《数学分析》教案第七章实数的完备性(6学时)81关于实数完备性的基本定理教学目的要求：掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.学时安排：4学时教学方法：讲授法教学过程如下一、区间套定理与柯西收敛准则定义1设闭区间列([a,,b,具有如下性质：(1) [a,b,]-[an1,bn+i],n=1,2,..;(2) lim(b,-a,)=0则称（[an，b,])为闭区间套，或简称区间套定理7.1(区间套定理）若{[a,,b,I)是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点使得5[an,b,],n=1,2,.,即a,≤g≤b.,n=1,2,....证：先证存在性{[a.,b,)是一个区间套，所以a≤a,≤…≤a,≤…≤b,≤…≤b,≤b,..可设lima,=5且由条件2有limb,=lim(b,-a,+b,)=lima,=≤+→由单调有界定理的证明过程有a,≤≤b,n=l,2再证唯一性设也满足a≤≤b,n=1,2…那么，5-≤b-a,n=1,2….由区间套的条件2得5-≤lim(b,-a）=0故有==推论若e[a,b,(n=1,2,)是区间套([a,,b,)所确定的点,则对任给的s>0,存在N>0,使得当n>N时有[an,b,]cU(5,a)柯西收敛准则数列(a,}收敛的充要条件是：对任给的ε>0,存在N>0,使得对m,n>N有
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 (6 学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明. 学时安排: 4 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 设闭区间列 {[ , ]} n n a b 具有如下性质： （1） 1 1 [ , ] [ , ], 1,2, ; n n n n a b a b n = + + （2） lim( ) 0 n n n b a → − = 则称 {[ , ]} n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定 理 7.1( 区间套定理 ) 若 {[ , ]} n n a b 是一个区间套 , 则在实数系中存在唯一的一点 使得 [ , ], 1,2, n n = a b n ,即 , 1,2, . n n a b n = 证: 先证存在性 {[ , ]} n n a b 是一个区间套, 所以 1 2 2 1, n n a a a b b b 可设 lim n n a → = 且由条件 2 有 lim lim( ) lim n n n n n n n n b b a b a → → → = − + = = 由单调有界定理的证明过程有 , 1,2, . n n a b n = 再证唯一性 设 也满足 , 1,2, . n n a b n = 那么, , 1,2, . n n − − = b a n 由区间套的条件 2 得 lim( ) 0 n n n b a → − − = 故有 = 推论 若 [ , ]( 1,2, ) n n = a b n 是区间套 {[ , ]} n n a b 所确定的点,则对任给的 0 ,存在 N 0,使得当 n N 时有 [ , ] ( , ) n n a b U 柯西收敛准则 数列{ }n a 收敛的充要条件是: 对任给的 0 ,存在 N 0,使得对m n N , 有
《数学分析》教案la.-a,ks.证【必要性]】略[充分性]】已知条件可改为：对任给的s>0,存在N>0,使得对m,n≥N有|am-a,下ε取m=N，有对任给的s>0,存在N>0,使得对n≥N有|a-a,6，即在区间[a-s,a+]内含有(a,)中几乎所有的项（指的是(a,}中除有限项的所有项）11..令6=则存在N，在区间[a%-2am+]内含有(a,中几乎所有的项，2记该区间为[αi,β]则存在N,(>N)，在区间[am-，am+再令6=]内含有(a,中几乎所有的项，22221记该区间为[α2,β]=[a，,+,]N[α,β]也含有(a,}中几乎所有的项,且满足1[α,β]-[α2,β,]及 β, -α, ≤211依次继续令6：，得一区间列α.，β,其中每个区间中都含有a中几乎所有的项，且2n23,满足[αn,β,]-[αn+,βn],n=1,2,..;1β,-α,≤0(n→)2-1-即时([α,β,)是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数[αn,β,],n=1,2,…再证lima,=5.由定理7.1的推论对任给的>0,存在N>0,使得当n>N时有[αn,,]cU(5,)即在U(,)内含(a,}中除有限项的所有项，由定义1lima,=二、点定理与有限覆盖定理定义2设S为数轴上产的点集，为定点，若的任何邻域内都有含有S中无穷多个点，则称=为点集S的一个聚点例如：((-1)"+)有两聚点=1,=-1n()有一个聚点=0n(a,b)内的点都是它的聚点,所以开区间集（a,b)有无穷多个聚点聚点的等价定义：定义2'对于点集S,若点的任何ε邻域内都含有S中异于的点，即U（)NS+の，则称为S的
