《数学分析》教案例13讨论sgnx在x=0的左、右极限。例14讨论函数/1-x2在±1处的单侧极限。4。函数极限limf(x)与limf(x),limf(x)的关系。定理3.1lim f(x)= A- lim f(x)= lim f(x)= A注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：limf(x)=0。还可说明某些函数极限不存在，如由例2知limsgnx不存在。2）f(+0)，f(x-0)，f(x）可能毫无关系，如例2。82函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。学时安排：3学时教学方法：讲练结合。教学程序：引言在$1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1)limf(x);2)limf(x);3)limf(x);4)limf(x);5)limf(x);6)limf(x)→Xo它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x）为代表来叙述并证明这些性质。至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。定理3.2(唯一性）若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的.证设A,B都是f当x→x时的极限，则对任给的ε>O，分别存在正数8与8,，使得当0<x-x<8时有IF(x)-A|<,(1)当0x-x<时有[(x)-B|<8,(2)取8=min(8,8,），则当0<x-x<8时，（1)式与(2)式同时成立，故有A-B=(f(x)-A)-(f(x)-B) ≤f(x)-A/ +f(x)-B<28
《数学分析》教案 例 13 讨论 sgn x 在 x = 0 的左、右极限。 例 14 讨论函数 2 1− x 在 1 处的单侧极限。 ４。函数极限 0 lim ( ) x x f x → 与 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 的关系。 定理３.１ 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x A f x f x A → → → + − = = = . 注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知： 1 0 lim ( ) 0 x f x → = 。还可说明某些函数极限不存 在，如由例２知 0 limsgn x x → 不存在。２） 0 f x( 0) + ， 0 f x( 0) − ， 0 f x( ) 可能毫无关系，如例２。 §２ 函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 学时安排: 3 学时 教学方法：讲练结合。 教学程序： ◆ 引言 在§１中我们引进了下述六种类型的函数极限： １） lim ( ) x f x →+ ；２） lim ( ) x f x →− ；３） lim ( ) x f x → ；４) 0 lim ( ) x x f x → ;５） 0 lim ( ) x x f x → + ；６） 0 lim ( ) x x f x → − . 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以 0 lim ( ) x x f x → 为代表来叙述并证明这些性质。至于其它类型 极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。 定理 3.2(唯一性) 若极限 f (x) x x0 lim → 存在，则此极限是唯一的． 证 设 , 都是 f 当 0 x → x 时的极限，则对任给的 0 ，分别存在正数 1 与 2 ，使得当 0 − 0 1 x x 时有 f (x)− ， (1) 当 0 − 0 2 x x 时有 f (x)− ， (2) 取 ( ) 1 2 = min , ，则当 0 x − x0 时，(1)式与(2)式同时成立，故有 − = ( f (x)− ) − (f (x)−) f (x)− + f (x)− 2
《数学分析》教案由ε的任意性得A=B，这就证明了极限是唯一的定理3.3（局部有限性）若limf(x)存在，则f在x。的某空心邻域U(x）内有界.证设limf(x)=A取g=1，则存在g>0使得对一切xeU(xo;8)有[f(x)-A/<1=[f(x)<[A| +1这就证明了f在U(xo;)内有界.定理3.4(局部保号性）若limf(x)=A>0（或<0),则对任何正数r<A（或r<-A)，存在U(x）使得对一切xeU(x。）有f(x)>r>0 (或f(x)<-r<0)证设A>0，对任何re(0,A)，取ε=A-r，则存在>0，使得对一切xeU'(x;0)f(x)>A-8=r,这就证得结论：对于A<0的情形可类似地证明，注在以后应用局部保号性时，常取产=42定理 3.5(保不等式性)设 lim F(s)与都 lim g(x)都存在，且在某邻域U℃(x;s)内有f(s)≤g(s)则lim f(x)≤ lim g(x)(3)证设lim f(x)=A，lim g(x)=B，则对任给的ε>0，分别存在正数,与S,使得当0<x-xol<8,时有A-ε<f(x),当0<x-<8时有g(x)<B+6令=min(s,j,8)，则当0<x-xo<8时，不等式f(x)≤g(x)与(4)、(5)两式同时成立，于是有A-<f(x)≤g(x)<B+6从而A<B+2.由6的任意性推出A≤B，即(3)式成立定理3.6(迫敛性）设lim f(x)=lim g(x)=A，且在某U°(xo;8)内有f(x)≤h(x)≤g(x)
《数学分析》教案 由 的任意性得 = ，这就证明了极限是唯一的. 定理 3.3（局部有限性）若 f (x) x x0 lim → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域 ( ) 0 0 U x 内有界． 证 设 ( ) = → f x x x0 lim ．取 =1 ，则存在 0 使得对一切 ( ; ) 0 0 x U x 有 f (x)− 1 f (x) +1 这就证明了 f 在 ( ; ) 0 0 U x 内有界． 定理 3.4(局部保号性) 若 lim ( ) 0 0 = → f x x x (或 0 )，则对任何正数 r （或 r −) ，存在 ( ) 0 0 U x ， 使得对一切 ( ) 0 0 x U x 有 f (x) r 0 （或 f (x) −r 0 ） 证 设 0 ，对任何 r (0,) ，取 = − r ，则存在 0 ，使得对一切 ( ; ) 0 0 x U x f (x) − = r ， 这就证得结论．对于 0 的情形可类似地证明． 注 在以后应用局部保号性时，常取 2 A r = ． 定理 3.5(保不等式性) 设 f (x) x x0 lim → 与都 g(x) x x0 lim → 都存在，且在某邻域 ( ) ' 0 0 U x ; 内有 f (x) g(x) 则 f (x) x x0 lim → g(x) x x0 lim → （３） 证 设 f (x) x x0 lim → ， g(x) x x0 lim → ，则对任给的 0 ， 分别 存在 正数 1 与 2 使 得 当 0 − 0 1 x x 时有 − f (x)， 当 0 − 0 2 x x 时有 g(x) + 令 ( ) 1 2 ' = min , , ，则当 0 x − x0 时，不等式 f (x) g(x) 与(4)、(5)两式同时成立，于是有 − f (x) g(x) + 从而 + 2 ．由 的任意性推出 ，即(3)式成立． 定理 3.6(迫敛性) 设 f (x) x x0 lim → g(x) x x0 lim → Ａ，且在某 ( ) ' 0 0 U x ; 内有 f (x) h(x) g(x)