《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第六章微分中值定理及其应用.docx

《数学分析》教案第六章微分中值定理及其应用（14学时）·引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数：（2）导数只是反映函数在一点的局部特征：（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。81.拉格朗日定理和函数的单调性教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。掌握讨论函数单调性方法：教学要求：（1）深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握定理的证明方法，知道定理之间的包含关系。（2）深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件：熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。教学重点：中值定理：用辅助函数解决问题的方法。教学难点：定理的证明：用辅助函数解决问题的方法。学时安排：2学时教学方法：系统讲解法。一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB上有一点P，该处的切线平行与弦AB。如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧AB的函数是y=f(x)，xE[a,b]的图像，点P的横坐标为x=S。如点P处有切线，则f(x)在点x==处可导，且切线的斜率为f(S)：另一方面，弦AB所在的直线斜率为)=(，曲线y-()上点P的切线平行于弦AB()=(b)-1)b-ab-a撤开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值。这样这个公式就把函数及其导数联系起来。在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础。鉴于E(a,b)，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理。剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b)上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的。换言之，如保证类似点P存在，曲线弧AB至少是连续的，而且处处有切线。反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。二、中值定理Lagrange中值定理：若函数f满足以下条件：（1）f在[a,b)上连续：（2）f在(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点，使得[(5)=(b)-(a)b-a

《数学分析》教案第六章微分中值定理及其应用（14 学时） ⚫ 引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。 §1.拉格朗日定理和函数的单调性教学目的: 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。掌握讨论函数单调性方法；教学要求:（1）深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握定理的证明方法，知道定理之间的包含关系。（2）深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。教学重点: 中值定理；用辅助函数解决问题的方法。教学难点: 定理的证明；用辅助函数解决问题的方法。学时安排: 2 学时教学方法: 系统讲解法。一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧 AB 上有一点 P，该处的切线平行与弦 AB。如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧 AB 的函数是 y=f(x)，x  [a,b]的图像，点 P 的横坐标为 x =  。如点 P 处有切线，则 f(x)在点 x =  处可导，且切线的斜率为 f ( )  ；另一方面，弦 AB 所在的直线斜率为 f b f a ( ) ( ) b a − − ，曲线 y=f(x)上点 P 的切线平行于弦 AB  ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = − 。撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值。这样这个公式就把函数及其导数联系起来。在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础。鉴于  ( , ) a b ，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理。剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果 y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的。换言之，如保证类似点 P 存在，曲线弧 AB 至少是连续的，而且处处有切线。反映到函数 y=f(x)上，即要求 y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。二、中值定理 Lagrange 中值定理：若函数 f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续；（2）f 在(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = −

《数学分析》教案特别地，当f(a)=f(b)时，有如下Rolle定理：Rolle定理：若f满足如下条件：（1）fe[a,b]：（2）f在(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，则存在E(ab)，使得f(5)=0。如把曲线弧AB用参数方程函数，则可得出以下中值定理：Cauchy定理：若函数f，g（x=g(u)，y=f(u)，ue[a,b]）满足如下条件：（1）f,ge[a,b]：（2）f,g在(ab)内可导：(3) ",g,至少有一个不为 0:(4) g(a) g(b)。在存在 e(ab),，使得=L)-1(g()g(b)-g(a)说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，V=g(x)，xE[a,b)，则以v为横坐标，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。（2）三个定理关系如下：Rolle (a)=(b) Lagrang ()=-Cauchy（3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)≠f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有f"(5)=0的情形发生。如y=sgnx，xe[-1,1]不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个e(-1,)，使得"(5)=0。（4) Lagang 定理中涉及的公式：1(5)=b)={(α)称之为“中值公b-a式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（i）f(b)-f(a)=f()(b-a)，e(a,b)：（i）f(b)f(a)=f(a+(b-a)0)(b-a)，0<<l;（ii)f(a+h)-f(a)=f(a+0h)h，0<0<1.此处，中值公式对a<b，a>b均成立。此时在a，b之间；（i）、（i）的好处在于无论a，b如何变化，θe(O,1)易于控制。三、中值定理的证明(略)四、极值定义3（极值）若函数f在区间I上有定义，XEI。若存在x的邻域U(x），使得对于任意的xEU(x），有f()≥f(x)，则称f在点x取得极大值，称点x为极大值点。若存在x的邻域U(x），使得对于任意的xeU(x)，有f(x)≤f(x)，则称f在点x取得极小值，称点x为极小值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。注1、极值是局部性概念，若f（xo）是极值，是和xo点附近的函数值比较而言的，和离x较远的地方无关；最值显然是对整个区间而言的，是整体概念。2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值，且最大值和最小值各有一个，最大值小于最小值（常函数除外），但可能无极值。即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值。因此若f(a)是函数的最值，则f(a)不可能是极值；若f(x）（xE(a,b)）是函数的最值，则一定是极值。（即最值不一定是极值，反之，极值也不一定是最值，因此极值有很多，但若极值只有一个，即为

