《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第三章函数极限.docx

《数学分析》教案第三章函数极限（14学时）←引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列（a,这种变量即是研究当n一→+oo时，a）的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列(a,)可视为一种特殊的函数f，其定义域为N，值域是(a,)，即f:N,→R(n→a,);或f(n)=an,neN,或f(n)=an研究数列（a,）的极限，即是研究当自变量n→+oo时，函数f(n)变化趋势。此处函数f(n)的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n一→+oo。但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为xER，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于×→+0一种呢？为此，考虑下列函数：[1,x+0;f(x)=[0,x= 0.类似于数列，可考虑自变量x→+80时，f(x)的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x→-00时，f(x)的变化趋势：还可考虑自变量x一→>oo时，f(x）的变化趋势；还可考虑自变量x一>a时，f(x）的变化趋势，··由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。s1函数极限的概念教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念：会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的-定义的清晰概念。会应用函数极限的一定义证明函数的有关命题，并能运用6一语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的6一8定义及其应用。学时安排：2学时教学方法：讲授：（部分内容自学）教学程序：

《数学分析》教案第三章函数极限（14 学时） ◆ 引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列 an 这种变量即是研究当 n → + 时， an 的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列 an 可视为一种特殊的函数 f ，其定义域为 N+ ，值域是 an ，即 : ( ) n f N R n a + → → ; 或 ( ) , n f n a n N =  + 或 ( ) n f n a = . 研究数列 an 的极限，即是研究当自变量 n → + 时，函数 f n( ) 变化趋势。此处函数 f n( ) 的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即 n → + 。但是，如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为 x R  ，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于 x → + 一种呢？为此，考虑下列函数: 1, 0; ( ) 0, 0. x f x x   =   = 类似于数列，可考虑自变量 x → + 时， f x( ) 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量 x →− 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x → 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x a → 时， f x( ) 的变化趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的  − 定义的清晰概念。会应用函数极限的  − 定义证明函数的有关命题，并能运用  − 语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的  − 定义及其应用。学时安排: 2 学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：

《数学分析》教案一、x→+oo时函数的极限1.引言设函数定义在[a,+o)上，类似于数列情形，我们研究当自变量x→>+oo时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。f(x)= 1例如，x无限增大时，f(x)无限地接近于0；g(x)=arctgx,x无限增大时，f(x)无限地4接近于号；h(x)=x,x无限增大时，f(x)与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑2 x→+oo时，(x)的变化趋势。我们把象f(x)，g(x)这样当x→+oo时，对应函数值无限地接近于某个定数A的函数称为“当x→+o时有极限A”。[间题]如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x→+oo时函数极限的精确定义如下2．x→>+o时函数极限的定义定义1设f为定义在[a,+o)上的函数，A为实数。若对任给的>0，存在正数M(≥α)，使得当x>M时有1f(x)-Ak8，则称函数当x→+o时以A为极限。记作lim f(x)= A或 f(x)→ A(x→+o0).3.几点注记(1)定义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量f(x)与A的接近程度，正数M的作用与数列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度：但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n。(2)limf(x)=A的邻域描述：Vs,3U(+),当xU(+)时，(x)eU(A,)(3)limf(x)=A的几何意义：对V，就有y=A+和y=A-两条直线，形成以A为中心线，以2c为宽的带形区域。“当x>M时有If(x)-AKε”表示：在直线x=M的右方，曲线y=f(x)全部落在这个带形区域内。如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线X=M一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数M，使得曲线y=f(x)在x=M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。(4)现记f为定义在U(-0)或U(0）上的函数，当x→-00或x一→o0时，若函数值f(x）能无限地接近于常数A，则称f当x→-00或x→>0时时以A为极限，分别记作，lim f(x)= A或f(x)→A(x→-0),lim f(x)= A或 f(x)→ A(x→)。这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：

