《数学分析》教案第一章实数集与函数（10学时）s1.实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质，教学重点：（1）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性：（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.（它们是分析论证的重要工具)教学难点：实数集的概念及其应用。学时安排：2学时教学方法：讲授.（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始。【问题］为什么从“实数”开始答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先了解一下实数的有关性质。一实数及其性质数[正分数:(P,g为整数且<0)或有限小数和无限小数.有理数负分数，P1、实数、1无理数：用无限不循环小数表示，R={xx为实数)--全体实数的集合.【问题］有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数x=agaan，其中0≤a,≤9,i=1,2,,n,a,±0,a为非负整数，记x=agαam-9999..*；对于正整数x=ao，则记x=（a-1).9999；对于负有限小数（包括负整数）J，则先将-J表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0=0.0000..例：2.001-→2.0009999..3→2.9999...-2.001→-2.009999...-3→-2.9999..利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？2，两实数大小的比较3
《数学分析》教案 3 第一章 实数集与函数 （10 学时） §１．实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； （２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工 具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 学时安排: 2 学时 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我 们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题] 为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研 究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一 实数及其性质 １、实数 ( , q p q p 正分数, 有理数 为整数且q 0)或有限小数和无限小数. 负分数, 无理数:用无限不循环小数表示. R x x = − − | 为实数 全体实数的集合 ． [问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有 限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数 0 1 , n x a a a = 其 中 0 0 9, 1,2, , , 0, i n = a i n a a 为非负整数 ， 记 0 1 19999 n x a a a = − ；对于正整数 0 x a = , 则记 0 x a = − ( 1).9999 ；对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将 − y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝ 0.0000 例： 2.001 2.0009999 → 3 2.9999 2.001 2.009999 3 2.9999 → − → − − → − 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何 比较实数的大小？ ２．两实数大小的比较
《数学分析》教案1）定义1给定两个非负实数x=aga.a,，y=bb..b,其中ao,b为非负整数，a，bk(k=1,2,)为整数，0≤a≤9,0≤b≤9.若有a=bk,k=1,2,.，则称x与y相等，记为x=y；若α>b或存在非负整数l，使得a,=b，k=1,2,,l，而a+>b+，则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.对于负实数x、y，若按上述规定分别有-x=-y或-x>-y，则分别称为x=y与x<y(或y>x).规定：任何非负实数大于任何负实数，2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）定义2（不足近似与过剩近似)：x=αa,a,….为非负实数，称有理数x=αgαa,为实数x的n位1不足近似；x,=x,+10称为实数x的n位过剩近似；对于实数x=-aaa.a,…，其n位不足近似1-位过近似注：实数x的不足近似x当n增大时不减，即有x≤x≤x≤≤x，过剩近似x，当n增大时不增，即有x≥x≥x≥..≥x.命题：记x=aaa,，y=bbb,为两个实数，则x>y的等价条件是：存在非负整数n，使x,>y（其中x,为x的n位不足近似，y,为y的n位过剩近似).命题应用一例 1例1，设x,y为实数，x<y，证明存在有理数"，满足x<r<y.证．由x<y，知：存在非负整数n，使得x,<yn·令r=(，+y.)，则r为有理数，且x≤x,<r<y,≤y.即x<r<y.3实数常用性质（详见附录IⅡ.P289-302）·封闭性（实数集R对+，一,X）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数，·有序性：任意两个实数a,b必满足下列关系之一：a<b,a>b,a=b，·传递性；a<b,b>c=a>c.·阿基米德性：Va,beR,b>a>0=3neN使得na>b。稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数，。实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2。设Va,beR，证明：若对任何正数6，有a<b+，则a≤b.（提示：反证法.利用“有序性”，取ε=一b）4
