《数学分析》教案第十四章幂级数(8 学时)s1幂级数教学目的：让学生掌握幂级数的各项特点.教学重点难点：幂级数的收敛区间和内闭一致收敛性．幂级数收敛域的判定，学时安排：4课时教学方法：讲授法.教学过程：一引言前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质。从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广泛的应用）。二什么样的函数项级数是幂级数1定义（幕级数）：形如Za,(x- o)"=do +a(x-x0)+a,(x-xo) +..n=0(1)的函数项级数称为幂级数。2特例：当x=0，即在点零处展开的幂级数为1Za.x"=ao+ax+a,x+..n=0(2)3若在（1）中令x-x。=t，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数即可。4幂级数形式上的特点：一般项为α（x一x。）"，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间一一点）。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。三幂级数的收敛性1定理14-1幕级数Za,(x-x）"在x-x<R内绝对收敛，在x-xo>R内发散。n=02推论：幂级数Za,(x-xo）”的收敛域为区间<x-R,x+R>，幂级数Za(x-）在n=0n=0<x-R,x。+R>的内部(x。-R,x。+R)内绝对收敛
《数学分析》教案 第十四章 幂 级 数 (8 学时) §1 幂 级 数 教学目的： 让学生掌握幂级数的各项特点． 教学重点难点：幂级数的收敛区间和内闭一致收敛性．幂级数收敛域的判定． 学时安排： ４课时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 一 引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数 的性质。从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式 的推广）；另一类是“Fourier 级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广泛的应用）。 二 什么样的函数项级数是幂级数 1 定义（幂级数）：形如 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x = − = + − + − + （1） 的函数项级数称为幂级数。 2 特例：当 0 x = 0 ，即在点零处展开的幂级数为 2 0 1 2 0 n n n a x a a x a x = = + + + （2） 3 若在（1）中令 0 x x t − = ，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂 级数即可。 4 幂级数形式上的特点：一般项为 0 ( )n n a x x − ，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简 单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间——点）。又在收敛域 内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 三 幂级数的收敛性 1 定理 14-1 幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 在 0 x x R − 内绝对收敛，在 0 x x R − 内发散。 2 推 论 ：幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 的收敛域为区间 0 0 − + x R x R , ，幂级 数 0 0 ( )n n n a x x = − 在 0 0 − + x R x R , 的内部 0 0 ( , ) x R x R − + 内绝对收敛
《数学分析》教案四求收敛半径和收敛域的例子Px例1:（1)(2)1(3)"n"x"n=o n!in1.1例2：证明(3+（-1)"）"x"在(）绝对收敛，在其他点发散。4°4n=0五幕级数的性质1性质1（阿贝尔第二定理）：若α,(x-x）的收敛半径为R，则此级数在收敛域内部n=0(x-R,x+R)上内闭一致绝对收敛：在收敛域<x-R,x+R>上内闭一致收敛。性质2：设幂级数a,(x-x）"的收敛半径为R，和函数为s(x)，则和函数在收敛域2n=0<x-R,x+R>上连续，于收敛域内部(x。-R,x+R)上可以逐项积分和逐项微分，即：对(x。-R,x。