《数学分析》教案第十二章数项级数(10学时)81级数的收敛性教学目的：让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质，教学重点难点：级数收敛定义和柯西准则，用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性.学时安排：2学时教学方法：讲授法教学过程：1.级数概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数u,uz,u，相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如11.11*++从直观上可知，其和为1。2"又如，1+(-1)+1+(-1)+。其和无意义；若将其改写为：则其和为：0；(1-1)+(1-1)+(1-1)+...若写为：1+[(-1) +1)+[(-1) + 1]+...则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么。定义1给定一个数列(u,)，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式(1)u, +u, +u, +...+un +...称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中u，称为级数（1）的通项。Zu，或Eun。级数（1）简记为：12.级数的收敛性uk称之为级数u，的第n个部分和，简称部分和。记S.==u,+u,+..+u.k=1n=l若数项级数u,的部分和数列(S,)收敛于s（即limS,=S)，则称数项级定义 2 n=l数之"，收敛，称S 为数项级数≥"。的和，记作n=l=S=Zu=u,+u,+u+...+u,+
《数学分析》教案 第十二章 数 项 级 数 (10 学时) §1 级数的收敛性 教学目的： 让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质． 教学重点难点：级数收敛定义和柯西准则, 用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性． 学时安排: 2 学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 u u un , , , 1 2 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论—— 无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 + + ++ n + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 从直观上可知，其和为 1。 又如， 1+ (−1) +1+ (−1) +。 其和无意义； 若将其改写为： (1−1) + (1−1) + (1−1) + 则其和为：0； 若写为： 1+[(−1) +1] +[(−1) +1] + 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义 1 给定一个数列 un ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为： n=1 n u ，或 un 。 2． 级数的收敛性 记 n n k Sn = uk = u + u + + u = 1 2 1 称之为级数 n=1 n u 的第 n 个部分和，简称部分和。 定义 2 若数项级数 n=1 n u 的部分和数列 Sn 收敛于 S（即 Sn S n = → lim ），则称数项级 数 n=1 n u 收敛 ，称 S 为数项级数 n=1 n u 的和，记作 S = n=1 n u = u1 + u2 + u3 ++ un +
《数学分析》教案若部分和数列(s)发散，则称数项级数亡u，发散。n=l例1试讨论等比级数（几何级数）Maga++++(*0)n=l的收敛性。解：见P2。例2 讨论级数11111.22.33.4n(n+1)的收敛性。解：见P2。3．收敛级数的性质由于级数u，的敛散性是由它的部分和数列(S,)来确定的，因而也可以认为数项级数Cu,是数列n=1n=l(S，）的另一表现形式。反之，对于任意的数列a，），总可视其为数项级数1Eu, =a, +(az -a,)+(a, -a,)+..+(a, -an--)+...n=1的部分和数列，此时数列(a,)与级数a,+(a2-a,)+(a,-a,)+...+(a,-an)+.有相同的敛散性，因此，有定理12-1-1（级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及对任意的正整数p，都有um++um+2+..+um+p<6注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个6。>0，对任何正整数N，总存在正整数mo(>N),po,有'mo+ + Umo+2 +..+ Uo+P≥60推论（必要条件）若级数（1）收敛，则limu,=0。注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3讨论调和级数1111 ++..23n的敛散性