《数学分析》教案一、 x → + 时函数的极限１．引言设函数定义在 [ , ) a + 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 x → + 时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。例如 1 f x x ( ) , x = 无限增大时， f x( ) 无限地接近于０； g x arctgx x ( ) , = 无限增大时， f x( ) 无限地接近于 2  ； h x x x ( ) , = 无限增大时， f x( ) 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑 x → + 时， f x( ) 的变化趋势。我们把象 f x( ) ，g x( ) 这样当 x → + 时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当 x → + 时有极限Ａ”。 [问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当 x → + 时函数极限的精确定义如下. 2. x → + 时函数极限的定义定义１设 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，Ａ为实数。若对任给的   0 ，存在正数Ｍ ( )  a ，使得当 x M 时有 | ( ) | f x A −   , 则称函数 f 当 x → + 时以Ａ为极限。记作 lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ) → → + . ３．几点注记（１）定义１中作用  与数列极限中  作用相同，衡量 f x( ) 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数 x ，而不仅仅是正整数 n。（２） lim ( ) x f x A →+ = 的邻域描述：   +  , ( ), U 当 x U + ( ) 时， f x U A ( ) ( ; ).   （３） lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义：对  ，就有 y A = +  和 y A = − 两条直线，形成以Ａ为中心线，以 2 为宽的带形区域。“当 x M 时有 | ( ) | f x A −   ”表示：在直线 x M= 的右方，曲线 y f x = ( ) 全部落在这个带形区域内。如果  给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线 x M= 一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线 y f x = ( ) 在 x M= 的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。（４）现记 f 为定义在 U( ) − 或 U ( )  上的函数，当 x →− 或 x → 时，若函数值 f x( ) 能无限地接近于常数Ａ，则称 f 当 x →− 或 x → 时时以Ａ为极限，分别记作， lim ( ) x f x A →− = 或 f x A x ( ) ( ) → → − ， lim ( ) x f x A → = 或 f x A x ( ) ( ) → →  。这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：

《数学分析》教案 lim ( ) x f x A →− =       0, 0, M 当 x M − 时， | ( ) | f x A −   ， lim ( ) x f x A → =       0, 0, M 当 | | x M 时， | ( ) | f x A −   。（５）推论：设 f x( ) 为定义在 U ( )  上的函数，则 lim ( ) x f x A → =  lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = 。４．利用 lim ( ) x f x →+ ＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明 1 lim 0 x→ x = . 例２证明１） lim x 2 arctgx  →− = − ；２） lim x 2 arctgx  →+ = . 二、 0 x x → 时函数的极限１．引言上节讨论的函数 f 当 x → + 时的极限，是假定 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，这事实上是 U( ) + ，即 f 为定义在 U( ) + 上，考虑 x → + 时 f x( ) 是否趋于某个定数Ａ。本节假定 f 为定义在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 U x 0 内的函数，。现在讨论当 0 0 x x x x →  ( ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。先看下面几个例子：例 3 f x x ( ) 1( 0) =  .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) 1 → ）例 4 2 4 ( ) 2 x f x x − = − .（ f x( ) 是定义在 0 U (2) 上的函数，当 x →2 时， f x( ) 4 → ）例 5 1 f x( ) x = .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) ? → ）由上述例子可见，对有些函数，当 0 0 x x x x →  ( ) 时，对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当 0 0 x x x x →  ( ) 时， f x( ) 的变化趋势。我们称上述的第一类函数 f x( ) 为当 0 x x → 时以Ａ为极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = 。和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析： “当自变量 x 越来越接近于 0 x 时，函数值 f x( ) 越来越接近于一个定数Ａ” → 只要 x 充分接近 0 x ，函数值 f x( ) 和Ａ的相差就会相当小 → 欲使 | ( ) | f x A − 相当小，只要 x 充分接近 0 x 就可以了。即对       0, 0 ，当 0 0 | |  −  x x  时，都有 | ( ) | f x A −   。此即 0 lim ( ) x x f x A → =

