)p’f(y) f(4x)=A∫(x) f(a=a 2.同态映射必须对所有的运算保持等式,包括0元运算 在内,例如 06/a,b∈R ∫:A→>A 0 b 00 则厂不是的自同态,因为不保持0元运算7(0)-0
4 几点说明 1. 对于二元运算、一元运算、0元运算采用下述表示： 2. 同态映射必须对所有的运算保持等式，包括0元运算 在内，例如 则 f 不是V的自同态，因为不保持0元运算 ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) f a a f x f x f x y f x f y = = = ∆ ∆ o o = → ∈ > = =< ⋅ 0 0 0 ) 0 0 : , ( | , 0 0 , 0 1 1 0 , , a b a f A A f a b R b a V A A ≠ 0 1 1 0 ) 0 1 1 0 f (
同态映射的分类 特殊的同态映射 ■按映射性质分为: 单同态 满同态v1~V2 同构V1=V2 ■按载体分:自同态 ■综合:单自同态、满自同态、自同构
5 同态映射的分类 特殊的同态映射 按映射性质分为： 单同态 满同态 V1 ∼ V2 同构 V1 ≅ V2 按载体分：自同态 综合：单自同态、满自同态、自同构