第十六章半群与独异点 161半群与独异点 ■半群、独异点的定义与性质 半群与独异点定义 半群与独异点性质 ■半群、独异点的子代数、积代数、商代数 子半群与子独异点 半群与独异点的直积 商半群与商独异点 ■半群与独异点的同态 独异点的表示定理
1 第十六章 半群与独异点 16.1 半群与独异点 半群、独异点的定义与性质 半群与独异点定义 半群与独异点性质 半群、独异点的子代数、积代数、商代数 子半群与子独异点 半群与独异点的直积 商半群与商独异点 半群与独异点的同态 独异点的表示定理
半群与独异点的定义 广群、半群、独异点(含幺半群)的定义 广群:封闭二元运算 半群:封闭二元运算,结合律 独异点:封闭二元运算,结合律,单位元 说明:任何半群都可以扩张成独异点 表示式中可以省略运算符
2 半群与独异点的定义 广群、半群、独异点（含幺半群）的定义 广群：封闭二元运算 半群：封闭二元运算，结合律 独异点：封闭二元运算，结合律，单位元 说明：任何半群都可以扩张成独异点 表示式中可以省略运算符
半群与独异点性质 幂运算的定义 半群独异点 e 性质: (1)定理1幂运算的等式 anam= antm (an)m=anm (2)结合律
3 半群与独异点性质 幂运算的定义 半群 独异点 a 1 = a a 0 = e a n+1 = a n a 性质： (1) 定理 1 幂运算的等式 a n a m = an+m ( a n ) m = anm (2) 结合律
实例 例1v为半群,任取a,b∈S,如果a≠b,则有b≠bu, 证明 (1)V中成立幂等律 (2)Va,b∈,aba=a (3)Va,b,c∈,abe=ac 证(1)假若a≠a,则 (a)a≠a(a)→am≠aam,矛盾 (2)假若mba≠a,则 (aba)≠a(mba)→mb≠uba,矛盾 (3)假若bc≠ac,则 (abc)(ac)≠(c)(abc)→abcC≠ acaba →ab(cc)≠(aca)bc→mbc≠mbc,矛盾
4 例 1 V 为半群，任取 a,b∈S, 如果 a≠b, 则有 ab≠ba， 证明 (1) V 中成立幂等律 (2) ∀a,b∈V, aba = a (3) ∀a,b,c∈V, abc = ac 证 (1) 假若 aa ≠ a, 则 (aa)a ≠ a(aa) ⇒ aaa ≠ aaa，矛盾 (2) 假若 aba ≠ a, 则 (aba)a ≠ a(aba) ⇒ aba ≠ aba ，矛盾 (3) 假若 abc ≠ ac, 则 (abc)(ac) ≠ (ac)(abc) ⇒ abcac ≠ acabc ⇒ ab(cac) ≠ (aca)bc ⇒ abc ≠ abc ，矛盾 实例
子半群、子独异点 子半群、子独异点B的判别 非空子集B, B对于V中的运算(含0元运算)封闭 定理2若干子半群的非空交集仍为子半群; 若干子独异点的交集仍为子独异点 重要的子半群-一子集合B生成的子半群 =<S,*>,BS,包含B的最小的半群 <B>=∩{4|A是S的子半群,Bc4} <B≥=∪B",B"={b1b2…bn|b;∈B,}=1,2,,n}
5 子半群、子独异点 子半群、子独异点 B 的判别 非空子集 B， B 对于V 中的运算（含 0元运算）封闭. 定理 2 若干子半群的非空交集仍为子半群； 若干子独异点的交集仍为子独异点. 重要的子半群---子集合 B生成的子半群 V=<S,*>, B ⊆ S,包含B 的最小的半群 <B>= ∩ {A | A 是 S的子半群， B ⊆A } U+ ∈ < >= n Z n B B , B n={ b 1 b 2 … b n | bi ∈ B, i=1,2,…,n }