第七章实数的完备性教学目标：理解确界定理、区间套定理柯西收敛准则，有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理单调有界定理及其相互推证、应用。2培养严密的逻辑推理能力
数 学 分 析 第七章 实数的完备性 教学目标： 1 理解确界定理、区间套定理、 柯西收敛准则，有限覆盖定 理、聚点定理、致密性定理 、单调有界定理及其相互推 证、应用。 2 培养严密的逻辑推理能力
81关于实数集完备性的基本定理区间套定理与柯西收敛准则定义1区间套：设([αn,bn ])是一闭区间序列．若满足条件i)对Vn,有[an+I,bn+]c[an,b,],即α,≤αn+1<bn+1≤bn，亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ii） b,-a,→0,（n→α)．即当n→ 时区间长度趋于零,则称该闭区间序列为闭区间套，简称为区间套。区间套还可表达为
第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 区间套: 设{[ , ]} an bn 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ） 对 n , 有 [ , ] an +1 bn +1 [ , ] an bn , 即 an an+1 bn+1 bn , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） − → 0, bn an (n → ) . 即当n → 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: § 1 关于实数集完备性的基本定理
b, -an →0,α≤a ≤..≤an ≤...<...≤b ≤..≤b, ≤b..(n → ) .我们要提请大家注意的是，这里涉及两个数列（α，}和（b，}，其中(a递增,(b,}递减例如 ([-,-])和([0,-])都是区间套．但Y([1+(1), 1+21) nn(0,= 1) 和([-1 , 1+-1) 都不是.hnn区间套定理
, a1 a2 an bn b2 b1 − → 0, bn an (n → ) . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{ } an 和 { } bn , 其 中{ } n a 递增,{ } n b 递减. 例如 ]} 1 , 1 {[ n n − 和 ]} 1 {[ 0 , n 都是区间套. 但 ]} 2 , 1 ( 1 ) {[1 n n n + − + 、 ]} 1 { ( 0 , n 和 ]} 1 , 1 1 {[ n n − + 都不是. 一 区间套定理
定理 7.1(区间套定理）设([α，,b,J是一闭区间套．则在实数系中存在唯一的点 ，使对Vn有e[α,,b,]简言之，区间套必有唯一公共点二聚点定理与有限覆盖定理定义设E是无穷点集．若在点（未必属于E)的任何邻域内有E的无穷多个点，则称点三为E的一个聚点数集 E={-}有唯一聚点 0，但 0 E;n开区间（0,1)的全体聚点之集是闭区间[0,1];
定理 7.1(区间套定理) 设{[ , ]} n n a b 是一闭区间套. 则在实数系 中存在唯一的点 , 使对 n 有 [ , ] n n a b . 简言之, 区间套必有 唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义 设 E 是无穷点集. 若在点 (未必属于 E )的任何邻域内 有 E 的无穷多个点, 则称点 为 E 的一个聚点. 数集 E = } 1 { n 有唯一聚点 0 , 但 0 E ; 开区间 ( 0 ,1 )的全体聚点之集是闭区间[ 0 ,1];
定理7.2（Weierstrass）任一有界数列必有收敛子列2.聚点原理：Weierstrass聚点原理Th 6每一个有界无穷点集必有聚点，l．列紧性：亦称为 Weierstrass收敛子列定理四. Cauchy 收敛准则— 数列收敛的充要条件：1. 基本列：回顾基本列概念·基本列的直观意义．基本列亦称为Cauchy列例1 验证以下两数列为 Cauchy 列 :(1) x, = 0.9sin 0.9+0.92 sin 0.9 +...+0.9" sin ^/0.9(-1)"+11.1(2)an =1352n -1
定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 1. 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列 亦称为 Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ n n n x 0.9sin 0.9 0.9 sin 0.9 0.9 sin 0.9 2 = + ++ . ⑵ 2 1 ( 1 ) 5 1 3 1 1 1 − − = − + − + + n a n n