《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十三章 函数列与函数项级数

《数学分析》教案第十三章函数列与函数项级数(12学时)81一致收敛性教学目的：让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法，教学重点难点：一致收敛定义、一致收敛的柯西准则、一致收敛的充要条件、一致收敛的优级数判别法、阿贝耳判别法和秋利克雷判别法：一致收敛与非一致收敛的定义的几何解释、例3、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法的应用和证明学时安排：6学时教学方法：讲授法.教学过程：我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。-函数列及其一致收敛性。设(1)f,f.......是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记为：(.)或J.,n=1,2,..。设x。EE，将x代入fi.f..,f.，.得到数列：(2)f(xo), f.(x),., f.(x),...若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点x。收敛，x。称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点x。发散。则称函数列（1）在数集DCE上每一点都收敛，则称（1）在数集D上收敛。这时VxED，都有数列(f,（x))的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D上的一个函数，称它为函数列(f,)的极限函数。记作。于是，有lim f,(x)=f(x), xeD, 或 J,(x)→f(x)(n→0), xeD。函数列极限的ε-N定义对每一个固定的xED，对V>0，N>0（注意：一般说来N值的确定与ε和x的值都有关），使得当n>N时，总有f,(x)-f(x)<8。使函数列，收敛的全体收敛点的集合，称为函数列的收敛域。例1设f,(x)=x"，n=1,2,为定义在(-o0,)上的函数列，证明它的收敛域是(-1,1)，且有极限函[0,x| <1数(3)f(x)=[1,x =1

《数学分析》教案 第十三章 函数列与函数项级数 (12 学时) §1 一致收敛性 教学目的： 让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法． 教学重点难点：一致收敛定义、一致收敛的柯西准则、一致收敛的充要条件、一致收敛的优级数判别法、阿 贝耳判别法和狄利克雷判别法．一致收敛与非一致收敛的定义的几何解释、例 3、阿贝耳判 别法和狄利克雷判别法的应用和证明． 学时安排： 6 学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数） 来表示或定义一个函数。 一 函数列及其一致收敛性。 设 f 1 , f 2 ,  , f n ,  （1） 是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列。也可简记为： { }n f 或 n f ， n = 1,2, 。 设 x0  E ，将 0 x 代入 f 1 , f 2 ,  , f n ,  得到数列： f 1 (x0 ), f 2 (x0 ), , f n (x0 ), （2） 若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点 0 x 收敛， 0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函 数列（1）在点 0 x 发散。则称函数列（1）在数集 D  E 上每一点都收敛，则称（1）在数集 D 上收敛。这时 xD ，都有数列 { f (x)} n 的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了 D 上的一个函数，称它为函 数列 { }n f 的极限函数。记作 f 。于是，有 lim f (x) f (x) n n = → ， xD ，或 f (x) f (x) n → (n → )， xD。 函数列极限的  − N 定义 对每一个固定的 xD ，对   0，N  0 （注意：一般说来 N 值的确定 与  和 x 的值都有关），使得当 n  N 时，总有 f (x) − f (x)   n 。 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列 { }n f 的收敛域。 例 1 设 n n f (x) = x ， n = 1,2,  为定义在 (−,) 上的函数列，证明它的收敛域是 (−1,1] ，且有极限函 数    =  = 1, 1 0, 1 ( ) x x f x （3）

《数学分析》教案Ing证任给>0(不妨设<1),当0<μ<1时，由于,(x)-f(x)=x"，故只要取N(s,x)=In|x则当n>N(,x)时，就有f,(x)-f(x)<8。而当x=0和x=1时，则对任何正整数n，都有f,(0)-f(0)=0<8, f,(1)-f(1)=0<8 。这就证得（f，）在（-1,1上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。当≤>1时，则有”→+oo(n→)，当x=-1时，对应的数列为-1,1,-1,1,….它显然是发散的。所以函数列()在区间(-1,1)外都是发散的。例 2 定义在(-0,+o0)上的函数列 ,(a)=sin mxn=1,2,…，由于对任何实数x，都有nsinnxsin nxIsnnx，故对任给的ε>0，只要n>N=的收敛域为。所以函数列就nn6n无限区间(-00,+o)，函数极限f(x)=0。定义1设函数列（f，)与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数6，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切的xED，都有[f,(x)- f(x)|<8则称函数列(J,)在D上一致收敛于，记作：J,(x)f(x)(n→o),xeD。定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列（f.)在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给的正数6，总存在正数N，使得当n,m>N时，对一切xeD，都有(4)If,(x)-f(x)<8 。证[必要性]】设于,(x)f(x）(n→)，xED，即对任给ε>0，存在正数N，使得当n>N时，对一切xeD，都有L(- a -g-(5)于是当n,m>N，由（5）就有1,(x)- Jm(x)≤,(x)- (x)+1(x)- Tm()号+号=8。22[充分性】若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则，（f，)在D上任一点都收敛，记其极限函数为f(x），xED。现固定（4）式中的n，让m→o0，于是当n>N时，对一切xED都有If,(x)-f(x)≤8。由定义 1, f,(x)f(x)(n→o), xeD

