S2数集·确界原理教学内容：区间与邻域：有界集与确界原理重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义本节先定义R中两类重要的数集一一区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理
1 §2 数集·确界原理 教学内容： 区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。 本节先定义 R中两类重要的数集——区间与邻域， 然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理
一：区间：是指介于某两个实数之间的全体实数这两个实数叫做区间的端点V a,beR,且a<b(xa<x<b)称为开区间，记作(a,b)xb0a(xa≤x≤b)称为闭区间，记作[a,b]xb0a2
2 一.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b) {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b] o a b x o a b x
(xa≤x<b)称为半开区间，记作[a,b)(xa<x≤b)称为半开区间，记作(a,b)有限区间[a,+) =(xa ≤ x](-00,b) = (xx <b)无限区间xa0x0b区间长度的定义两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度3
3 {x a x b} {x a x b} 称为半开区间, 称为半开区间, 记作[a,b) 记作(a,b] [a,+) = {x a x} (−,b) = {x x b} o a x o b x 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度
邻域：设a与8是两个实数，且S>0.数集(xx-α<S})称为点a的邻域,点a叫做这邻域的中心，S叫做这邻域的半径。U,(a)=(x a-8<x<a+s).88aa-8a+8x点a的去心的邻域，记作U°(a)U。(a) =(x 0 <x-a<8)4
4 邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. ( ). 0 记作U a 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . ( ) { }. U a = x a − x a + a − a a + x 点a的去心的邻域, ( ) { 0 }. U a = x x − a 数集{x x − a }称为点a的邻域
二有界数集：确界原理：1. 有界数集：定义(上、下有界，有界)设 S为实数R上的一个数集,若存在一个数M(L）使得对一切 xεS 都有 x≤ M (x≥L)，则称 S 为有上界(下界)的数集。若集合 S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，闭区间、（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合E =bl y=sin x, xe(-o,+o)) 也是有界数集无界数集：若对任意 M>0，存在 x e S，IxI>M，则称 S为无界集。例如，（-,+)，（-0,0)，（0,+），有理数集等都是无界数集，例1 证明集合 B-v- xe(0,1)是无界数集YD
5 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数 R上的一个数集，若存在一个数 M（ L）, 使得对一切 x S 都有 x M (x L)，则称 S 为有上界(下界)的数集。 若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。 例如，闭区间、( , ) ( , a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = y y = sin x, x( − , + ) 也是有界数集. 无界数集: 若对任意 M 0 ，存在 x S x M , | | ，则称 S 为无界集。 例如，( − , + ) , ( − , 0 ), ( 0 , + )，有理数集等都是无界数集, 例 1 证明集合 = = , ( 0 ,1 ) 1 x x E y y 是无界数集