《数学分析》教案 若部分和数列 Sn 发散，则称数项级数 n=1 n u 发散。 例1 试讨论等比级数（几何级数） = − − = + + + + + 1 1 2 1 n n n aq a aq aq aq ，(a 0) 的收敛性。 解：见 P2。 例2 讨论级数 + + + + + + ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 解：见 P2。 3． 收敛级数的性质 由于级数 n=1 n u 的敛散性是由它的部分和数列 Sn 来确定的，因而也可以认为数项级数 n=1 n u 是数列 Sn 的另一表现形式。反之，对于任意的数列 an ，总可视其为数项级数 n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an 与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 12-1-1（级数收敛的 Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数 N ，使 得当 m N 以及对任意的正整数 p ，都有 + + + um +1 um +2 um + p 。 注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个 0 0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + + um + um + um + p 。 推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则 lim = 0 → n n u 。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例 3。 例3 讨论调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 的敛散性
《数学分析》教案Iim u, = lim !解：显然，有=0，但当令p=m时，有n1111Um+1+Um+2+m+3+..+U2mm+2m+32mm+111111>..2m22m2m2m1因此，取。对任何正整数N，只要m>N和p=m就有2≥80Umo+ +Umo+2 +...+ Umo+po故调和级数发散。收敛，例4应用级数收敛的柯西准则证明级数1证明：由于111m++um+2+..+um(m+ 2)2(m+ 1)2(m+p)111-m(m+1) (m+1(m+2)m+p-1)(m+p)mm+pm-l，使当m>N及对任何正整数p，都有故对>0，取=1Um++um+2+.+um+<6m1收敛。故级数Vn若级数≥.与都有收。则对任意常数c.d 级数(,+小,)也收数且里12-1-2定理n=ln=l=+dv.)(C=n=l-即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。定理12-1-3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。若级数u，收敛，设其和为S，则级数u+ua2+…也收敛，且其和为n=lR，=S-S,。并称为级数u，的第n个余项（简称余项），它代表用S,代替S时所产生的误差。n=l定理12-1-4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：(1-1)+(1-1)+...+(1-1)+...=0+0+..·+0+.收敛，而级数1-1+1-1+
《数学分析》教案 解：显然，有 0 1 lim = lim = → → n u n n n ，但当令 p = m 时，有 um+1 + um+2 + um+3 ++ u2m m m m 2m 1 3 1 2 1 1 1 + + + + + + + = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + + = m m m m 。 因此，取 2 1 0 = ，对任何正整数 N，只要 m N 和 p = m 就有 0 1 0 2 0 0 0 + + + um + um + um + p ， 故调和级数发散。 例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 2 1 n 收敛。 证明：由于 um +1 + um +2 ++ um + p = 2 2 2 ( ) 1 ( 2) 1 ( 1) 1 m m m + p + + + + + 1)( ) 1 ( 1)( 2) 1 ( 1) 1 m m m m m + p − m + p + + + + + + m m p m 1 1 1 + = − 。 故对 0 ，取 ] 1 [ N = ，使当 m N 及对任何正整数 p ，都有 um +1 + um +2 ++ um + p m 1 。 故级数 2 1 n 收敛。 定 理 12-1-2 若级数 n=1 n u 与 n=1 n v 都有收敛，则对任意常数 c, d ，级数 ( ) 1 n n cun + dv = 也收敛，且 ( ) 1 n n cun + dv = = = = + 1 n 1 n n n c u d v 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理 12-1-3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。 若级数 n=1 n u 收敛，设其和为 S，则级数 un+1 + un+2 + 也收敛，且其和为 Rn = S − Sn 。并称为级数 n=1 n u 的第 n 个余项（简称余项），它代表用 n S 代替 S 时所产生的误差。 定理 12-1-4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+
《数学分析》教案是发散的。课后记1、学生初次接触级数首先让学生知道级数主要是讨论无限多个数相加问题的，对于u,+u,+u,+..+un+0+0+0+...只是一种特殊情况。2、用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性是重点，讲清用收敛性定义证明级数收敛或发散主要是在用初等的方法处理S,的技巧，用柯西准则证明级数收敛或发散主要是放大um+I+um+2+·+um+p的技巧放大后使式子中不含p并能解出m>“正数”效果较好，82正项级数教学目的：让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法教学重点难点：比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用.学时安排：2学时教学方法：讲授法：教学过程：正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数，对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以一1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性.正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数一一正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。1正项级数u，收敛部分和数列(s有界。定理12-2-1n=I证明：由于对Vn，u,>0，故(S,)是递增的，因此，有u, 收敛(s,)收敛(s,)有界。n=1定理12-2-2（比较原则）设u，和v，均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对n=ln=lVn>N都有u,≤yn则（1）若级数收敛，则级数u，也收敛；=N（2）若级数u，发散，则级数y，也发散。=ln=l证明：由定义及定理12-2-1即可得。1考蔡厂例1的收敛性。n2-n+1
