《数学分析》教素第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：20学时s1可微性一：可微性与全微分：1.可微性：由一元函数引入．o((Ar)2+（）"）亦可写为△+By，(x,4)→(0,0)时 (α,P)→(0,0).2．全微分：例1考查函数f(x，）)=V在点（，）处的可微性：P107例1二． 偏导数：1．偏导数的定义、记法：2.偏导数的几何意义：P109图案17—1..1
《数学分析》教案 - 1 - 第十七章 多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续 及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性 及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是 复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：20 学时 § 1 可微性 一． 可微性与全微分： 1．可微性： 由一元函数引入. 亦可写为 , 时 . 2． 全微分: 例 1 考查函数 在点 处的可微性 . P107 例 1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: P109 图案 17—1
《数学分析》教素3.求偏导数：例2，3，4：P109—110例2，3，4.例5J(x,)=(x2+2x+3)sin(2y+1)：求偏导数例6 J(x,y)=xn(x+1)+2+1.求偏导数.x+y例 7 (x,J)=求偏导数,并求J.(2,-1)Jx+y?3x+y2+2例 8(x,J)= xy2 +(x-2)n求(2,)和J,(2,1)2y2 +x+1解 J,(2,y)= f(2,y)=(2)=4yJ,(2,1)= J(2,J)=4.x3 +y2×2+2#0Vx2+y例 9J(x,y)=0,x3+y2=0证明函数(x,)在点（0,0)连续，并求,(0,0)和,0,0）p*(pcos* ++sin *e)证limf(x,)0→0(x.,g)→(0,0)P=lim,p(pcos3@+sin*0)=0=f(00).(x,)在点（00)连续x3(x,0) -f(0,0)J(0,0)=limlim=0,-→0xx-0 x|x|-2 -
《数学分析》教案 - 2 - 3. 求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109—110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例 7 . 求偏导数, 并求 . 例 8 . 求 和 . 解 = , = . 例 9 证明函数 在点 连续 , 并求 和 . 证 . 在点 连续 .
《数学分析》教紫y2f(0,y) -f (0,0)f,(0,0) = lim不存在。limV-fJ-oyy三.可微条件：1.必要条件：Th1设(,yo)为函数(x,)定义域的内点.f(x,y)在点(x,y)可微= J(,y)和f,(xo,y)存在，且(证)afl(am%) =df(xo, 0) -f(xo,y0)Ax+ f,(xo,y0)Ay.由于△x=dx，Ay=dy，微分记为df(xo,yo)=Jr(xo,yo)dx+f,(xo,yo)dy.定理1给出了计算可微函数全微分的方法两个偏导数存在是可微的必要条件，但不充分，例 10 考查函数xy0/x3+)f(x,y) =x2+y3=00,[1]P110例5.在原点的可微性：2.充分条件：- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - 不存在 . 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设 为函数 定义域的内点. 在点 可微 , 和 存在 , 且 . ( 证 ) 由于 , 微分记为 . 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例 5 . 2. 充分条件:
《数学分析》教素Th 2若函数z=f(x,)的偏导数在的某邻域内存在，且J,和,在（证）P111点（o，%)处连续：则函数f在点（，yo)可微.Th3若f（x)在点（，)处连续，f(x,)点（，)存在则函数于在点（，）可微：证(x +Ax,yo +4y) -f (xo,yo)==[f(x + Ax, o + y) - f(xo + x, 0)]+[f(xo + △x, J0) - f(xg ,J0)]==f,(x+xy+y)y +(xyo)Ax+ox =0<<1, α0β-0[f,(x0,) +pAy+f.(x0,0)Ar +ox ==f.(xo,y0)Ax+J,(xo,o)y+or+By即于在点（，%)可微。要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件：12+y2#0y)sin例 112+Vf(x,y)0,x2 +y2=0验证函数(x,y)在点（0,0)可微，但J和J在点（0,0)处不连续：（简证，留为作业)1f(x,y)证>0(x,y)→(0, 0).R+y2p-4 -
《数学分析》教案 - 4 - Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在 点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 . 证 . 即 在点 可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11 验证函数 在点 可微 , 但 和 在点 处不连续 . (简 证,留为作业) 证
《数学分析》教素因此(x,)=op)，即f(x,)-J(0,0)=0△x+0△+o(p),但(x,J)(0,0)时，有f在点(0,0)可微，J(0,0)=0，J,(0,0)=0.11XJ,(x,y)=2xsin2OVx3 +y2Vx3 +y2/x2 +y2T4不存在，沿方向=kx,极限沿方向=kx,limlir4x|~/1+#21xlim不存在；又(x,)→(0,0)时,x-→0x2Vx?+y+y12x sin→0,因此，lim.0)(x,）不存在，于在点（0,0)处不连Vx? +y2续.由关于x和对称，也在点（0,0）处不连续：四.中值定理：Th4设函数f在点（r，y）的某邻域内存在偏导数：若（x,J)属于该邻域，则存在=+(x)和=%+(-)0< <1, 0<,<1,使得（证）f(x,y)-f(xg,yo)=J,(,y)(x -xo)+ J,(o,)-yo).例12设在区域D内J=,=0.证明在D内(x)=c.五．连续、偏导数存在及可微之间的关系：六可微性的几何意义与应用：-5-
《数学分析》教案 - 5 - 因此 , 即 , 在点 可微 , . 但 时, 有 , 沿方向 不存在, 沿方向 极限 不存在 ; 又 时, ,因此, 不存在 , 在点 处不连 续. 由 关于 和 对称, 也在点 处不连续 . 四. 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于 该邻域 , 则存在 和 , , 使得 . ( 证 ) 例 12 设在区域 D 内 . 证明在 D 内 . 五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六. 可微性的几何意义与应用：