《数学分析》教案特别地，当 f(a)=f(b)时，有如下 Rolle 定理： Rolle 定理：若 f 满足如下条件：（1）f  [a,b]；（2）f 在(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，则存在   (a,b)，使得 f ( ) 0  = 。如把曲线弧 AB 用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy 定理：若函数 f，g（x＝g(u)，y＝f(u)，u  [a,b]）满足如下条件：（1） f g a b , [ , ]  ；（2）f，g 在 (a,b)内可导；（3） f g   , 至少有一个不为 0；（4）g(a)  g(b)。在存在   (a,b)，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a    − =  − 。说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，x  [a,b]，则以 v 为横坐标，u 为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。（2）三个定理关系如下： f a f b g x x ( ) ( ) ( ) Rolle Lagrang Cauchy ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ = = （3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以 Rolle 定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)  f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立。但仍可知有 f ( ) 0  = 的情形发生。如 y=sgnx，x  [-1,1]不满足 Rolle 定理的任何条件，但存在无限多个   (-1,1)，使得 f ( ) 0  = 。（4）Lagrang 定理中涉及的公式： ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = − 称之为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)= f ( )  (b-a) ，  (a,b)；（ⅱ）f(b)- f(a)= f a b a b a ( ( ) )( ) + − −  ，0<  <1；（ⅲ）f(a+h)-f(a)= f a h h ( ) + ，0<  <1. 此处，中值公式对 a<b，a>b 均成立。此时  在 a，b 之间；（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论 a，b 如何变化，  (0,1) 易于控制。三、中值定理的证明(略) 四、极值定义 3（极值）若函数 f 在区间I 上有定义， 0 x I  。若存在 0 x 的邻域 0 U x( ) ，使得对于任意的 0 x U x  ( ) ，有 0 f x f x ( ) ( )  ，则称 f 在点 0 x 取得极大值，称点 0 x 为极大值点。若存在 0 x 的邻域 0 U x( ) ，使得对于任意的 0 x U x  ( ) ，有 0 f x f x ( ) ( )  ，则称 f 在点 0 x 取得极小值，称点 0 x 为极小值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。注 1、极值是局部性概念，若 0 f x( ) 是极值，是和 0 x 点附近的函数值比较而言的，和离 0 x 较远的地方无关；最值显然是对整个区间而言的，是整体概念。2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值，且最大值和最小值各有一个，最大值小于最小值（常函数除外），但可能无极值。即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值。因此若 f(a)是函数的最值，则 f(a)不可能是极值；若 0 f x( ) （ 0 x a b ( , ) ）是函数的最值，则一定是极值。（即最值不一定是极值，反之，极值也不一定是最值，因此极值有很多，但若极值只有一个，即为