+R)上任一点x，有a,(-10)dt=2%(x-)s(t)dn=0n+1会[a,(x-)1-ma,(x-0)-=Fds(x)dx=odxn=0并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为R。六靠级数性质的应用(-1)~1 =s(x)的和函数s(x).例4:求二mx"的和函数s(x).例3:求幂级数nn=ln=12的和函数s(s)。例4:求二(-Dn例5:求一的和函数s(x)2n+1n=onn=082函数的幂级数展开教学目的：让学生掌握函数的幂级数展开方法教学重点难点：对初等函数的幂级数展开。用间接的方法以幂级数形式表示某些非初等函数.学时安排：2课时教学方法：讲授法教学过程：一泰勒级数在第六章S3的泰勒定理中曾指出,若函数f在点x。的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,则
《数学分析》教案 四 求收敛半径和收敛域的例子 例 1：（1） 1 n n x n = ； （2） 1 n n n n x = ； （3） 0 ! n n x n = 例 2：证明 0 (3 ( 1) ) n n n n x = + − 在 1 1 ( , ) 4 4 − 绝对收敛，在其他点发散。 五 幂级数的性质 1 性 质 1 （阿贝尔第二定 理）：若 0 0 ( )n n n a x x = − 的收敛半径为 R ，则此级数在收敛域内部 0 0 ( , ) x R x R − + 上内闭一致绝对收敛；在收敛域 0 0 − + x R x R , 上内闭一致收敛。 2 性 质 2 ：设幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 的收敛半径为 R ，和函数为 s x( ) ，则和函数在收敛域 0 0 − + x R x R , 上连续，于收敛域内部 0 0 ( , ) x R x R − + 上可以逐项积分和逐项微分，即： 对 0 0 ( , ) x R x R − + 上任一点 x ，有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 x x n n n n x x n n a a t t dt x x s t dt n = = − = − = + 1 0 0 0 0 [ ( ) ] ( ) ( ) n n n n n n d d a x x na x x s x dx dx − = = − = − = ， 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为 R 。 六 幂级数性质的应用 例 3: 求幂级数 1 1 ( 1) ( ) n n n x s x n − = − = 的和函数 s x( ) . 例 4: 求 2 1 n n nx = 的和函数 s x( ) . 例 5: 求 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n + = − + 的和函数 s x( ) . 例 4: 求 0 n n x n = 的和函数 s x( ) . §2 函数的幂级数展开 教学目的： 让学生掌握函数的幂级数展开方法． 教学重点难点：对初等函数的幂级数展开．用间接的方法以幂级数形式表示某些非初等函数． 学时安排： 2 课时 教学方法： 讲授法 教学过程： 一 泰勒级数 在第六章§3 的泰勒定理中曾指出,若函数 f 在点 0 x 的某邻域内存在直至 n +1 阶的连续导数,则
《数学分析》教案()=()+(x-)+((x-) +.+f()(x)(x-x)" + R.(x),(1)21n!这里R(x)为拉格朗日型余项f(n+I)(α)R,(x)=(2)(x-xo)"+(n + 1)其中g在x与x。之间，称（1)为f在x的泰勒公式如果在(1)中抹去余项R,(x),那么在x附近可用(1)式右边才多项式来近似代替,如果函数在x=x处存在任意阶的导数,这时称形式为()+ (x-x)+((x-) .+"()(x- o). (3)2!n!的级数为函数f在x。的泰勒级数。对于级数(3)是否能在x。附近确切地表达f,或说f在x。的泰勒级数在x附近的和函数是否就是f这就是本节所要讨论的问题先看一个例子.例1由于函数Je,x+0,f(x) :[0,x = 0在x=0处任何导数都等于0(第六章§4第二段末尾)，即f(n)(0) = 0,n =1,2, ...,所以f在x=0的泰勒级数为000+0.x+x2+...+2!n!显然它在(-o0,+)上收敛,且其和函数S(x)=0.由此看到,对一切x±0都有f(x)±S(x)这个例子说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身.下面定理指出：具备什么条件的函数f，它的泰勒级数才能收敛于f本身，定理14-2-1设f在点x。具有任意阶导数,那么f在区间(x。-r,x。+r)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式x一xo<r的x，有lim R,(x)= 0这里Rx）是f在x的泰勒公式余项我们可自行由第六章3泰勒定理推出本定理的证明