《数学分析》教案 证 任给   0 （不妨设  1 ），当 0  x 1 时，由于 n n f (x) − f (x) = x ，故只要取 x N x ln ln ( , )   = ， 则当 n  N( , x) 时，就有 f (x) − f (x)   n 。而当 x = 0 和 x =1 时，则对任何正整数 n ，都有 f (0) − f (0) = 0   n ， f (1) − f (1) = 0   n 。 这就证得 f n  在 (−1,1] 上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。 当 x 1 时，则有 x → +(n → ) n ，当 x = −1 时，对应的数列为−1,1,−1,1,  它显然是发散的。所以 函数列   n x 在区间 (−1,1] 外都是发散的。 例 2 定义在 (−,+) 上的函数列 n nx f x n sin ( ) = ， n = 1,2,  ，由于对任 何实 数 x ， 都 有 n n sin nx 1  ，故对任给的   0 ，只要  1 n  N = ，就有 − 0   sin n nx 。所以函数列       n sin nx 的收敛域为 无限区间 (−,+) ，函数极限 f (x) = 0。 定义 1 设函数列 f n  与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数  ，总存在某一正整数 N ，使得 当 n  N 时，对一切的 xD ，都有 f (x) − f (x)   n 则称函数列  f n 在 D 上一致收敛于 f ，记作： f (x) n f (x) (n → )， xD。 定理 13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列  f n 在数集 D 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数  ，总存在正数 N ，使得当 n m N ,  时，对一切 x D ，都有 f (x) − f (x)   n 。 （4） 证 [必要性] 设 f (x) n f (x) (n → )， xD ，即对任给   0 ，存在正数 N ，使得当 n  N 时，对一切 xD ，都有 2 ( ) ( )  f n x − f x  。 （5） 于是当 n,m  N ，由（5）就有    −  − + −  + = 2 2 f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) n m n m 。 [充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则， f n  在 D 上任一点都收敛，记其极限函数为 f (x) ， xD 。现固定（ 4 ）式中的 n ， 让 m→ ， 于 是 当 n  N 时 ， 对 一 切 xD 都 有 f (x) − f (x)   n 。由定义 1， f (x) n f (x) (n → )， xD

《数学分析》教案定理13-2函数列（f在区间D上一致收敛于的充要条件是：(6)lim supf,(x)- f(x)=0 。证【必要性】若,(x)f(x）（n→)，xED。则对任给的正数，存在不依赖与x的正整数N，当n>N时，有If,(x)-f(x)<s, xeD。由上确界的定义，亦有supf, (x)- f(x)≤ 。则有lim supf,(x)- f(x)= 0 。[充分性]由假设，对任给的ε>O，存在正整数N,使得当n>N，有(7)supf,(x)-f(x)|<8 。因为对一切xED，总有f,(αx)-f(x)≤suplf,(x)-f(x)。故由（7）式得f,(x)-f(x)<8。于是(f)在D上一致收敛于f。例3定义在[0,]上的函数列2n'x,0≤xs!2n111f.(x)=2n-2n2x,<x≤(8)n=1,2,....2nn0<x≤1n1由于f,(x)=0，故f(0)=lim,(0)=0。当0<x≤1时，只要n>就有f,(α)=0，故在(0,1)上x有f(x)=limJ,(x)=0。于是函数列（8）在[0,1]上的极限函数f(x)=0，又由于sup f,(x)- f(x)= f,(no(n→),2nxe[0,1]所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。函数顶级数及其一致收敛性-设(u(x))是定义在数集E上的一个函数列，表达式(9)u(x)+u,(x)+...+u,(x)+..*, xeE称为定义在E上的函数顶级数，简记为u,(x)或u,(x)。称n=1

