复 安(2)积分路径的参数方程为 1+i 画x()=t+i2(0ts1 与 Rez=t, dz=(1+2ti) 积 分[ Rezdz=t(1+2)dr —t +-l 变 23 换 Q3dz=(t+it)(1+ 2it)dt I(t-2t)+i·3t]dt
(2) 积分路径的参数方程为 x y o 1+ i 1 i 2 y = x ( ) (0 1), 2 z t = t + it t Re , d (1 2 )d , z t z ti t = = + C Re zdz = + 1 0 t(1 2it)dt 1 2 3 0 2 1 2 ; 2 3 2 3 t i t i = + = + d = C z z + + 1 0 2 (t it )(1 2it)dt 1 3 2 0 = − + = [( 2 ) 3 ]d . t t i t t i
复(3)积分路径由两段直线段构成 变 x轴上直线段的参数方程为z(t)=t(0≤t≤1), Rez=t. dz= dt. 与1到1值线段的参数方程为()=1+i(0st≤1), 积 Rez=1, dz=idt. 么 Rezdz= tdt+ 1. idt=-+i zdz= tdt+l(1+ it )idt
x y o 1+ i 1 i 2 y = x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z t t t ( ) (0 1), = 1到1+i直线段的参数方程为 z(t) = 1+ it (0 t 1), Re , d d , z t z t = = Re 1, d d , z z i t = = C Re zdz= + 1 0 tdt 1 0 1 idt . 2 1 = + i d d 1 0 z z = t t C (1 ) d 1 0 + + it i t = i
复注意1从例23看到,积分Re(z)d和。dz, 都是从相同的起点到相同的终点沿着三条不 数相同的路径进行,但是[Real)dz积分值不同, 与 积∫zdz积分值相同.是否可以讨论积分与积分 变/路径的关系 换注意2一般不能将函数f(2)在以a为起点,以B 为终点的曲线C上的积分记成Jf(x)d,因为 积分值可能与积分路径有关,所以记」。∫(z)dz
都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不 注意1 从例2.3看到, 积分 d , C z z C Re( )d z z 和 相同的路径进行, 但是 Re( )d 积分值不同, C z z d C z z 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分 路径的关系? 注意2 一般不能将函数f (z)在以为起点, 以 为终点的曲线C上的积分记成 f z z ( )d , 因为 积分值可能与积分路径有关, 所以记 ( )d . C f z z
复变函数与积兮变换 522 Cauchy积分定理 1 Cauchy积分定理 2复合闭路定理 3典型例题
§2.2 Cauchy积分定理 1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题
221 Cauchy积分定理 复变数与 首先给出推广的 Green公式 设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上连续, 积、,、博形,并a ao aP 00 oP 么 在D上连续 变 换则对任何D内的可求长 Jordal曲线C,都有 Pdx+ody ao aP Ddx dx ay 其中G是C围成的区域,C取正向
首先给出推广的 Green公式: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数 P x y ( , ) 和 Q x y ( , ) 在D上具有一阶连续偏导数, 则有 d d d d , D L Q P x y P x Q y x y − = + 其中L是D的取正向的边界曲线. 2.2.1 Cauchy积分定理 设 P x y Q x y ( , ), ( , ) 在单连通区域D上连续, 在D上存在 , , Q P x y 并且 Q P x y − 在D上连续, 则对任何D内的可求长Jordan曲线C, 都有 d d ( )d d , C G Q P P x Q y x y x y + = − 其中G是C围成的区域，C 取正向