《数学分析》教案2.X→x(xx)时函数极限的s-S定义定义2设函数f(x)在点x的某个空心邻域U(xo;S)内有定义，A为定数，若对任给的>0,88)>0，使得当0x-x时有f(x)-A，则称函数当趋于时以A为极限（或称A为×→x时f(x)的极限），记作limf(x)=A或（f(x)→A(x→xo）3.说明如何用8-8定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的8一0定义的几点说明：（1）1f(x)-Ak是结论，0x-x8是条件，即由0x-x推出。（2）ε是表示函数f(x)与A的接近程度的。为了说明函数f(x)在x→x。的过程中，能够任意地接近于A，6必须是任意的。这即ε的第一个特性一一任意性，即是变量；但ε一经给定之后，暂时就把看作是不变的了。以便通过寻找，使得当0x-x时If(x)-Ak成立。这即的第二特性——暂时固定性。即在寻找的过程中ε是常量；另外，若8是任意正数，则号，c”，V.…均为任2意正数，均可扮演的角色。也即的第三个特性一一多值性；（If(x)-Af(x)-A）(3）是表示x与x的接近程度，它相当于数列极限的ε-N定义中的N。它的第一个特性是相应性。即对给定的ε>0，都有一个8与之对应，所以8是依赖于6而适当选取的，为此记之为(x;6)；一般说来，越小，越小。但是，定义中是要求由0x-x推出If(x)-Aε即可，故若满oA足此要求，则等等比8还小的正数均可满足要求，因此8不是唯一的。这即8的第二个特性一2'3多值性。（4）在定义中，只要求函数在x的某空心邻域内有定义，而一般不要求f在x处的函数值是否存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑于在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定"04x-xo1"。(5）定义中的不等式0x-xk8xeUx,0)；1f(x)-Akf(x)eU(A)。从而定义2>0,3S>0，当xU(xo,)时，都有f(x)U(A,)>0,3>0，使得f (U°(x0,0)cU(A,3) 。（6）8-8定义的几何意义。x-4例 6 设f(x)=证明limf(x)=4x-2

《数学分析》教案２． 0 0 x x x x →  ( ) 时函数极限的  − 定义定义２设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ; 内有定义，Ａ为定数，若对任给的         0, ( ) 0  ，使得当 0 0 | |  −  x x  时有 | ( ) | f x A −   ，则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以Ａ为极限（或称Ａ为 0 x x → 时 f x( ) 的极限），记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或（ 0 f x A x x ( ) ( ) → → . 3.说明如何用  − 定义来验证这种类型的函数极限４．函数极限的  − 定义的几点说明：（１） | ( ) | f x A −   是结论， 0 0 | |  −  x x  是条件，即由 0 0 | |  −  x x  推出。（２）  是表示函数 f x( ) 与Ａ的接近程度的。为了说明函数 f x( ) 在 0 x x → 的过程中，能够任意地接近于Ａ，  必须是任意的。这即  的第一个特性——任意性，即  是变量；但  一经给定之后，暂时就把  看作是不变的了。以便通过  寻找  ，使得当 0 0 | |  −  x x  时 | ( ) | f x A −   成立。这即  的第二特性——暂时固定性。即在寻找  的过程中  是常量；另外，若  是任意正数，则 2 , , , 2    均为任意正数，均可扮演  的角色。也即  的第三个特性——多值性；（ | ( ) | f x A −    −  | ( ) | f x A  ） (3)  是表示 x 与 0 x 的接近程度，它相当于数列极限的  −N 定义中的Ｎ。它的第一个特性是相应性。即对给定的   0 ，都有一个  与之对应，所以  是依赖于  而适当选取的，为此记之为 0   ( ; ) x ；一般说来，  越小，  越小。但是，定义中是要求由 0 0 | |  −  x x  推出 | ( ) | f x A −   即可，故若  满足此要求，则 , 2 3   等等比  还小的正数均可满足要求，因此  不是唯一的。这即  的第二个特性—— 多值性。（４）在定义中，只要求函数 f 在 0 x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求 f 在 0 x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当 x 趋于 0 x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑 f 在点 a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定 “ 0 0 | |  −x x ”。（５）定义中的不等式 0 0 | |  −  x x  0 0  x U x( , )  ； | ( ) | ( ) ( ; ) f x A f x U A −      。从而定义２        0, 0 ，当 0 0 x U x  ( , )  时，都有 f x U A ( ) ( ; )          0, 0 ，使得 ( ) 0 0 f U x U A ( , ) ( ; )    。（６）  − 定义的几何意义。例 6 设 2 4 ( ) 2 x f x x − = − ，证明 2 lim ( ) 4 x f x → =

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第三章 函数极限

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第三章函数极限