《数学分析》教案 | | m n a a − . 证 [必要性] 略. [充分性] 已知条件可改为：对任给的 0 ,存在 N 0,使得对 m n N , 有 | | m n a a − . 取 m N= ，有对任给的 0 ,存在 N 0,使得对 n N 有 | | m n a a − ，即 在区间 [ , ] N N a a − + 内含有 { }n a 中几乎所有的项（指的是 { }n a 中除有限项的所有项） 令 1 2 = 则存在 N1 ，在区间 1 1 1 1 [ , ] 2 2 N N a a − + 内含有 { }n a 中几乎所有的项， 记该区间为 1 1 [ , ] . 再令 2 1 2 = 则存在 2 1 N N ( ) ，在区间 1 1 2 2 1 1 [ , ] 2 2 N N a a − + 内含有 { }n a 中几乎所有的项， 记该区间为 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] 2 2 N N = − + a a 也含有 { }n a 中几乎所有的项,且满足 1 1 2 2 [ , ] [ , ] 及 2 2 1 . 2 − 依次继续令 3 1 1 , , , , 2 2n = 得一区间列 {[ , ]} n n ,其中每个区间中都含有 { }n a 中几乎所有的项,且 满足 1 1 [ , ] [ , ], 1,2, ; n n n n n = + + 1 1 0( ), 2 n n n n − − → → 即时 {[ , ]} n n 是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数 [ , ], 1,2, n n = n . 再证 lim n n a → = .由定理 7.1 的推论对任给的 0 ,存在 N 0,使得当 n N 时有 [ , ] ( , ) n n U 即在 U( , ) 内含 { }n a 中除有限项的所有项,由定义 1 lim n n a → = . 二、聚点定理与有限覆盖定理 定义 2 设 S 为数轴上产的点集， 为定点，若 的任何邻域内都有含有 S 中无穷多个点，则称 为点集 S 的一个聚点. 例如: 1 {( 1) } n n − + 有两聚点 = = − 1, 1. 1 { } n 有一个聚点 = 0 . ( , ) a b 内的点都是它的聚点,所以开区间集 ( , ) a b 有无穷多个聚点. 聚点的等价定义; 定义 2 对于点集 S ,若点 的任何 邻域内都含有 S 中异于 的点,即 0 U S ( ; ) ,则称 为 S 的
《数学分析》教案一个聚点.定义2"若存在各项互异的数列(x,}CS,则其极限limx,==称为S的一个聚点三个定义等价性的证明证明思路为：2=2=2"=2定义2'=2"的证明由定义2设=为S的一个聚点,则对任给的>0,存在xeU（,s)nS令=1则存在xU（)n令82=min(15-xD,则存在xeU5;82)n,且显然x±x;1...令8,=min(15--D则存在U（;)n且显然与X,X-互异；得S中各项互异的数列(x),且由5,-x,8,≤=,知limx,=5nn-由闭区间套定理可证聚点定理定理7.2（Weierstrass聚点定理）实数轴上的任一有界无限点集S致少有一个聚点证S有界，..存在M>0,使得Sc[-M,M],记[a,b]=[-M,M],将[α,b]等分为两个子区间.因S为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[az,b,],则[a,b]-[az,b,]且b,-a,=(b-a)=M再将[α2,b,]等分为两个子区间,则其中至少有一个含有S中无穷多个点取出这样一个子区间记为[6,b],则[6,b][05,],且b -4,=1(b -4,)=2依次继续得一区间列([an，b,J),它满足：[an,b,][an+t,bni],n=1,2,..,Mb,=α,=→0(n→0),即（[a,,b,J)为闭区间套且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点由区间套定理，存在唯一的一点使得=e[a,,b,],n=1,2,·.由定理1的推论，对任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N时有[a,b,]cU(,).从而U(;)含有S中无穷多个点按定义2为S的一个聚点推论（致密性定理）有界数列必含有收敛子列证：设(x为有界数列.若(x中有无限多个相等的项，显然成立
《数学分析》教案 一个聚点. 定义 2 若存在各项互异的数列 { }n x S ,则其极限 lim n n x → = 称为 S 的一个聚点. 三个定义等价性的证明: 证明思路为: 2 2 2 2 . 定义 2 2 的证明: 由定义 2 设 为 S 的一个聚点,则对任给的 0 ,存在 0 x U S ( , ) . 令 1 =1,则存在 0 1 x U S ( , ) ; 令 2 1 1 min( ,| |) 2 = − x ,则存在 0 2 2 x U S ( ; ) ,且显然 2 1 x x ; 令 1 1 min( ,| |) 2 n n x = − − ,则存在 0 ( ; ) n n x U S ,且显然 n x 与 1 1 , , n x x − 互异; 得 S 中各项互异的数列 { }n x ,且由 1 | | n n n x n − ,知 lim n n x → = . 由闭区间套定理可证聚点定理. 定理 7.2 (Weierstrass 聚点定理) 实数轴上的任一有界无限点集 S 致少有一个聚点. 证 S 有界, 存在 M 0 ,使得 S M M −[ , ],记 1 1 [ , ] [ , ] a b M M = − , 将 1 1 [ , ] a b 等分为两个子区间.因 S 为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有 S 中无穷多个点,记此 子区间为 2 2 [ , ] a b ,则 1 1 2 2 [ , ] [ , ] a b a b 且 1 2 2 1 1 2 b a b a M − = − = ( ) . 