第一章实数集与函数s1实数教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质重点：绝对值与其不等式性质要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义能用互质分数 (p,q为整数，q±0)表示的数;有理数:q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数若规定：ao.a,a2 ...an = ao.ajaz ...(an -1)99...9...-
1 第一章 实数集与函数 §1 实数 教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质 重点：绝对值与其不等式性质 要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。 第一章 实数集与函数 § 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概 念 一． 实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： ( , 0) p q q p 能用互质分数 为整数， 表示的数； q 有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定： 0 1 2 0 1 2 a a a a a a a a . . ( 1)99 9 n n = − 则有限十进小数都能表示成无限循环小数
则有限十进小数都能表成无限循环小数例如：2.001 记为 2.000999.．；0 记为 0.000…．；－8 记为 －7.999实数大小的比较定义1给定两个非负实数X= ao.a,a, ..a,..., y= b.b,b,...b,...其中 α,b为非负整数，0≤α,b≤9。若由1）αk=bk，k=0,1,2,…则称 x 与 相等，记为 x=y2）若存在非负整数 l，使得αk=b，（k=0,1,2,,I)，而αi+>b1则称 x大于（或 小于x），分别记为 x>y（或y<x）。2
2 则有限十进小数都能表成无限循环小数。 例如：2.001 记为 2.000999 ；0 记为 0.000 ；− 8 记为 − 7.999 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1 a2 an , y = b0 .b1 b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 , 1 , 2 , ,l) k = k = ，而 l+1 l +1 a b ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n n x a a a a 0 1 2 = . 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1 a2 an , y = b0 .b1 b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 , 1 , 2 , ,l) k = k = ，而 l+1 l +1 a b ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n n x a a a a 0 1 2 =
规定任何非负实数大于任何负实数：对于负实数x，V，若按定义1有-x>-y，则称y>x实数的有理数近似表示定义 2 设 x=α-αα …·a,为非负实数，称有理数x,=αa,αzan 为实数x的n位不足近似值，而有理数1x, = xn +10n称为x的n位过剩近似值。对于负实数 x =-α.α,α ..an .1x的 n位不足近似值规定为： xn=-α.a,az ·10"3
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x的n位过剩近似值规定为：xn=-a.a,a,..an比如 V2 =1.4142. ，则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,.。 称为 V2 的不足近似值;1.5, 1.42, 1.415, 1.4143,… 称为 ~2 的过剩近似值 。命题设 x= ao-aj,，= b,b,b, 为 2 个实数，则x>y存在非负整数 n,使得 x,>jn例1设x,y为实数，x>y，证明：存在有理数 r满足x>r >y4
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证：由x>y存在非负整数n，使得x,>yn，取 r=+y2则r显然为有理数，且x≥xn>r>yn≥y实数的一些主要性质1四则运算封闭性：即任何两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数2三岐性（即有序性）任何两个实数a,b必满足下述三个关系之一a<b,a=b,a>b5
5 证：由 存在非负整数 ，使得 ，取 则 r 显然为有理数，且 实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性：即任何两个实数的和、差、积、商 （除数不为0）仍然是实数。 2 三岐性（即有序性）任何两个实数 必满足下述三个 关系之一 x y n n n x y 2 n n x y r + = x x r y y n n a,b a b,a = b,a b