《数学分析》教案 定理 13-2 函数列 f n  在区间 D 上一致收敛于 f 的充要条件是： lim sup ( ) − ( ) = 0  → f x f x n x D n 。 （6） 证 [必要性] 若 f (x) n f (x) (n → )，xD 。则对任给的正数  ，存在不依赖与 x 的正 整数 N ，当 n  N 时，有 f (x) − f (x)   n ， xD。 由上确界的定义，亦有 −    sup f (x) f (x) n x D 。 则有 lim sup ( ) − ( ) = 0  → f x f x n x D n 。 [充分性] 由假设，对任给的   0 ，存在正整数 N ,使得当 n  N ，有 −    sup f (x) f (x) n x D 。 （7） 因为对一切 xD ，总有 f (x) f (x) sup f (x) f (x) n x D n −  −  。 故由（7）式得 f (x) − f (x)   n 。于是 f n  在 D 上一致收敛于 f 。 例3 定义在 [0,1] 上的函数列            −     = 1 1 0, 1 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( ) 2 2 x n n x n n n x n n x x f x n n = 1,2,  （8） 由于 f n (x) = 0 ，故 (0) = lim (0) = 0 → n n f f 。当 0  x 1 时，只要 x n 1  ，就有 f n (x) = 0 ，故在 (0,1] 上 有 ( ) = lim ( ) = 0 → f x f x n n 。于是函数列（8）在 [0,1] 上的极限函数 f (x) = 0 ，又由于 − = = →   n n f x f x f n n x ) 2 1 sup ( ) ( ) ( [0,1] (n → )， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。 二 函数顶级数及其一致收敛性 设 u x n ( ) 是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + ， x E  （9） 称为定义在 E 上的函数顶级数，简记为 1 ( ) n n u x  =  或 u (x) n 。称

《数学分析》教案(10)S,(x)=)Eu(x), xeE, n=l,2,...k=l为函数顶级数（9）的部分和函数列。(11)若x。EE，数顶级数u(x.)+u,(x)+...+u,(x)+...收敛，既部分和S,（x）=u（x）当n一→>0时极限存在，则称级数（9）在点x。收敛，x。称为级数（9）k=l的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点x。发散。若级数（9）在E某个子集D上每个点都收敛，则称级数（9）在点D上收敛，若D为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城D为级数（9）的收敛域。级数（9）在D上每一点x与其所对应的数项级数（11）的和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作u,(x)+u,(x)+...+u,(x)+...=S(x) , xeD,即lim S,(x)= S(x), xeD。也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。例4定义在(-80,+)上的函数项级数（几何级数）(12)1+x+x?+...+x"+...的部分和函数为S,(t)=-",。故当x<1时，1-x1S(x)= lim S.(x)1-x当x≥1时，几何级数是发散的。所以几何级数（12）在（-1,1)内收敛于和函数S(x）1-x定义2（函数项级数一致收敛性定义）设(S,（x))是函数项级数）u(x）的部分和函数列。若(S(x))在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数u.(x)在D上n=l一致收敛于函数S(x)，或称u,(x)在D上一致收敛。el由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数u,(x)在D上一致收敛对n=l于V6>0，N，使得当n>N时，对一切xED和一切正整数p，都有

《数学分析》教案 = = n k n k S x u x 1 ( ) ( )， xE ， n = 1,2,  （10） 为函数顶级数（9）的部分和函数列。 若 x0  E ，数顶级数 u1 (x0 ) + u2 (x0 ) ++ un (x0 ) + （11） 收敛，既部分和 = = n k n k S x u x 1 0 0 ( ) ( ) 当 n → 时极限存在，则称级数（9）在点 0 x 收敛， 0 x 称为级数（9） 的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点 0 x 发散。若级数（9）在 E 某个子集 D 上每个点都收 敛，则称级数（9）在点 D 上收敛，若 D 为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城 D 为级数（9）的收敛 域。级数（9）在 D 上每一点 x 与其所对应的数项级数（11）的和 S(x) 构成一个定义在 D 上的函数，称 为级数（9）的和函数，并写作 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x S x + ++ n += ， x D ， 即 lim S (x) S(x) n n = → ， x D 。 也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。 例4 定义在 (−,+) 上的函数项级数（几何级数） 1+ x + x 2 ++ x n + （12） 的部分和函数为 x x S x n n − − = 1 1 ( ) 。故当 x 1 时， x S x S x n n − = = → 1 1 ( ) lim ( ) 。 所以几何级数（12）在 (−1,1) 内收敛于和函数 x S x − = 1 1 ( ) ；当 x 1 时，几何级数是发散的。 定义 2（函数项级数一致收敛性定义）设 S x n ( ) 是函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的部分和函数列。若 S x n ( ) 在数集 D 上一致收敛于函数 S x( ) ，则称函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上 一致收敛于函数 S(x) ，或称 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有 定理 13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛  对 于   0， N ，使得当 n  N 时，对一切 xD 和一切正整数 p ，都有

