定义:正数R称为幂级数的收敛半径 开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间 收敛域是(-R,R)-R,R)(R,RRR之 规定(1)幂级数只在x=0处收敛, R=0 (2)幂级数对一切x都收敛, R=+∞,收敛域(-∞,+∞) 问题如何求幂级数的收敛半径?
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. R = 0, [−R,R),(−R,R],[−R,R] 之一. 规定 R = +, 收敛域(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x都收敛, 收敛域是 开区间 (−R, R) 称为幂级数的收敛区间. (−R, R)
定理112若幂级数∑anx"的所有系数an≠0, H=0 设immn+ (或Iim/an=p n→>oa n→0o 1)则当p≠0时,R=-;(2)当p=0时,R=+∞; (3)当p=+∞时,R=0 证明对级数∑ax应用达朗贝尔判别法 n=0 n+1 ax lim n+1 lim+x=plx n→>0ax n->0a
定理 11.2 若幂级数 n=0 n n a x 的所有系数 0 n a , 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x
(1)如果im=p(≠0)存在 由比值审敛法,当xk一时,级数∑ax2收敛 0 从而级数∑anx”绝对收敛 n=0 当|x>_时,级数∑|anx"|发散, H=0 并且从某个n开始|an+1xm>anx"b,|anx"0 从而级数∑anx发散.收敛半径R=; n=0
(1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x a x + + | |→ 0 n an x . 0 n= n 从而级数 an x 发散 ; 1 收敛半径 R =
(2)如果ρ=0,Vx≠0, 1+1 有 n+1 →0(n→∞,级数∑|anx"收敛 H=0 从而级数∑anx2绝对收敛.收敛半径R=+∞; n=0 (3)如果p=+∞,Vx≠0, n+1 a 有 n-t →0(n→∞),级数∑anx“必发散 a 0 收敛半径R=0
(2) 如果 = 0, x 0, 0 ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x 0, . 0 n= n 级数 an x 必发散 收敛半径 R = 0. ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有
例1求下列幂级数的收敛域 (1y:(2)2(ny:(3n H=1 解(1):p=lmgn= n n→00 n→∞n+1 R=1 当x=时,级数为∑ 该级数收敛 n=1 当x=-时,级数为∑该级数发散; 故收敛域是(-1,1
例1 求下列幂级数的收敛域: 解 (1) n n n a a 1 lim + → = 1 lim + = → n n n = 1 R = 1 当x = 1时, 当x = −1时, , ( 1) 1 = − n n n 级数为 , 1 1 n= n 级数为 该级数收敛; 该级数发散; (1) ( 1) ; 1 n x n n n = − (2) ( ) ; 1 = − n n nx ; ! (3) 1 n= n n x 故收敛域是(−1,1]