《数学分析》教案 4 1） 定义１ 给定两个非负实数 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = . 其中 0 0 a b, 为非负整数， , k k a b ( 1, 2, ) k = 为整数， 0 9,0 9 k k a b ．若有 , 1,2, k k a b k = = ，则称 x 与 y 相等，记为 x y = ；若 0 0 a b 或存在非负整数 l ，使得 , 1,2, , k k a b k l = = ，而 l l 1 1 a b + + ，则称 x 大于 y 或 y 小于 x ，分别记为 x y 或 y x ．对于负实数 x 、 y ，若按上述规定分别有 − = − x y 或 − − x y ，则分别称为 x y = 与 x y （或 y x ）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义２（不足近似与过剩近似）： 0 1 n x a a a = 为非负实数，称有理数 0 1 n x a a a = 为实数 x 的 n 位 不足近似； 1 10 n n n x x = + 称为实数 x 的 n 位过剩近似；对于实数 0 1 n x a a a = − ，其 n 位不足 近似 0 1 1 10 n n n x a a a = − − ； n 位过剩近似 n n 0 1 x a a a = − . 注：实数 x 的不足近似 n x 当 n 增大时不减，即有 0 1 2 x x x x ; 过剩近似 n x 当 n 增大时不增，即 有 0 1 x x x x ． 命题：记 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = 为两个实数，则 x y 的等价条件是：存在非负整数 n，使 n n x y （其中 n x 为 x 的 n 位不足近似， n y 为 y 的 n 位过剩近似）． 命题应用————例１ 例１．设 x y, 为实数， x y ，证明存在有理数 r ，满足 x r y ． 证．由 x y ，知：存在非负整数 n，使得 n n x y ．令 ( ) 1 2 n n r x y = + ，则 r 为有理数，且 n n x x r y y ．即 x r y ． ３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． ⚫ 封闭性（实数集Ｒ对 + − , , , ）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数 不为０）仍是实数． ⚫ 有序性：任意两个实数 a b, 必满足下列关系之一： a b a b a b = , , ． ⚫ 传递性； a b b c a c , ． ⚫ 阿基米德性： a b R b a n N , , 0 使得 na b ． ⚫ 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． ⚫ 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系． 例２．设 a b R , ，证明：若对任何正数 ，有 a b + ，则 a b ． （提示：反证法．利用“有序性”，取 = −a b ）
《数学分析》教案二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）。1．绝对值的定义a,a≥0实数a的绝对值的定义为αl-aa<o2。几何意义：从数轴看，数a的绝对值[α就是点a到原点的距离。认识到这一点非常有用，与此相应，Ix-αl表示就是数轴上点x与a之间的距离3.性质.1-00=0（非负性）：2）-；3)lakh-h<a<h,[ah-h≤a≤h(h>0);4）对任何a,beR有|al-[ba±ba|+[b|（三角不等式)；[a_a](b±0).5）【aal：6）[6][6]［练习］P4．5一实数及其性质【课堂小结]：实数：二绝对值与不等式82数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。学时安排：3学时教学方法：讲授为主教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论：此后又让大家自学了第一章1实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1.证明：对任何xER有（1）|x-1+x-2≥1：（2）|x-1/+|x-2/+|x-3>22.证明：x-x-3.设a,beR，证明：若对任何正数有a+b<8，则a≤b0
《数学分析》教案 5 二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）． １．绝对值的定义 实数 a 的绝对值的定义为 , 0 | | 0 a a a a a = − ． ２． 几何意义：从数轴看，数 a 的绝对值 | | a 就是点 a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应， | | x a − 表示就是数轴上点 x 与 a 之间的距离． ３．性质． １） | | | | 0;| | 0 0 a a a a = − = = （非负性）；２） − | | | | aaa ； ３） | | a h h a h − ，| | .( 0) a h h a h h − ； ４）对任何 a b R , 有 | | | | | | | | | | a b a b a b − + （三角不等式）； ５） | | | | | | ab a b = ；６） | | | | a a b b = （ b 0 ）． ［练习］Ｐ４． ５ ［课堂小结］：实数： 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 . §２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念； （2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 学时安排:3 学时 教学方法：讲授为主 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内 容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ １．证明：对任何 x R 有（１） | 1| | 2 | 1 x x − + − ；（２） | 1| | 2 | | 3| 2 x x x − + − + − . ２．证明： | | | | | | x y x y − − . ３．设 a b R , ，证明：若对任何正数 有 a b + ，则 a b
《数学分析》教案4.设x,yeR,x>y，证明：存在有理数r满足y<r<x[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同：理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象：③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落)。本节主要内容：1．先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间邻域；2．讨论有界集与无界集；3.由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域1：区间（用来表示变量的变化范围）设a,beR且a<b。开区间：(xeRla<x<b)=(a,b)有限区间闭区间：(xeR|a≤x≤b)=[a,b][闭开区间:(xeR|a≤x<b]=[a,b)半开半闭区间开闭区间:(xeR|a<x≤b)=(a,b)区间(xe R|x≥a] =[a, +o0)(xeR/x≤a)=(-00,a]无限区间(xeR/x>a)=(a,+0)(xeR/x<a)=(-00,a).[(xe R/ -00 <x<+00) = R.2.邻域联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”：如何用数学语言来表达呢？（1）a的邻域：设aeR,s>0，满足不等式x-aks的全体实数x的集合称为点a的s邻域，记作U(a,8)，或简记为U(a)，即U(a,8)=(x|x-ak8)=(a-8,a+8)（2）点a的空心邻域U(a,8)=[x|0<x-aks)=(a-8,a)u(a,a+8)=U(a)（3）a的8右邻域和点a的空心右邻域U.(a,0)=[a,a+)=U.(a)=xa≤x<a+)U(a,8)=(a,a+)≤U(a)=(xa<x<a+8)（4）点a的左邻域和点a的空心左邻域6