《数学分析》教案[Sn+p(x)-S,(x)|<8,即un+1(x)+un+2(x)++un+p(x)<8 。特别地，当p=1时，得到函数项级数收敛的必要条件：推论函数项级数Zu,(x)在D上一致收敛的必要条件是函数列(u,(x))在D上一致收敛于0。n=l设u,(x)=S(x)，xeD，称R,(x)=S(x)-S,(x)为函数项级数u,(x)的余项。n=ln=l定理13-4函数项级数u,(x)在D上一致收敛于S(x)n=1lim supR, (x)= lim supS(x)- S, (x) = 0 。-例5讨论几何级数r"在所给区间上的一致收敛性：（1）[-α,a](0<α<1)；（2）（-1,1)。n=0三函数项级数的一致收敛性判别法1.用定义；2.柯西准则（定理13-3）；3.定理13-4（必须已知和函数S(x）才可用此判别法）；4.定理13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称M判别法或优级数判别法ZM,为收敛的正项级数，若VxeD，有设函数项级数u,(x)定义在数集D上，n=ln=lu.(x)|≤M,,n=1,2,..,则函数项级数u,(x)在D上一致收敛。n=1注：（1）应用此判别法的关键是：从u，（x）出发找到所需的M，。（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。课后记1、以函数列”在区间(0,1)内不一致收敛为例给出不一致收敛的几何意义是本节的一个难点，通过对照它在(0,b)内一致收敛说明非一致收敛的几何意义效果较好。2、例3也是本节的难点其中要求：Supf(x)-f(x）=f,(=n→80，先讲清给出函数f.(x)、f,(x)、2nxe[0,1]时取到最大值，f(x)、的表达式和图像，作图时结合图像求出函数f(x)在x：=n能起到化解2n2n

《数学分析》教案 −   + S (x) S (x) n p n ， 即 + + +   + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n  n p 。 特别地，当 p = 1 时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛的必要条件是函数列 un (x) 在 D 上一致收敛 于 0。 设 1 ( ) n n u x  =  = S(x)， xD ，称 R (x) S(x) S (x) n = − n 为函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的余项。 定理 13-4 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛于 S(x)  lim sup ( ) = lim sup ( ) − ( ) = 0  →  → R x S x S x n x D n n x D n 。 例5 讨论几何级数   n=0 n r 在所给区间上的一致收敛性：（1） [−a,a](0  a  1) ；（2） (−1,1) 。 三 函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则（定理 13-3）； 3．定理 13-4（必须已知和函数 S(x) 才可用此判别法）； 4．定理 13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称 M 判别法或优级数判别法） 设函数项级数 1 ( ) n n u x  =  定义在数集 D 上，   n=1 M n 为收敛的正项级数，若 xD ，有 n Mn u (x)  ， n = 1,2, ， 则函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。 注：（1）应用此判别法的关键是：从 u (x) n 出发找到所需的 M n 。 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 课后记 1、以函数列   n x 在区间 (0, 1) 内不一致收敛为例给出不一致收敛的几何意义是本节的一个难点，通过对照它 在 (0, b) 内一致收敛说明非一致收敛的几何意义效果较好。 2、例 3 也是本节的难点其中要求： − = = →   n n f x f x f n n x ) 2 1 sup ( ) ( ) ( [0,1] ，先讲清给出函数 ( ) 1 f x 、 ( ) 2 f x 、 ( ) 3 f x 、的表达式和图像，作图时结合图像求出函数 f (x) n 在 n x 2 1 = 时取到最大值 n n f n  =      2 1 能起到化解