$2F闭区间上连续函数性质的证明有界性:.命题1f(x)蜻C[a,b],运 在[a,b]上f(x)=O(1)证法（用区间套定理）．反证法I证法 二（用列紧性）．反证法证法 三（用有限复盖定理）撑．最值性：命题 2f(x)蜻C[a,b]，运 f(x)在[a,b]上取得最大值和最小值.（只证取得最大值）证（用确界原理）参阅[1]P226［证法二］后半段．介值性：证明与其等价的零点定理”·
§2 闭区间上连续函数性质的证明 一. 有界性: 命题 1 f (x)蝳C[ a , b ], 迃 在[ a ,b ]上 f (x) = O(1) . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 擇. 最值性: 命题 2 f (x)蝳C[ a , b ], 迃 f (x)在[ a ,b ]上取得最大值和最小 值.( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段. 嶰. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”
命题3（零点定理证法 一（用区间套定理）：证法 二(用确界原理 ).不妨设 f(a)>0，f(b)<0-令E=(xl f(x)>0，x[a,b]}，则E非空有界，→ E有上确界．设= supE有ε[a,b]．现证 f()=O，（为此证明f() ≥0且f()≤0 ).．1取x,>= 且xn→三,(n→). 由f(x)在点=连续和f(x,)≤0，→f() = lim f(xn)≤ 0,→ E. 于是3tn EE, tn →(n→∞). 由f(x)在点=连续和f(t,)>0
命题 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 . 令 E = { x | f (x) 0, x [ a , b ] }, 则 E 非空有界, E 有上确 界. 设 = sup E 有 [ a ,b ]. 现证 f ( ) = 0 , ( 为此证明 f ( ) 0且 f ( ) 0 ). 取 n x > 且 n x → , ( n → ) . 由 f (x) 在点 连续和 f (xn ) 0 , ( ) = lim ( ) 0 → n n f f x , E . 于是t E, t → ( n → ) n n . 由 f (x)在点 连续 和 f (t n ) 0
→ f()= lim f(tn)≥0. 因此只能有 f()=0.→o证法 三（用有限复盖定理）.二． 一致连续性:命题4（Cantor 定理）证法 一（用区间套定理），证法 二二（用列紧性）.习题课（4时)实数基本定理互证举例：1用“区间套定理”证明“单调有界原理
( ) = lim ( ) 0 → n n f f t . 因此只能有 f ( ) = 0 . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 一致连续性: 命题 4 ( Cantor 定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用列紧性 ). 习 题 课 （ 4 时 ） 一． 实数基本定理互证举例： 用“区间套定理”证明“单调有界原理
证设数列（x,}递增有上界．取闭区间「α,b ]，使α,不是(xn}的上界，b,是(x,}的上界．易见在闭区间［α,,b,]内含有数列(xn}的无穷多项，而在[α,,b, 外仅含有(x,}的有限项.对分[ai,b, ]，取[α2,b,]使有[a ,b, ]的性质.…………于是得区间套([αn,b,]},有公共点．易见在点=的任何邻域内有数列（x}的无穷多项而在其外仅含有（x,}的有限项，→lim x，=.n-例1用“确界原理”证明“区间套定理”·证{[an,b,1}为区间套．先证每个αm为数列(b,}的下界，而每个bm为数列的上界．由确(α,}界原理，数列(α,}有上确界
证 设数列{ xn }递增有上界. 取闭区间 [ , ] a1 b1 , 使a1不是 { xn }的上界, b1 是{ xn }的上界. 易见在闭区间 [ , ] a1 b1 内含有数 列{ xn }的无穷多项, 而在[ , ] a1 b1 外仅含有{ xn }的有限项. 对分 [ , ] a1 b1 , 取[ , ] a2 b2 使有[ , ] a1 b1 的性质.于是得区间套 {[ , ] an bn } ,有公共点 . 易见在点 的任何邻域内有数列{ } n x 的 无穷多项而在其外仅含有{ xn }的有限项, = → n n lim x . 例1 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 {[ , ] an bn }为区间套. 先证每个am 为数列{ } bn 的下界, 而每 个bm 为数列的上界. 由确{ an }界原理 , 数列{ an }有上确界
数列(b,}有下确界。设 α= inf （bn)，β=sup （an}.易见有an≤α≤b,和an≤β≤bn由bn-an→0,(n→), =→ α=β例1用“有限复盖定理”证明“聚点原理”证（用反证法）设S为有界无限点集，Sc[α,b].反设[α,b]的每一点都不是 S的聚点，则对VxE[α,b]，存在开区间(α,β)，使在(α,β)内仅有 S的有限个点.例2用“确界原理”证明“聚点原理”证设S为有界无限点集．构造数集 E=1xlE中大于x的点有无穷多个！
数列{bn }有下确界 . 设 = inf {bn }, = sup { an }.易见有 an bn 和an bn . 由b − a → 0 , ( n → ) n n ， = . 例1 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 S 为有界无限点集, S [ a , b ]. 反设 [ a , b ]的每一点都不是 S 的聚点, 则对 x [ a ,b ], 存在开区间 ( , ) x x , 使在( , ) x x 内仅有 S 的有限个点. . . 例2 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设 S 为有界无限点集. 构造数集 E ={ x | E 中大于 x 的点 有无穷多个}