《数学分析》教案 是发散的。 课后记 1、学生初次接触级数首先让学生知道级数主要是讨论无限多个数相加问题的，对于 u1 + u2 + u3 ++ un + 0 + 0 + 0 + 只是一种特殊情况。 2、用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性是重点，讲清用收敛性定义证明级数收敛或发散主要是在用初等 的方法处理 n S 的技巧，用柯西准则证明级数收敛或发散主要是放大 um +1 + um +2 ++ um + p 的技巧放大 后使式子中不含 p 并能解出 m “正数”效果较好． §2 正 项 级 数 教学目的： 让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法． 教学重点难点：比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用． 学时安排： 2 学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数．对于同号级数，只须 研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数．如果级数的各项都是负数，则它乘以－1 后就得到一个 正项级数，它们具有相同的敛散性． 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正 项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理 12-2-1 正项级数 n=1 n u 收敛 部分和数列 Sn 有界。 证明：由于对 n，un 0 ，故 Sn 是递增的，因此，有 n=1 n u 收敛 Sn 收敛 Sn 有界。 定理 12-2-2（比较原则） 设 n=1 n u 和 n=1 n v 均为正项级数，如果存在某个正数 N，使得对 n N 都有 n n u v ， 则 （1）若级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 也收敛； （2）若级数 n=1 n u 发散，则级数 n=1 n v 也发散。 证明：由定义及定理 12-2-1 即可得。 例1 考察 =1 − + 2 1 1 n n n 的收敛性
《数学分析》教案解：由于当n≥2时，有1111(n-1)2n2-n+1n?-nn(n-1)101因正项级数故收敛。收敛，=2 (n-1)2=in-n+12m.和2SV多推论（比较判别法的极限形式）是两个正项级数，若V.=1n=llim " = 1,0Vn8W1则（1）当0<l<+00时，级数Zun同时收敛或同时发散：二00a0（2）当/二0且级数之收时，级，级数≥“,也收；（3）当1=+0且，发散时，级数≥u，也发散。n=ln=l证明：由比较原则即可得。1A例2讨论级数的收敛性。2#-n11一的收敛性，由推论可知级数入解：利用级数>收敛。2#2n-n例3由级数一的发散性，可知级数sin一是发散的。nn二比式判别法和根式判别法定理 12-2-3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设u，为正项级数，且存在某个正整数N。及常数qe(0,1):若对Vn>N。，有"q，则级数Zu，收敛：(1)un若对Vn>N。，有"-≥1，则级数Zu，发散。(2)un证明：（1）不妨设对一切n，有"m≤q成立，于是，有unuz≤q≤q,.un≤q...u,uzU-l
《数学分析》教案 解：由于当 n 2 时，有 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 − − = − n − n + n n n n n ， 因正项级数 =2 − 2 ( 1) 1 n n 收敛，故 =1 − + 2 1 1 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设 n=1 n u 和 n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0 l + 时，级数 n=1 n u 、 n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数 n=1 n v 收敛时，级数 n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且 n=1 n v 发散时，级数 n=1 n u 也发散。 证明：由比较原则即可得。 例2 讨论级数 − n n 2 1 的收敛性。 解：利用级数 n 2 1 的收敛性，由推论可知级数 − n n 2 1 收敛。 例 3 由级数 n 1 的发散性，可知级数 n 1 sin 是发散的。 二 比式判别法和根式判别法 定理 12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N0 及常数 q (0,1) ： （1） 若对 n N0 ，有 q u u n n +1 ，则级数 un 收敛 ； （2） 若对 n N0 ，有 1 1 + n n u u ，则级数 un 发散。 证明：（1）不妨设对一切 n ，有 q u u n n +1 成立，于是，有 q u u 1 2 ， , 2 3 q u u ， , 1 q u u n n −