《数学分析》教案 ( ) ( ), ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 '' 0 0 ' 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n = + − + − ++ − + (1) 这里 R (x) n 为拉格朗日型余项 ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x (2) 其中 在 x 与 0 x 之间,称(1)为 f 在 0 x 的泰勒公式． 如果在(1)中抹去余项 R (x) n ,那么在 0 x 附近 f 可用(1)式右边才多项式来近似代替,如果函数 f 在 0 x = x 处存在任意阶的导数,这时称形式为 + − + − ++ − n + n x x n f x x x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 '' 0 0 ' 0 (3) 的级数为函数 f 在 0 x 的泰勒级数．对于级数(3)是否能在 0 x 附近确切地表达 f ,或说 f 在 0 x 的泰勒级数在 0 x 附近的和函数是否就是 f ,这就是本节所要讨论的问题． 先看一个例子． 例１ 由于函数 = = − 0, 0 , 0, ( ) 2 1 x e x f x x 在 x = 0 处任何导数都等于 0(第六章§4 第二段末尾），即 (0) 0, 1,2, , f (n) = n = 所以 f 在 x = 0 的泰勒级数为 . ! 0 2! 0 0 0 + + 2 ++ x n + n x x 显然它在 (−,+) 上收敛,且其和函数 S(x) = 0 ．由此看到,对一切 x 0 都有 f (x) S(x). 这个例子说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身．下面定理指出：具备什么 条件的函数 f ,它的泰勒级数才能收敛于 f 本身． 定理 14-2-1 设 f 在点 0 x 具有任意阶导数,那么 f 在区间 ( , ) 0 0 x − r x + r 内等于它的泰勒级数的和函数 的充分条件是：:对一切满足不等式 x − x r 0 的 x ,有 lim ( ) = 0, → R x n n 这里 R (x) n 是 f 在 0 x 的泰勒公式余项． 我们可自行由第六章§3 泰勒定理推出本定理的证明．
《数学分析》教案如果f能在x的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数f在x。的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式"(x)(x-xo) +n)(x)f(x)= f(xo)+ f(xo)(x- xo)+ x-x)"+.,(4)2!n!的右边为f在x=x处的泰勒展开式，或称幂级数展开式由级数的逐项求导性质可推得：若f为幂级数α,x"在收敛区间(-R,R)上的和函数,则α,x"就是n=n=0f在（-R,R）上的泰勒展开式,这是幂级数展开的唯一性问题，在实际应用上，主要讨论函数在x。=0处的展开式，这时(3)式可以写作r(m)(0)(0)+ I(Q)(0)1!2!n!称为麦克劳林级数.从定理14.2-1知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的，下面我们重新写出当x，=0时的积分型余项、拉格郎日型余项和柯西型余项它们分别是R,(x) =(n+))()(x-t)"dtnl1r(n+)(s)x"+1,在0与x之间，R,(x) =(n + 1)!f()(ex)(1 -0)+,0 ≤0≤1.R,(x)=n!二初等函数的幕级数展开式例2求k次多项式函数f(x)=Co+cx+c,x2+...+C,xk的展开式.解由于[n!Cn,n≤k,f(n)(0) =[0,n> k,总有limR,(x)=0.因而f()(0) f'(0)r2f(x)= f(O)+ f(O)x+2!k!=Co+cx+c2x?+.+c.xk
《数学分析》教案 如果 f 能在 0 x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数 f 在 0 x 的这一邻域内可以展开成泰勒级 数,并称等式 ( ) , ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 '' 0 0 ' = 0 + − + − ++ − n + n x x n f x x x f x f x f x f x x x (4) 的右边为 f 在 0 x = x 处的泰勒展开式，或称幂级数展开式． 由级数的逐项求导性质可推得：:若 f 为幂级数 n=0 n n a x 在收敛区间 (−R, R) 上的和函数,则 n=0 n n a x 就是 f 在 (−R, R) 上的泰勒展开式,这是幂级数展开的唯一性问题． 