《数学分析》教素第十六章多元函数的极限与连续教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点：2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性：难点是二元函数极限的讨论。教学时数：14学时s1平面点集与多元函数一：平面点集：平面点集的表示：E=((x,J)(x,y)满足的条件).余集E°.1.常见平面点集：(1)全平面和半平面：（(x,)≥0)，((x,)>0)，((x,)>)，(x,y)lax+b) 等.(2)矩形域：[a,b]×[c,d],((x,v)x[+[1](3)圆域：开圆，闭圆，圆环.圆的个部分.极坐标表示，特别是((r,)|r 2a cos )和 ((r,)|r < 2a sin ) (4)角域：((r,)α<≤)(5)简单域：X-型域和Y-型域2．邻域：圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域空心邻域和实心邻域，空心方邻域与集-1
《数学分析》教案 - 1 - 第十六章 多元函数的极限与连续 教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元 函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。 教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点 是二元函数极限的讨论。 教学时数：14 学时 § 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集:平面点集的表示: 满足的条件}.余集 . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : , , , 等. ⑵ 矩形域: , }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 和 . ⑷ 角域: . ⑸ 简单域: 型域和 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集
《数学分析》教案(x,)0-,0的区别二.点集拓扑的基本概念：1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE，边界表示为aE.集合的内点EE，外点#E，界点不定.例1确定集E=（(x,y)10<(x-1)2+(y+2)2<1)的内点、外点集和边界.例2E=((x,y)J0<y<D(x)，xe[0,1])，D(x)为Dirichlet函数确定集E的内点、外点和界点集：2．（以凝聚程度分为）聚点和孤立点：孤立点必为界点.1例3E=((x)y=sin确定集E的聚点集，解E的聚点集=EU[-1,1].3.（以包含不包含边界分为）开集和闭集：intE=E时称E为开集，E的聚点集CE时称E为闭集.存在非R2和空集@为既开又闭集开非闭集．4.（以连通性分为）开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集：6.点集的直径d(E)：两点的距离p(B，P)7.三角不等式：-2 -
《数学分析》教案 - 2 - 的区别. 二. 点集拓扑的基本概念: 1. 内点、外点和界点：集合 的全体内点集表示为 , 边界表示为 .集合的内点 , 外点 , 界点不定 . 例 1 确定集 的内点、外点集和边 界 . 例 2 为 Dirichlet 函数. 确定集 的内点、外点和界点集 . 2. ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . 例 3 . 确定集 的聚点集 . 解 的聚点集 . 3. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: 时称 为开集 , 的聚点集 时称 为闭集. 存在非 开非闭集. 和空集 为既开又闭集. 4. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为 区域 . 5. 有界集与无界集: 6. 点集的直径 ： 两点的距离 . 7. 三角不等式：
《数学分析》教素(或 /(x - x2) + (1 -y2)2 ≤[x1 - x2 / + [1 -2 1.三.点列的极限：设P=(x，)，P=(,)定义limP=P的定义（用邻域语言）：例4(x,)→（,）x→x，→o，(n→).例5设P.为点集E的一个聚点：则存在E中的点列（P），使lim P=Po.四.R2中的完备性定理：1.Cauchy收敛准则：先证（（x，y）为Cauchy列台（x）和（y）均为Cauchy列2. 闭集套定理：P116.3.聚点原理：列紧性，Weierstrass聚点原理4.有限复盖定理：五.二元函数：1.二元函数的定义、记法、图象：2.定义域：例 6 5求定义域：- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - （或 ） . 三. 点列的极限: 设 , . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) . 例 4 , , . 例 5 设 为点集 的一个聚点 . 则存在 中的点列 , 使 . 四. 中的完备性定理: 1. Cauchy 收敛准则: 先证{ }为 Cauchy 列 和 均为 Cauchy 列. 2. 闭集套定理: P116. 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理. 4. 有限复盖定理: 五. 二元函数: 1. 二元函数的定义、记法、图象： 2. 定义域： 例 6 求定义域：
《数学分析》教素9-x3-2In yi> (x,y)i>f(x,y) In(-x2 +1)/x2 + y2 -13.二元函数求值：例7 J(x,J)=2x -3y2, 求 J(1,-1), J(1,)例8f(x,y)=ln(1+x+y),求f(pcose,psin )4.三种特殊函数：(1）变量对称函数：f(x,)=f(y,x)，例8中的函数变量对称(2)不变量分离型函数：(x,y)=(x)w().例如()等.z = xe*+3yz=x+2x+y+2,()3但函数z=x+>不是变量分离型函数。(3）具有奇、偶性的函数：82二元函数的极限全面极限与相对极限：全面极限亦称为二重极限1.全面极限linJ(x,J)=A的定义：亦可记为limf(P)=A.(x)()由limf(x)=A的定义引入.(x2+xy+)=7.P94例1例1用“8-8”定义验证极限，lirm(x)-(2.1)-4 -
《数学分析》教案 - 4 - ⅰ> ; ⅱ> . 3. 二元函数求值: 例 7 , 求 . 例 8 , 求 . 4. 三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: ,例 8 中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: .例如 , 等 . 但函数 不是变量分离型函数 . ⑶ 具有奇、偶性的函数： § 2 二元函数的极限 一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限. 1. 全面极限 的定义: 亦可记为 . 由 的定义引入. 例 1 用“ ”定义验证极限 . P94 例 1
《数学分析》教素202例2用“g-S”定义验证极限lim0+yx2-y2(x,y)* (0,0),xx+,例3J(x,J)10(x,J) = (0,0).证明P94例 2.lirnJ(x,y) = 0.（用极坐标变换）(x)→(0,0)2.相对极限及方向极限：相对极限lim(P)=A和方向极限limJ(x，。+k(x-x)=A的定义FB3.全面极限与相对极限的关系：Th 1limJ(P)=A,台对D的每一个子集E，只要点P是E的聚P-B点，就有lim,J(P)=AP推论 1设ECD，P.是E,的聚点：若极限limJ(P)不存在，Pez则极限limf(P)也不存在：P-B推论2设E,E,CD，P是E,和E,的聚点若存在极限则极限limJ(P)不存在lim,J(P)=A,lim,J(P)=A,但AA,EPBPez推论 3 极限limf(P)存在，台对D内任一点列（P），P→P-B但P,=P,数列(f(P))收敛-5-
《数学分析》教案 - 5 - 例 2 用“ ”定义验证极限 . 例 3 证明 . ( 用极坐标变换 ) P94 例 2. 2. 相对极限及方向极限: 相对极限 和方向极限 的定义. 3. 全面极限与相对极限的关系: Th 1 , 对 D 的每一个子集 E ,只要点 是 E 的聚 点 , 就有 . 推论 1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限 也不存在 . 推论 2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 , , 但 , 则极限 不存在. 推论 3 极限 存在, 对 D 内任一点列 , 但 ,数列 收敛