第二节 函数极限的性质杨建雅
第二节 函数极限的性质 杨建雅
六种极限lim f(x);lim f(x);x→+8x-→>xolim f(x);lim f(x);x→>-8x→xlim f(x);lim f(x);x-→8x-→xo
六种极限 . . lim f (x); x→+ lim f (x); x→− lim f (x); x→ lim ( ); 0 f x x→x lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → −
函数极限的性质一1.唯一性定理若lim f(x)存在,则极限唯一2.局部有界性定理若当x→x,时f(x)有极限,则存在x,的一个邻域U(x,),在此邻域内f(x)有界
2.局部有界性 定理若当x → x0时 f (x)有极限,则存在x0的 一个邻域 ( ) 0 0 U x ,在此邻域内 f (x)有 界. 1.唯一性 定理 若lim f (x)存在,则极限唯一. 一 函数极限的性质
3.局部保号性定理 若lim f(x)=A,且A>0(或A< 0),则3S >0,当x EU(x,,8)时,f(x)> 0(或f(x)<0)推论 若S >0,当x U°(xo,8)时,f(x)≥0(或f(x)≤0)且 lim f(x)= A,则A≥ 0(或A≤0)x→xo4.局部保不等性定理设 lim f(x)与 lim g(x)都存在，且在某邻域x-→xox→XoU°(xo;8)内有f(x)≤g(x),则 lim f(x)≤ lim g(x)x-→xox-→xo
, x U x , , f x f x . lim f x A, A A x x 0 ( ) ( ) 0( ( ) 0) ( ) 0( 0), 0 0 0 = → 则 当 时 或 若 且 或 定理 lim ( ) , 0( 0). 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0 = → f x A A A x U x f x f x x x 且 则 或 推论 若 当 时 或 3.局部保号性 4.局部保不等性 ( ; ) ( ) ( ), lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 U x f x g x f x g x f x g x x x x x x x x x → → → → 内 有 则 设 与 都存在，且在某邻域 定理
5.迫敛性（夹逼准则）设 lim f(x)= lim g(x)= A,且在某U(xo;8)内有x→xox-→xof(x)≤h(x)≤g(x)则 lim h(x) = A.x-→xo本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法
5.迫敛性（夹逼准则） 本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供 了一个计算函数极限的方法。 lim ( ) . ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) , ( ; ) 0 0 0 0 0 h x A f x h x g x f x g x A U x x x x x x x = = = → → → 则 设 且在某 内 有