再将 2 2 [ , ] a b 等分为两个子区间,则其中至少有一个含有 S 中无穷多个点,取出这样一个子区间记为 3 3 [ , ] a b ,则 2 2 3 3 [ , ] [ , ] a b a b ,且 1 3 3 2 2 2 ( ) 2 M b a b a − = − = 依次继续得一区间列 {[ , ]} n n a b ,它满足: 1 1 [ , ] [ , ], 1,2, ; n n n n a b a b n = + + 2 0( ), 2 n n n M b a n − − = → → 即 {[ , ]} n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点. 由区间套定理, 存在唯一的一点 使得 [ , ], 1,2, n n = a b n .由定理 1 的推论, 对任给的 0 ,存在 N 0,使得当 n N 时有 [ , ] ( , ) n n a b U .从而 U( ; ) 含有 S 中无穷多个点按定义 2 为 S 的一 个聚点. 推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列. 证: 设{ }n x 为有界数列.若{ }n x 中有无限多个相等的项,显然成立
《数学分析》教案若数列(x,)中不含有无限多个相等的项,则(x,}在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理，点集(x)至少有一个聚点,记为=.由定义2",存在(x,)的一个收敛子列(以=为极限)由致密性定理证柯西收敛准则的充分性柯西收敛准则数列(a,)收敛的充要条件是：对任给的ε>0,存在N>0,使得对m,n>N有am-a,ks.证：[充分性]先证(a,}有界,由忆知条件取ε=1,则存在正整数N,则m=N+1及n>N时有Ia,-ax k1由此得a,Ha,-an++an+kl+an+l取M=maxla,llazllal,+an+)则对一切的正整数n均有|a,M再证(a,)收敛,由致密性定理,数列(a,)有收敛子列(a,),设limam=A由条件及数列极限的定义，对任给的ε>0,存在K>0,使得对m,n,k>N有am-ank,lan-Ake取m=n(≥k>K)时得到[a,-Aa,-am/+|a-A22所以limam=A定义3设S为数思轴上的点集，H为开区间集合(即H的每一个元素都是形如(α,β)的开区间).若S中的任何一个点都有含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，（H覆盖S）.若H中开区间的个数是无限的(有限)的,则称H为S的一个无限开覆盖(人限开覆盖)如S=(a,b),H=(x-ox+o)/xe(a,b),H为S的一个无限开覆盖定理7.3(海涅---博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理）设H为闭区间[a,b]的一个（无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]证用反证法设定理的结论不成立,即不能用H中有限个开区间来覆盖[α,b]将[α,b]等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为(b-a)[a,b],则[αj,b]c[a,b],且b -a =2再将[α,b]等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个
《数学分析》教案 若数列 { }n x 中不含有无限多个相等的项,则 { }n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定 理,点集 { }n x 至少有一个聚点,记为 .由定义 2 ,存在 { }n x 的一个收敛子列(以 为极限). 由致密性定理证柯西收敛准则的充分性. 柯西收敛准则 数列 { }n a 收敛的充要条件是: 对任给的 0 ,存在 N 0,使得对 m n N , 有 | | m n a a − . 证: [充分性] 先证 { }n a 有界,由忆知条件取 =1,则存在正整数 N, 则 m N= +1 及 n N 时有 1 | | 1 n N a a − + 由此得 1 1 1 | | | | 1 | | n n N N N a a a a a = − + + + + + . 取 M a a a a = + max{| |,| |, ,| |,1 | |} 1 2 1 N N+ 则对一切的正整数 n 均有 | | n a M . 再证 { }n a 收敛,由致密性定理,数列 { }n a 有收敛子列 { } k n a ,设 lim k n k a A → = 由条件及数列极限的定义, 对任给的 0 ,存在 K 0,使得对 m n k N , , 有 | | m n a a − ，| | k n a A − 取 ( ) m n k K = k 时得到 | | | | | | 2 k k n n n n a A a a a A − − + − 所以 lim k n k a A → = 定义 3 设 S 为数思轴上的点集, H 为开区间集合(即 H 的每一个元素都是形如 ( , ) 的开区间).若 S 中 的任何一个点都有含在 H 中至少一个开区间内,则称 H 为 S 的一个开覆盖,( H 覆盖 S ).若 H 中开区间的个 数是无限的(有限)的,则称 H 为 S 的一个无限开覆盖(人限开覆盖). 