《数学分析》教案 6 ４．设 x y R x y , , ，证明：存在有理数 r 满足 y r x . [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完 了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学” 习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可 能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段 落）。 本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集； ３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设 a b R , 且 a b 。 | ( , ) . | [ , ]. | [ , ) | ( , ] | [ , ). | ( , ]. | ( , ). | ( , ). | . x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R = = = = = + = − = + = − − + = 开区间: 有限区间 闭区间: 闭开区间: 半开半闭区间 开闭区间: 区间 无限区间 ２．邻域 联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与 a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我 们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ （１） a 的 邻域：设 a R , 0 ，满足不等式 | | x a − 的全体实数 x 的集合称为点 a 的 邻 域，记作 U a( ; ) ，或简记为 U a( ) ，即 U a x x a a a ( ; ) | | ( , ) = − = − + . （２） 点 a 的空心 邻域 ( ; ) 0 | | ( , ) ( , ) ( ) o o U a x x a a a a a U a = − = − + . （３） a 的 右邻域和点 a 的空心 右邻域 0 0 ( ; ) [ , ) ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a + + + + = + = + = + = + （４） 点 a 的 左邻域和点 a 的空心 左邻域
《数学分析》教案U-(a,8)=(a-8,a)=U.(a)=xa-8<x≤aU'(a,8)=(a-S,a)=U'(a)=(xla-S<x<a)（5）00邻域，+00邻域，-80邻域U(c0)=(xx>M)，（其中M为充分大的正数);U(+o0)=(x|x>M)，U(-0)=(x|x<-M)二有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集。若存在数M(L)，使得一切xES都有x≤M(x≥L），则称S为有上（下）界的数集。数M（L）称为S的上界（下界）：若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集。若数集S不是有界集，则称S为无界集。注：1）上（下）界若存在，不唯一：2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1讨论数集N,=(n|n为正整数的有界性。分析：有界或无界←一上界、下界？下界显然有，如取L=1；上界似乎无，但需要证明。解：任取ngEN，显然有no≥1，所以N，有下界1；但N无上界。证明如下：假设N，有上界M则M>0,按定义,对任意nEN,，都有n≤M,这是不可能的，如取n=[M]+1,则nEN，且n>M综上所述知：N，是有下界无上界的数集，因而是无界集。例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集。[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个)。三确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（1)对一切xeS,有x≤n（即n是S的上界）；(2）对任何α<n，存在xES，使得x>α（即n是S的上界中最小的一个)，则称数n为数集S的上确界，记作n=sups定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数=满足：（1）对一切xES，有x≥（即=是S的下界）：（2）对任何β>，存在xES，使得x<β（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作==infs上确界与下确界统称为确界。7
《数学分析》教案 7 0 0 ( ; ) ( , ] ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a + − − − = − = − = − = − （５） 邻域， + 邻域， − 邻域 U x x M ( ) | | , = （其中Ｍ为充分大的正数）； U x x M ( ) , + = U x x M ( ) − = − 二 有界集与无界集 什么是“界”？ 定义１（上、下界）：设 S 为 R 中的一个数集。若存在数 M L( ) ，使得一切 x S 都有 x M x L ( ) ， 则称Ｓ为有上（下）界的数集。数 M L( ) 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ 为有界集。 若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。 注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例： 例 1 讨论数集 N n n + = | 为正整数 的有界性。 分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取 L =1 ；上界似乎无，但需要证明。 解：任取 0 n N + ，显然有 0 n 1 ，所以 N+ 有下界１；但 N+ 无上界。证明如下：假设 N+ 有上界 M, 则 M>0，按定义，对任意 0 n N + ，都有 0 n M ，这是不可能的，如取 0 n M = + [ ] 1, 则 0 n N + ，且 0 n M . 综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集。 例 2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的 数集是有界集。 [问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)。 三 确界与确界原理 １、定义 定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切 x S , 有 x （即 是Ｓ的上界）; (2) 对任何 ，存在 0 x S ，使得 0 x （即 是Ｓ的上界中最小的一个），则称数 为数集Ｓ的上确 界，记作 = sup . S 定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数 满足：（１）对一切 x S , 有 x （即 是Ｓ的下界）； （２）对任何 ，存在 0 x S ，使得 0 x （即 是Ｓ的下界中最大的一个），则称数 为数集Ｓ的下确 界，记作 = inf S . 上确界与下确界统称为确界