在实际应用上,主要讨论函数在 x0 = 0 处的展开式,这时(3)式可以写作 , ! (0) 2! (0) 1! (0) (0) ( ) 2 ' '' + + ++ n + n x n f x f x f f 称为麦克劳林级数． 从定理 14.2-1 知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,下面我们重新写出当 x0 = 0 时的积 分型余项、拉格郎日型余项和柯西型余项,它们分别是 = − + x n n n f t x t dt n R x 0 ( 1) ( )( ) , ! 1 ( ) f x 在 与x之间， n R x n n n ( ) , 0 ( 1)! 1 ( ) ( 1) 1 + + + = ( )(1 ) ,0 1. ! 1 ( ) ( 1) 1 = − + + n n n n f x x n R x 二 初等函数的幂级数展开式 例 2 求 k 次多项式函数 k k f x = c + c x + c x ++ c x 2 0 1 2 ( ) 的展开式． 解 由于 = 0, , ! , , (0) ( ) n k n c n k f n n 总有 lim ( ) = 0 → R x n n ．因而 k k x k f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 ' ' = + + ++ = , 2 0 1 2 k k c + c x + c x ++ c x
《数学分析》教案口即多项式函数的幂级数展开式就是它本身，例3求函数f(x)=e的展开式.解由于f(m)(x)=e,f(m)(O)=1,(n=1,2,.)所以的拉格郎日余项为fefhR,(x)=x"+(0≤9≤1).显见(n+1)!elalR,(x)≤(n+1)!它对任何实数x，都有els/0limn→0 (n+ 1)!因而limR(x)=0.由定理14.11得到e'=1+l,+121口...,x E(-00,+00)x+12!n!例4函数 f(x)=sin(x).由于f(")(x) = sin(x+ n)),n= 1,2,..2现在考察正弦函数的拉格郎日余项R,(x),由于sin(+(n +1))3[R,(x) =→0(n→00)(n + 1)!(n +1)!所以f(x)=sin(x)在(-o0,+oo)内能展开为麦克劳林级数2n-x3+as+..+(1)*+1sinx=x-3!5!(2n-1)!同样可证（或逐项求导）在（-00+o）内有x2+x4+(-1)"口cosx =1-4!2!(2n)!函数f(x)=In(1+x)的各阶导数是例5 ("(x)=(-1)"-- (n-1)!(1 + x)"从而f(n)(0) =(-1)"- (n-1)!
《数学分析》教案 即多项式函数的幂级数展开式就是它本身． □ 例 3 求函数 x f (x) = e 的展开式. 解 由 于 ( ) , (0) 1,( 1,2, ) f (n) x = e x f (n) = n = ．所以 f 的拉格郎日余项为 (0 1) ( 1)! ( ) 1 + = + n x n x n e R x ．显见 1 ( 1)! ( ) + + n x n x n e R x . 它对任何实数 x ,都有 0 ( 1)! lim 1 = + + → n x n x n e . 因而 lim ( ) = 0 → R x n n .由定理 14.11 得到 , ( , ) ! 1 2! 1 1! 1 1 2 = + + + + x + x − + n e x x x n □ 例４ 函数 f (x) = sin( x) ．由于 ), 1,2, 2 ( ) sin( ( ) = + n = n f x x n . 现在考察正弦函数的拉格郎日余项 R (x) n ,由于 0( ) ( 1)! ( 1)! ) 2 sin( ( 1) ( ) 1 1 → → + + + + = + + n n x x n n R x n n n , 所以 f (x) = sin( x) 在 (−,+) 内能展开为麦克劳林级数 + − = − + + + − − + (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 1 1 3 5 n x x x x x n n . 同样可证(或逐项求导),在 (−,+) 内有 = − + ++ − + (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 2 4 2 n x x x x n n . □ 例５ 函数 f (x) = ln(1+ x) 的各阶导数是 n n n x n f x (1 ) ( 1)! ( ) ( 1) ( ) 1 + − = − − . 从而 (0) ( 1) ( 1)! ( ) 1 = − − − f n n n