《数学分析》教案最值。）极值存在的必要条件一一费马定理费马定理若函数在点x的邻域内有定义，且在点x可导。若x为f的极值点，则比有（）=0。（即可导极值点的导数为零。其几何意义：可导极值点出的切线平行于x轴），称满足方程f(x）=0的点为稳定点。由费马定理可知，可导极值点是稳定点，反之不然。如f（x）=x，点x=0是稳定点，但不是极值点。达布（Darboux）定理（导函数的介值定理）若函数f在[a,b)上可导，且f(a)±f(b)，k为介于f(a)和f(b)之间的任一实数，则至少存在一点e(a,b)，使得f()=k。五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步1、Rolle定理的推论：若f在[x，x]上连续，在(x，x)内可导，(x)=f(x)=0，则存在(x,x)，使得f()=0（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。2、Lagrange定理的推论：推论1若函数f在区间I上可导，且f(x)=0，xel，则f为I上的一个常量函数。几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。元简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有：arcsinx+arccosx2(2）在(-0,+o)上恒有：arctanx+arccotx=2推广：若f(x)在区间[a,b)上连续，且在（a,b）中除有限个点外有f(x)=0，则f在1上是常数函数。推论2若函数f和g均在I上可导，且f(x)=g(x)，xEI，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C，使得f(x)=g(x)+C。推论3（导数极限定理）设函数f在点x的某邻域U(x）内连续，在U(x）内可导，且limf(x)存在，则f在点x可导，且f(x）=limf(x)。应用一：关于方程根的讨论（存在性）一一主要应用Rolle定理例1设f为R上的可导函数，证明：若方程f(x)=0没有实根，则方程f(x)=0至多只有一个实根。例2设fe[a,b]，在[a,b]连续可微，在（a,b）二阶可微，且f(a)=f(b)=f'(a)=0，证明：f"(x)=0在(a,b)中至少有一个根。+号++%=0，证明：p(n)=Co+Gx+Cx++c,"=0至少有一正实根。例3已知Co+2n+1例4设f(x)=x-2x2+x，证明f(x)于（0,1）中至少有一根

《数学分析》教案最值。）极值存在的必要条件――费马定理费马定理若函数在点 0 x 的邻域内有定义，且在点 0 x 可导。若 0 x 为 f 的极值点，则比有 0 f x ( ) 0 = 。（即可导极值点的导数为零。其几何意义：可导极值点出的切线平行于 x 轴），称满足方程 0 f x ( ) 0 = 的点为稳定点。由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。如 3 f x x ( ) = ,点 x=0 是稳定点，但不是极值点。达布（Darboux）定理（导函数的介值定理）若函数 f 在[a,b]上可导，且 f a f b ( ) ( ) + −    ，k 为介于 f a( ) +  和 f b( ) −  之间的任一实数，则至少存在一点  ( , ) a b ，使得 f k ( )  = 。五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步 1、Rolle 定理的推论：若 f 在[ 1 x ， 2 x ]上连续，在( 1 x ， 2 x )内可导， 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 = = ，则存在 1 2  ( , ) x x ，使得 f ( ) 0  = （简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。 2、Lagrange 定理的推论：推论 1 若函数 f 在区间 I 上可导，且 f x ( ) 0 = ， x I  ，则 f 为 I 上的一个常量函数。几何意义：斜率处处为 0 的曲线一定是平行于 x 轴的直线。简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有： arcsin arccos 2 x x  + = ，（2）在 ( , ) − + 上恒有： arctan arccot 2 x x  + = 推广：若 f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b）中除有限个点外有 f x ( ) 0 = ，则 f 在 I 上是常数函数。推论 2 若函数 f 和 g 均在 I 上可导，且 f x g x   ( ) ( ) = ，x I  ，则在区间 I 上 f(x)与 g(x)只差一个常数，即存在常数 C，使得 f x g x C ( ) ( ) = + 。推论 3 （导数极限定理）设函数 f 在点 0 x 的某邻域 0 U x( ) 内连续，在 0 U x( ) 内可导，且 0 lim ( ) x x f x →  存在，则 f 在点 0 x 可导，且 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x →   = 。应用一：关于方程根的讨论（存在性）――主要应用 Rolle 定理例 1 设 f 为 R 上的可导函数，证明：若方程 f x ( ) 0 = 没有实根，则方程 f(x)=0 至多只有一个实根。例 2 设 f [ , ] a b ，在 [ , ] a b 连续可微，在（a,b）二阶可微，且 f a f b f a ( ) ( ) ( ) 0 = = =  ，证明： f x ( ) 0 = 在(a,b)中至少有一个根。例 3 已知 1 0 0 2 1 n c c c n + + + = + ，证明： 2 0 1 2 ( ) 0 n n p x c c x c x c x = + + + + = 至少有一正实根。例 4 设 4 2 f x x x x ( ) 2 = − + ，证明 f x ( ) 于（0,1）中至少有一根

