第十八章环与域 18.1环的定义及其性质 环的定义 环的性质 特殊的环 有限域 182子环、理想、商环、环同态 子环定义及判别 理想、商环、环同态
1 18.1 环的定义及其性质 环的定义 环的性质 特殊的环 有限域 18.2 子环、理想、商环、环同态 子环定义及判别 理想、商环、环同态 第十八章 环与域
环的定义 定义:设代数系统<R,+,→>满足 <R,+>构成Abel群 <R,>构成半群 对+运算满足分配律 符号说明:0,1,x,x,mx,x,xy, 实例: 数环Z,Q,RC关于普通数的加法与乘法 <Zne. <Mn(R),+,> <P(B),⊕,∩>
2 定义：设代数系统<R,+,⋅>满足 <R,+>构成 Abel 群 <R,⋅>构成半群 ⋅对+运算满足分配律 符号说明：0, 1, -x, x-1, nx, xn, x-y, 实例： 数环 Z,Q,R,C 关于普通数的加法与乘法 <Zn, ⊕, ⊗> <Mn(R), +, ⋅> <P(B), ⊕, ∩> 环的定义
环的性质 1.0=0a=0 2.(a)b=a(-b)=(ab) 3.(a)-b)=ab 4. a(b-c)=ab-ac, (b-c)a= ba-ca 5.∑∑b=∑∑ 6.(nab=a(nb)=n(ab)
3 1． a0 = 0a = 0 2． (-a)b = a(-b) = -(ab) 3． (-a)(-b) = ab 4． a(b-c) = ab-ac, (b-c)a = ba-ca 5． ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ni mj i j mj j ni i a b a b 1 1 1 1 6． (na)b = a(nb) = n(ab) 环的性质
特殊的环 交换环、含幺环 无零因子环mb=0→a=0或b=0 实例:数环,Z为无零因子环当且仅当P为素数 定理:R是环,R为无零因子环R中乘法有消去律. 除环:{R}>1,<R,>构成群 域|R>1,交换的除环或者每个R中元素都有逆元的整环 实例:H ba/ab∈R}为除环,不是域 Z是域
4 交换环、含幺环 无零因子环 ab=0 ⇒ a=0 或 b=0 实例：数环, Zp 为无零因子环当且仅当 p 为素数. 定理：R 是环，R 为无零因子环 ⇔ R 中乘法有消去律. 除环：|R|>1,<R*,⋅> 构成群 域 |R|>1, 交换的除环或者每个 R*中元素都有逆元的整环 实例： ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ∈ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = a b R b a a b H | , 为除环，不是域 Zp 是域 特殊的环
例题 例1p,q为不等的素数,证明无p阶的整环 证:假设R为p阶的整环, 则<R,+>为p阶的Abel群 存在p阶元a,q阶元b 所以a+b=P,<R+>为循环群, 令c=a+b.生成元 R={0,c,2c,…,(p1e} 取 pc, y-=gc, 则 xy=(pc)(gc)=pgc =0 xy为零因子
5 例 1 p,q 为不等的素数，证明无 pq 阶的整环. 证：假设 R 为 pq 阶的整环， 则<R,+>为 pq 阶的 Abel 群. 存在 p 阶元 a，q 阶元 b. 所以 |a+b|=pq, <R,+>为循环群， 令 c=a+b 为生成元. R={ 0, c, 2c, … , (pq-1)c } 取 x=pc, y=qc, 则 xy=(pc)(qc) = pqc2 =0 x,y 为零因子. 例题