《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第三章 函数极限 第三节 函数极限存在的条件

第三节函数极限存在的条件

第三节 函数极限存在的条件

函数极限与数列极限的关系（海涅定理定理f(x)在U(xo;8)内有定义,lim f(x)存在,←任意含于U°(xo;8)数列(xn),若 lim x, = Xo 且x,± Xo:lim f(x,)都存在且相等注：本定理有如下几点注释：1本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。2本定理通常用来证明函数极限的不存在性

lim ( ) . ( ; ) { } , lim , ( ) ( ; ) lim ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 都存在且相等 任意含于 数列 若 且 在 内有定义， 存在 n n n n n n x x f x U x x x x x x f x U x f x → → → =    定理  注： 本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。 函数极限与数列极限的关系(海涅定理)

证:必要性 : lim f(x)= Ax-→xo: V>0,38>0,使当0<x-x<8时,恒有f(x) - A <8.又: lim x, = X。且 xn ± xo,n→:对上述8>0,3N>0,使当n>N时,恒有0 <xn -xo|<8.故 lim f(xn)= A从而有f(xn)-A<8，x→00

证： ( ) . 0, 0, 0 , 0 −        −   f x A 使当 x x 时 恒有 f x A x x = → lim ( ) 0  0 . 0, 0, , 0  −         x x N n N n 对上述 使当 时 恒有 f (x ) − A  , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 lim , xn x0 xn x0 n =  → 又 且 必要性

充分性的证明（略sin xsinx例如，limXx→0xlim nsin --=1n-→>8n2nn+limr2n-→8 n+lnn→8

例如, x x y sin 1 = sin lim 0 = → x x x 1, 1 lim sin = → n n n 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n 充分性的证明（略）

证明 lim sin－不存在,例1x-→0x证取x,[n元]y=sinlimx, = 0, 且x, ± 0;Xn->00-0.250.20.5-0.750.50.751取(x,limx, = 0, 且 x, ± 04n+ 1n>元2

x y 1 = sin 例 1 . 1 limsin 0 证明 不存在 x→ x 证   , 1    = n 取 x n lim = 0, → n n x  0 ; 且 x n   , 2 4 1 1    +  = n 取 x n lim  = 0 , →  n n x   0 ; 且 x n