193特殊的格 ■模格 分配格 ■有界格 ■有补格 ■布尔格
1 19.3 特殊的格 模格 分配格 有界格 有补格 布尔格
模格 定义L为格,若a,b,c∈L, Kb→a(c∧b)=(Nvc)b 则称L为模格. 实例: b 钻石格为模格 五角格不是模格 模格-模律:∝Kb→V(Ab)=(aVcl)b 格-模不等式:“Kb→W(cAb)<(Vc)^b
2 定义 L为格，若∀a,b,c∈L, a≼b ⇒ a∨(c∧b)=(a∨c)∧b 则称L为模格. 实例： 钻石格为模格 五角格不是模格 模格---模律： a≼b ⇒ a∨(c∧b)=(a∨c)∧b 格--模不等式：a≼b ⇒ a∨(c∧b)≼(a∨c)∧b 模格 b a c
模格判别条件 L为模格当且仅当L不含有与五角格同构的子格. 充分性:假设L不是模格,则存在ab,c∈L,使得 a≤b,(cAb)<(Nc)∧b, 取5个元素x,y,z,ν如图 证明思路: Y=aVc x<y≤,W≤C≤ν x∧c=y∧c=, XVc-VVc=ν =(vc)∧b Z=< xy乙,ν两两不等 x=V(c∧b) 构成L的5元子格 U=C∧b
3 模格判别条件 L 为模格当且仅当 L 不含有与五角格同构的子格. 充分性：假设 L 不是模格，则存在 a,b,c ∈ L, 使得 a ≼ b, a ∨ ( c ∧ b ) ≺ ( a ∨ c ) ∧ b, 取 5 个元素 x, y, z, u, v 如图. 证明思路： u ≼ x ≺ y ≼ v，u ≼ c ≼v x ∧ c =y ∧ c = u，x∨ c =y ∨ c =v u, x, y, z, v 两两不等， 构成 L 的 5 元子格 y= ( a ∨ c ) ∧ b x=a ∨ ( c ∧ b ) z=c u=c ∧ b v=a ∨ c
模格判别条件(续) L为模格当且仅当 Va,b,C∈L,a≤b,aC=bvc,ac=bc→a=b 证:“<”若不是模格,则存在子格与五角格同构 必有a,b,c构成如图的子格,与条件矛盾 “→”设L为模格, V,b,C∈L,a≤b,NC=bvc,a∧C=b入C =av(入c)=(bc) b N∨(c入b)=(c)∧b (bve)∧b=b
4 L 为模格当且仅当 ∀a,b,c∈L, a≼b, a∨c=b∨c, a∧c=b∧c ⇒ a=b 证：“⇐” 若不是模格，则存在子格与五角格同构， 必有 a, b ,c 构成如图的子格，与条件矛盾. “⇒” 设 L 为模格， ∀a,b,c∈L, a≼b, a∨c=b∨c, a∧c=b∧c a = a∨(a∧c) = a∨(b∧c) = a∨(c∧b) = (a∨c)∧b = (b∨c)∧b = b 模格判别条件（续） b a c
分配格 定义设L为格,若a,b,c∈L有 a入(bvc)=(aAbv(ac)或a(b∧c)=(ab)(Vc) 则L为分配格. 注:在任何格中两个分配不等式是等价的 例如a(bc)=(ab√(ac)→m(bc)=(avb)(avc) 证ab^(ac) (Nb)a)v(NVb)入c) (对v的分配律) aN(a入c)y(b∧c)(吸收律,∧对v的分配律) (aN(a^cv(bc)=mN(b∧c)(结合律,吸收律) 反之,同理可证
5 定义 设 L 为格，若∀a,b,c∈L 有 a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 或 a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) 则 L 为分配格. 注：在任何格中两个分配不等式是等价的. 例如 a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) ⇒ a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) 证 (a∨b)∧(a∨c) = ((a∨b)∧a)∨((a∨b)∧c) (∧对∨的分配律) = a∨((a∧c)∨(b∧c)) (吸收律, ∧对∨的分配律) = (a∨(a∧c))∨(b∧c) = a∨(b∧c) (结合律, 吸收律) 反之，同理可证. 分配格