(5)设曲线C的长度为L,函数f()在C上满足 复变函数与积兮变换 变1r(x)≤M,则∫f(a)s』f(x)dsM 事实上, 估值不等式 ∑f4Axs∑/()△A k=1 ≤∑f(k)△ssM∑△s≤ML, k=1 k=1 其中,△k是x与不两点之间弧段的长度 根据积分定义,令九→>0,即得性质(5)
1 1 ( ) ( ) n n k k k k k k f z f z = = 1 ( ) n k k k f s = 1 , n k k M s ML = 其中, k s 是 k z 与 k 1 z − 两点之间弧段的长度. 根据积分定义，令 → 0, 即得性质(5). 事实上, 估值不等式 (5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足 ( )d ( ) d . C C f z z f z s ML f z M ( ) , 则
213积分的计算 复变函数与积兮变换 例21设C是复平面上以z为起点,为终 点的分段光滑或可求长)曲线,则 ldz=z 0 解根据积分的定义 ldz= lim ∑(k-- 2->0 ∑△ k→>0k=1 =lim()=z-zo A->0
例2.1 设 C是复平面上以z0为起点, z为终 点的分段光滑(或可求长)曲线，则 0 1d . C z z z = − 解 根据积分的定义 1 0 0 1 1 1d lim lim ( ) n n k k k C k k z z z z − → → = = = = − 0 0 0 lim( ) . z z z z → = − = − 2.1.3 积分的计算
复 例22计算积分 (z-a)d(n是整数 变 函其中C是圆周:z-=r(r>0) 与的正向 解积分路径的参数方程为 么 变z=x+rl(0≤≤2) 换 2丌 ure dz de C(Z- 0 n+1 0rn+l(+0 fo e in c de
解 z x y o r 0 z 积分路径的参数方程为 (0 2π), = 0 + i z z re + C − n z z z d ( ) 1 1 0 + + = 2π 0 1 ( 1) d n i n i r e ire d , 2π 0 − = in n e r i 例2.2 计算积分 1 0 1 d ( )n C z z z + − (n是整数), 其中C是圆周: 0 z z r r − = ( 0) 的正向
当n=0时, 复变函数与积分变一 2π n+1 dz=i d0=2 C(z-0) 当n≠0时, x 2元 1C(2-)(乡 (cosn6-isin ne)d8=0. 换所以 2Ti z-Z Z-Z0=I 0 n≠0. 重要结论:积分值与圆周的中心、半径无关
z x y o r 0 z 当n = 0时, + C − n z z z d ( ) 1 1 0 = 2π 0 i d = 2i; 当n 0时, + C − n z z z d ( ) 1 1 0 2π 0 (cos sin )d 0. n i n i n r = − = − = + − z z r n z z z 0 d ( ) 1 1 0 所以 = = 0, 0. 2 , 0, n i n 重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关
例23计算积分∫Rezd与』cdz,其中C为 复变函数与积兮变换 (1)从原点到1+i的直线段; 蟲(2)抛物线=x2上从原点到1+的弧段; (3)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线 分解(1)积分路径的参数方程为x()=t+i(0sts1, Rez=t, dz=(1+idt, 1+i Re zdz=t(+i)dt=(1+i) C zdz=u+itdt=(1+i)2 tdt=i
解 (1) 积分路径的参数方程为 z t t it t ( ) (0 1), = + Re , d (1 )d , z t z i t = = + C Re zdz = + 1 0 t(1 i)dt (1 ); 2 1 = + i x y o 1+ i 1 i d (1 ) d 1 0 2 z z = + i t t C 1 2 0 = + = (1 ) d . i t t i 例2.3 计算积分 Re d C z z 与 d , C z z 其中C为 (1) 从原点到 1+i 的直线段； (2) 抛物线 y=x 2 上从原点到 1+i 的弧段； (3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线