湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 矩阵理论习题（2/2）、第三章 向量空间习题

§5 可逆矩阵 逆矩阵的概念与性质 1.定义5.1设4是一个n阶方阵,若存在n阶方阵B 使 AB=BA=E 则称B为A的逆矩阵,并称A可逆

§5 可 逆 矩 阵 一、逆矩阵的概念与性质 1. 定义5.1 AB = BA = E 则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B 使

例如:A 5-2 B 有 12)5-2 5-2/12 25八-21 21八25)(01 所以B是A的逆阵,同时A也是B的逆阵

例如： , 2 5 1 2         A =         − − = 2 1 5 2 B 有         − −         2 1 5 2 2 5 1 2         =                − − = 0 1 1 0 2 5 1 2 2 1 5 2 所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵

例5.1设a1a2…,.am≠0, 由于 0 0 2 E 0 0 n 所以 0 0 22 22 0 nn nn

例5.1 设 a11 a22 … ann  0,               nn a a a  22 11 0 0 n n n E a a a =               − − − 1 1 2 2 1 1 1  0 0 由于： 1 2 2 1 1 −               n n a a a  0 0               = − − − 1 1 2 2 1 1 1 n n a a a  0 0 所以

例52若方阵A1A2An均可逆,可证 0

例5.2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆，可证 1 2 1 −               Am A A  0 0               = − − − 1 1 2 1 1 Am A A  0 0

定理5.(唯一性) 若方阵A的逆矩阵存在,则唯一,用A-1表示 证:设B、C均是A的逆矩阵,则 B=BE =B(AC)=BAC =EC =C 所以A的逆矩阵唯

定理5.1 (唯一性) 若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A－1表示 证：设B、C均是A的逆矩阵，则 B 所以A的逆矩阵唯一。 = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C