如 S a b = ( , ), {( , ) | ( , )}, H x x x a b x x = − + H 为 S 的一个无限开覆盖. 定理 7.3(海涅-博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设 H 为闭区间 [ , ] a b 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中 可选出有限个开区间来覆盖 [ , ] a b . 证 用反证法 设定理的结论不成立,即不能用 H 中有限个开区间来覆盖 [ , ] a b . 将 [ , ] a b 等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为 1 1 [ , ] a b ,则 1 1 [ , ] [ , ] a b a b ,且 1 1 1 ( ) 2 b a b a − = − . 再将 1 1 [ , ] a b 等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖.记这个
《数学分析》教案1(b-a)子区间为[a,b],则[64,b]c[4,4],且b,-42=(依次继续得一区间列([a,b,),它满足[an,b,]-[an+,bn],n=1,2,..,=二(b-a) → 0(n → 8),b,-a,2″即([an,b,1为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖由闭区间套定理，存在唯一的一点使得=e[a,,b,],n=1,2,",由于H为闭区间[a,b]的一个（无限)开覆盖,故存在(α,β)H,使得=e(α,β),于是,由定理7.1的推论,当n充分大时有[an,b,]C(α,β)即用H中一个开区间就能覆盖[a,b,]矛盾课后记：这一节理论性强，学生学习困难较大，我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节1如何理解记忆定理内容.2如何掌握定理的证明方法.3怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题在应用闭区间套定理时，应先构造一个闭区间套，构造的方法一般是二等分法，在应用有限覆盖定理时，应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等教材中P163[α2,β,]中包含(a,)的几乎所有项,是因为它中包含(a,)的第N,项以后的所有项,这里应强掉，容易被忽略在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点，重点三、实数基本定理等价性的证明（未讲）证明若干个命题等价的一般方法本节证明七个实数基本定理等价性的路线：证明按以下三条路线进行：I：确界原理=单调有界原理=区间套定理=Cauchy收敛准则=确界原理；I :区间套定理=致密性定理=Cauchy收敛准则；II:区间套定理=Heine-Borel有限复盖定理=区间套定理“I”的证明：（“确界原理一直-.单调有界原理”已证明过）.1.用“确界原理”证明“单调有界原理”：定理7.4单调有界数列必收敛：
《数学分析》教案 子区间为 2 2 [ , ] a b ,则 2 2 1 1 [ , ] [ , ] a b a b ,且 2 2 2 1 ( ) 2 b a b a − = − . 依次继续得一区间列 {[ , ]} n n a b ,它满足: 1 1 [ , ] [ , ], 1,2, ; n n n n a b a b n = + + 1 ( ) 0( ), 2 n n n b a b a n − = − → → 即 {[ , ]} n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用 H 中有限个开区间来覆盖 由闭区间套定理, 存在唯一的一点 使得 [ , ], 1,2, n n = a b n ,由于 H 为闭区间 [ , ] a b 的一个(无限) 开覆盖,故存在 ( , ) , H 使得 ( , ) .于是,由定理7.1的推论,当 n 充分大时有 [ , ] ( , ) n n a b . 即用 H 中一个开区间就能覆盖 [ , ] n n a b 矛盾. 课后记: 这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节. 1 如何理解记忆定理内容. 2 如何掌握定理的证明方法. 3 怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题. 在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应 先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等. 教材中 P163 2 2 [ , ] 中包含 { }n a 的几乎所有项,是因为它中包含 { }n a 的第 N2 项以后的所有项,这里应强 掉,容易被忽略. 在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点,重点. 三、 实数基本定理等价性的证明（未讲） 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 . 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 7.4 单调有界数列必收敛