《数学分析》教案例 5 设 f x C ( ) [0,1]  ，在（0,1）可导，证明：若 f(0)=f(1)=0，则在（0,1）内存在一点 0 x ，使得 0 0 f x f x ( ) ( ) = 。例 6 设 f 在[a,b]（a>0）上连续；在(a,b)内可导，则存在   (a,b)，使得 f(b)-f(a)= ( )ln b f a   。例 7 设 1 2 x x, 0  ，证明： 1 2   ( , ) x x 满足 2 1 1 2 1 2 (1 ) ( ) x x x e x e e x x  − = − −  。应用二：用中值定理证明公式例 8 证明：对一切 h>-1，h≠0 有公式 ln(1 ) 1 h h h h  +  + 例 9 证明：当 a>b>0 时， ln a b a a b a b b − −   。例 10 证明： | sin sin | | | x y x y −  − ，  x y R , 。例 11 设 f 在[0,a]一阶连续可微，在(0,a)二阶可微，且存在正数 M 使 | ( ) | f x M   ，又设 f 在(0,a)存在稳定点 c，证明： | (0) | | ( ) | f f a Ma   +  。六、函数的单调性定理 1 设 f(x)在区间 I 上可导，则 f(x)在 I 上递增（减）    f x ( ) 0( 0). 注（1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。例 12 设 3 f x x x ( ) = − ，试讨论函数 f 的单调区间。（2）从实现充分性的证明中发现，若 2 1 f x f x f x ( ) 0( 0) ( ) ( )     2 1 ( ( ) ( )) f x f x  ，即 f 严格递增（减），从而有如下推论：推论设函数 f 在区间 I 上可微，若 f x ( ) 0( 0)   ，则 f 在 I 上严格递增（减）。（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。定理 2 若函数 f 在(a,b)内可导，则 f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对一切 x a b ( , ) ，有 f x ( ) 0( 0)   ；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上 f x ( ) 0  。（4）一个问题：f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内严格递增（减），那么 f(x)在[a,b]上是否一定严格递增（减）呢？答案：不一定。推论若 f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且 y=f(x)在右端点 a 右连续，则 f 在[a,b]上变为严格递增（减），对左端点 b 也有类似讨论。例 13 证明等式：当 x  0 时， 1 x e x  + 例 14 证明： x  0 时， 3 sin 3! x x x  − 例 15 已知 f f +  0 ，证明： f x( ) 0 = 至多只有一个根

《数学分析》教案例 16 证明方程： sin 0 2 x x − = 只有一个根 x = 0 。 §2. Cauchy 定理和不定式的极限教学目的：掌握 L’Hospital 法则，或正确运用后求某些不定式的极限。教学要求：熟练掌握 L’Hospital 法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital 法则教学难点： L’Hospital 法则的使用技巧。教学方法：问题教学法，结合练习。学时安排： 2 学时教学程序： 1、什么是不定式极限在第 3 章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1)，但 0(1) 0(1) 不一定是无穷小量，甚至于两个无穷小量极限不存在，例如：（1）当 x →0，sin 0(1) x = ， x = 0(1) ， 0 sin lim 1 0 x x → x =  ，即 sin 0(1) x x  ；（2）当 x →0， 2 x = 0(1) ， x = 0(1) ， 2 0 lim 0 x x → x = ，即 0(1) x x = ；（3）当 x →0， 2 x = 0(1) ， x = 0(1) ， 2 0 lim x x → x 不存在。由此可见，两个无穷小量之比的极限是不确定的，于是我们把这种类型的极限称为“ 0 0 ”型的不等式极限。除了 0 0 型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：（ⅰ）   型；（ⅱ）  −  型；（ⅲ） 0 型；（ⅳ） 0 0 型；（ⅴ） 1  型；（ⅵ） 0  ， 0  型等，其中最基本的是 0 0 型和   型，其它类型都可化成这两种基本类型来解决。 2、 0 0 不定式极限的计算当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 是 0 0 型时，困难在于极限商的运算失效！例 1 2 0 1 cos lim x x → x − . 在此之前，我们是借助于 0 sin lim 1 x x → x = 或等价变换来解决。这两种解决有些问题是有效的，但遗憾的是把 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 化为 0 sin lim x x → x 类型时，或寻求等价变换时往往需要很大的运算量，甚至很难找到等价量。例 2 2 1 cos lim x x → tan x +

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第六章 微分中值定理及其应用

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第六章微分中值定理及其应用